2022年中考解直角三角形知识点复习

1、中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：C=90A+B=902、在直角三角形中,30 角所对的直角边等于斜边的一半；3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：假如直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 a2b2c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦 ：斜边勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长 a,b,c 有下面关系： a2b2c2,那么这个三角形是直角三角形；考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、

2、假如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形；3、勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a、b、c 满意 a 2+b 2=c 2 ,那么这个三角形是直角三角形；（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判定三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为 c）；（2）如 c2a2b2,就 ABC 是以 C 为直角的三角形；如 a2b2c2,就此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边）；如 a2b2c2,就此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边）4. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边,求另两边的关系；（3）用于证明线段

3、平方关系的问题；（4）利用勾股定理,作出长为 n 的线段考点三、锐角三角函数的概念1、如图,在ABC中, C=90A的正弦,记为sinA ,即sinAA的对边a锐角 A 的对边与斜边的比叫做斜边c锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A的余弦,记为cosA,即cosAA 的邻边b斜边c锐角 A 的对边与邻边的比叫做A的正切,记为tanA,即tanAA 的对边aA 的邻边b锐角 A 的邻边与对边的比叫做A的余切,记为cotA ,即cotAA的邻边bA的对边a2、锐角三角函数的概念锐角 A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数3、一些特别角的三角函数值三角函数 30 45 60 sin costa

4、n 1 cot 1 4、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系： sinA=cos90 A ,cosA=sin90 A ；（2）平方关系：sin2Acos 2A1（3）倒数关系： tanA . tan90 A=1 （4）商（弦切）关系：tanA=sinAcosA5、锐角三角函数的增减性当角度在 090 之间变化时,（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,

5、一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出全部未知元素的过程叫做解直角三角形；2、解直角三角形的理论依据在 Rt ABC 中, C=90 , A, B, C 所对的边分别为 a,b,c （1）三边之间的关系：a 2b 2c 2（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A+B=90（3）边角之间的关系：正弦 sin ,余弦 cos ,正切 tan 4 面积公式：（h c 为 c 边上的高）考点五、解直角三角形 应用 1、将实际问题转化到直角三角形中,用锐角三角函数、代数和几何学问综合求解 2、仰角、俯角、坡面 学问点及应用举例：1仰角 ：视线在水平线上方的角；俯角 ：视线在

6、水平线下方的角；2坡面的铅直高度h 和水平宽度 l 的比叫做 坡度 坡比 ；用字母 i 表示,即iih l；坡度一般写成1: m的形式,如i1:5等；把坡面与水平面的夹角记作叫做 坡角 ,那么htan；l3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角；如图3,OA 、OB 、OC、OD 的方向角分别是：45 、 135 、 225 ；解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）1、解直角三角形的类型与解法已知、解法已知条件解法步骤三角类型Rt ABC 两两直角边（如a, b）由 tan A a b,求 A； B90 A, ca2-b2 B 边 c 一斜边,始终角边（如c,a）由 S

7、in A a c,求 A； B90 A, bc2a2 a一角边锐角,邻边A b C B90 A,abSin A ,ccosA 边和（如 A,b）B90 A,b, c一一锐角锐角,对边角（如 A,a）B90 A,acSin A , b ccos A 斜边,锐角（如c, A）2、测量物体的高度的常见模型1）利用水平距离测量物体高度数学模型所用应测数据tan 数量关系2依据工具 、 、x1,tan x原理侧倾直角器水平距离 a 三角皮尺形的a边角x 1 x 2 a tan ax tan x关系a a x 2 测量底部可以到达的物体的高度h 数学模型h 所用应测数据数量关系依据镜子工具目高 a1h a

8、 3a ,ha 2a 1a3原理皮尺反射镜子水平距离 a2定律a 2水平距离 a3 皮尺标杆高 a1 h a 1a 3,h a 1a 3同一时刻物高与影标杆标杆影长 a2长成正比a2a 2物体影长 a3 h 皮尺侧倾器高 a1 tan ha 1, 矩形的性质和直角侧倾水平距离 a2 三角形的边角关系a 2器倾斜角ha1a2tan h 仰角tan h , tan a 1 h 2矩形的性质和直角俯角三角形的边角关系a 1水平距离 a1 h h1 h2 a1（tan tan ）3）测量底部不行到达的物体的高度（2）1）数量关系a依据数学模型所用应测数据工具仰角tan h1,tan 理论皮尺矩形的性质

9、和直侧倾俯角角三角形的边角xxh 器高度 a 关系俯角hah1aaa1 依据x tan , tan a俯角x高度a 测量底部不行到达的物体的高度（xha应测距离数量关系数字模型 x h 所用工具原理A x h 皮尺仰角 ,tan a 1h 1x tan h1矩形的性质侧倾仰角和直角三角x器水平距离 a1 形的边角关侧倾器高 a2 h1a 1tantan系仰角tantanha2h1a2a 1tantantantantan , tan 仰角h高度 a tan , tan 、 h仰角a 仰角 h 高度 a a x 第三部分 真题分类汇编详解 h （2022）19（本小题满分 6 分）一艘轮船自西向东

10、航行,在tan , tan h2022-2022 A 处测得东偏北 21. 3 方向有一座小岛C,连续向东航行 60 海里到达 B 处,测得小岛 C 此时在轮船的东偏北 63. 5 方向上之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛 C 最近？（参考数据：sin21. 3 9,tan21. 3 2, sin63. 525 59,tan63. 5 2）10（2022）19（本小题满分 6 分）在一次课题学习课上,同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬,小明同学绘制的设计图如下列图,其中,AB 表示窗户,且 AB 2 米, BCD 表示直角遮阳蓬,已知当地一年中在午时的太阳光与水平线 CD 的最小夹角 为 1

11、8.6 o,最大夹角 为 64.5 o请你依据以上数据,帮忙小明同学运算出遮阳蓬中 CD 的长是多少米？（结果保留两个有效数字）（参考数据：sin18.6 o 0.32, tan18.6 o 0.34, sin 64.5 o 0.90, tan 64.5 o 2.1）（2022）19（本小题满分 6 分）在一次数学活动课上,老师带领同学们去测量一座古塔 CD 的高度他 C 们第一从 A 处安置测倾器,测得塔顶 D C 的仰角 CFE 21 ,然后往塔的方向前进 50 米到达 B 处,此时测得仰角 CGE 37 ,已知测倾器高 1.5 米,请你依据以上数据运算出古塔 CD 的高度（参考数据：B

12、sin 37 3,tan 37 3,sin 219,tan 21 3）5 4 25 8（2022）19（本小题满分 6 分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦 F AB,AB 80 米为测量这座居 G E 民楼与大厦之间的距离,小明从自己家的窗户 C 处测得大厦顶部 A 的仰角为 37 ,大厦底部 B 的俯角为 48 求小明家所在居民楼与大厦的距离 A CD的长度（结果保留整数）A B D （参考数据：sin37 o 3,tan37 o 3,sin 48 o 7,tan48 o 11）第 19 题图 A 5 4 10 10解：C 37D 48B 第 19 题图 A （2022）196 分 某商场

13、预备改善原有楼梯的安全性能,把倾斜角由原先的 40o 减至 35o已知原楼梯 AB长为 5m,调整后的楼梯所占地面 CD有多长？ 结果精确到0.1m参考数据： sin40o 0.64 ,cos40o 0.77 ,sin35oC 35o 40o D 0.57 ,tan35o 0.70 B （2022）20. （8 分）附历年真题标准答案：（2022）19（本小题满分6 分）C 解：过 C 作 AB 的垂线,交直线AB 于点 D,得到 Rt ACD 与 Rt BCD C 设 BDx 海里,在 Rt BCD 中, tanCBD CD BD, CD x tan63.5 在 Rt ACD 中, AD A

14、B BD 60 x海里, tanACD AD,A B D CD 60 x tan21.3 xtan63.5 60 x tan21.3 ,即2x260 x 解得,x155答：轮船连续向东航行15 海里,距离小岛C 最近 6（2022）19（本小题满分6 分）解：设 CD为 x ,在 Rt BCD中,BDC18 .6,tanBDCBC,BCCDtanBDC0 . 34x 2CD在 Rt ACD中,ADC64.5, tanADCAC,ACCDtanADC2 . 1 xCDABACBC,22. 1 x0. 34 xx1.14答： CD长约为 1.14 米（2022）19（本小题满分6 分）E D 解：由题意知 CDAD, EFAD,CEF90,设CEx,CE,就EFCEx8x；F G 在 RtCEF中, tanCFEEFtanCFEtan 213A B 在 RtCEG中, tanCGECE,就GECEx4 3x第 19 题图GEtanCGEtan37 EFFGEG ,8 3x504xx37.5,CDCEED37.51.539（米）3