典中点2016年秋九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形整合提升密码 （新版）北师大版

1、特殊平行四边形专训一：证比例式或等积式的技巧名师点金：证比例式或等积式，若遇问题中无平行线或相似三角形时，则需构造平行线或相似三角形，得到等比例线段；若比例式或等积式中的线段分布到两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证其相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换 构造平行线法1如图，在ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AECFBFEC.(第1题) 构造相似三角形法2如图，已知ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且ADCE，DE交AC于点F，试证明：ABDFBCEF.(第2题)3如图，

2、在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BPCPBMCN.(第3题) 三点定型法4如图，点D，E分别是ABC的边AB，AC上的点，A35，C85，AED60.求证：ADABAEAC.(第4题) 等比过渡法5如图，CE是RtABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BGAP于点G，交CE于点D.求证：CE2DEPE.(第5题)专训二：巧用“基本图形”探索相似条件名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法；相似三角形的四类结构图：(1)平

3、行线型(2)相交线型(3)子母型(4)旋转型 平行线型1如图，在ABC中，BE平分ABC交AC于点E，过点E作EDBC交AB于点D.(1)求证：AEBCBDAC；(2)如果SADE3，SBDE2，DE6，求BC的长(第1题) 相交线型2如图，点D，E分别为ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且eq f(EO,BO)eq f(DO,CO)，试问ADE与ABC相似吗？请说明理由(第2题) 子母型3如图，在ABC中，BAC90，ADBC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：eq f(AB,AC)eq f(DF,AF).(第3题) 旋转型4如图，已知DABEAC，

4、ADEABC.求证：(1)ADEABC；(2)eq f(AD,AE)eq f(BD,CE).(第4题)专训三：利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法 证明两线段的数量关系1如图，已知在ABC中，DEBC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.求证：BMMC.(第1题) 证明两线段的位置关系类型1证明两线段平行2如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DECD，DECD，连接CE，AE.

5、求证：AEBC.(第2题)类型2证明两线垂直3在ABC中，D是AB上一点，且AC2ABAD，BC2BABD，求证：CDAB.(第3题)4如图，已知矩形ABCD，ADeq f(1,3)AB，点E，F把AB三等分，DF交AC于点G，求证：EGDF.(第4题)专训四：巧作平行线构造相似三角形的技巧名师点金：解有关相似三角形题目时，常常遇到要证(或求)的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形时，我们通常可以作平行线构造出相似三角形，从而使问题得以解决 巧连线段的中点构造相似三角形1如图，在ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF，AC于点P，Q，D

6、，求BPPQQD.(第1题) 过顶点作平行线构造相似三角形2如图，在ABC中，ACBC，F为底边AB上一点，BFAF32，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BEEC的值(第2题)3如图，过ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AEED2AFFB.(第3题) 过一边上的点作平行线构造相似三角形4如图，在ABC中，ABAC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使ADAE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：eq f(BP,CP)eq f(BD,EC).(第4题)专训五：图形的相似中的五种热门考点名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容

7、之一，而对于成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点 比例线段及性质1下列各组长度的线段，成比例线段的是()A2 cm，4 cm，4 cm，8 cmB2 cm，4 cm，6 cm，8 cmC1 cm，2 cm，3 cm，4 cmD2.1 cm，3.1 cm，4.3 cm，5.2 cm2若eq f(a,2)eq f(b,3)eq f(c,4)eq f(d,7)0，则eq f(abcd,c)_.3如图，乐器上的一根弦AB80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离约为_(eq r(5)2.236，结果精确到0.01)(第3

8、题) 平行线分线段成比例4如图，若ABCDEF，则下列结论中，与eq f(AD,AF)相等的是()A.eq f(AB,EF) B.eq f(CD,EF) C.eq f(BO,OE) D.eq f(BC,BE)(第4题)(第5题)5如图，在RtABC中，ACB90，ABC60，以AC为边向三角形外作正方形ACDE，连接BE交AC于F，若BFeq r(3) cm，则EF_.6如图，在ABC中，AMMD41，BDDC23，求AEEC的值(第6题) 相似三角形的性质与判定7已知ABCDEF，若ABC与DEF的相似比为34，则ABC与DEF的面积之比为()A43 B34C169 D916(第8题)8在平

9、行四边形ABCD中，点E在AD上，且AEED31，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则SAEFS四边形ABCE为()A34 B43C79 D979若两个相似多边形的面积之比为14，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是_10如图，ABC是直角三角形，ACB90，CDAB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证：FD2FBFC；(2)若FB5，BC4，求FD的长(第10题)11如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分DBC交DC于点E，点F是BC的延长线上一点，且CECF，BE的延长线交DF于点M.(1)求证：BMDF；(2)若正方形ABCD的边长

10、为2，求MEMB.(第11题) 相似三角形的应用12一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度CD.如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD.(结果精确到0.1 m)(第12题)13某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BACD，BC20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm.为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁E

11、F的长应为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)(第13题) 图形的位似(第14题)14如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形ABCD，则点C的坐标为_15如图，在68的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和ABC的顶点均在小正方形的顶点上(1)以O为位似中心，在网格图中作ABC和ABC位似，且相似比为12；(2)连接(1)中的AA，求四边形AACC的周长(结果保留根号)(第15题)答案专训一1证明：过点C作CMAB交DF于点M，CMAB，eq f(CF,BF)eq f(MF,DF).CMFBDF.eq f(BF,CF)eq f(BD,CM

12、).又CMAD，eq f(AE,EC)eq f(AD,CM).D为AB的中点，eq f(BD,CM)eq f(AD,CM).eq f(BF,CF)eq f(AE,EC).即AECFBFEC.2证明：过点D作DGBC，交AC于点G，eq f(AD,AB)eq f(AG,AC)，eq f(GF,CF)eq f(DF,EF).DGFECF，ADGABC.eq f(EF,DF)eq f(CE,DG)，eq f(AB,BC)eq f(AD,DG).ADCE，eq f(CE,DG)eq f(AD,DG).eq f(AB,BC)eq f(EF,DF).即ABDFBCEF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A”

13、型或“X”型的基本图形，通过相似三角形的性质转化成线段的比，从而解决问题(第3题)3证明：如图，连接PM，PN.MN是AP的垂直平分线，MAMP，NANP.12，34.又ABC是等边三角形，BC1360.2460.56120.又67180C120.57.BPMCNP.eq f(BP,CN)eq f(BM,CP)，即BPCPBMCN.4证明：A35，C85，B180AC180358560.AED60，AEDB.又AA，ADEACB.eq f(AD,AC)eq f(AE,AB)，即ADABAEAC.5证明：BGAP，PEAB，AEPBEDAGB90.PPAB90，PABABG90.PABG.AEP

14、DEB.eq f(AE,DE)eq f(PE,BE).即AEBEPEDE.又CEAB，ACBC，CEABEC90且CABACE90，CABCBE90.ACECBE.AECCEB.eq f(AE,CE)eq f(CE,BE)，即CE2AEBE.CE2DEPE.专训二1(1)证明：EDBC，eq f(AD,AB)eq f(AE,AC).A是公共角，ADEABC.eq f(AE,AC)eq f(DE,BC).BE平分ABC，DBEEBC.EDBC，DEBEBC.DBEDEB.DEBD.eq f(AE,AC)eq f(BD,BC)，即AEBCBDAC.(2)解：设hADE表示ADE中DE边上的高，hB

15、DE表示BDE中DE边上的高，hABC表示ABC中BC边上的高SADE3，SBDE2，eq f(SADE,SBDE)eq f(hADE,hBDE)eq f(3,2).eq f(hADE,hABC)eq f(3,5).ADEABC，eq f(DE,BC)eq f(hADE,hABC)eq f(3,5).DE6，BC10.2解：相似理由如下：容易看出ADE与ABC是相交线型基本图形中的两个三角形A为公共角，eq f(EO,BO)eq f(DO,CO)，BOECOD，DOECOB，BOECOD，DOECOB.EBODCO，DEOCBO.ADEDCODEO，ABCEBOCBO.ADEABC，ADEAB

16、C.3证明：BAC90，ADBC于点D，BACADB90.又CBAABD(公共角)，ABCDBA.eq f(AB,AC)eq f(DB,DA)，BADC.ADBC于点D，E为AC的中点，DEECEA.BDFCDEC.BDFBAD.又FF，DBFADF.eq f(DB,DA)eq f(DF,AF).eq f(AB,AC)eq f(DF,AF).(第3题)技巧点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备等线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，如图，在ABC中，ADBC于点D，DEAB于点E，DFAC于点F，求证：AEAB

17、AFAC，可由两组“射影图”得AEABAD2，AFACAD2，AEABAFAC.4证明：(1)DABEAC，DAEBAC.又ADEABC，ADEABC.(2)ADEABC，eq f(AD,AE)eq f(AB,AC).DABEAC，ADBAEC.eq f(AD,AE)eq f(BD,CE).专训三1证明：DEBC，NEOMBO，ENOBMO.NEOMBO.eq f(NE,MB)eq f(ON,OM).同理可得eq f(DN,MC)eq f(ON,OM).eq f(DN,MC)eq f(NE,BM).eq f(DN,NE)eq f(MC,BM).DEBC，ANEAMC，AENACM.ANEAMC

18、.eq f(AN,AM)eq f(NE,MC).同理可得eq f(AN,AM)eq f(DN,BM)，eq f(DN,BM)eq f(NE,MC).eq f(DN,NE)eq f(BM,MC).eq f(MC,BM)eq f(BM,MC).MC2BM2.BMMC.2证明：过点C作COAB于点O，DECD，DECD，ECDCED45.ACB90，ACBC，CABB45.CABCED.又AOCEDC90，ACOECD.eq f(AC,CO)eq f(EC,CD).又ACEECOOCDECO45，ACEOCD.ACEOCD.CAECOD90.又ACB90，CAEACB180.AEBC.3证明：AC2

19、ABAD，eq f(AC,AD)eq f(AB,AC).又AA，ACDABC.ADCACB.又BC2BABD，eq f(BC,BD)eq f(BA,BC).又BB，BCDBAC.BDCBCA.ADCBDC.BDCADC180，ADCBDC90.CDAB.4证明：设AEEFFBADk，则ABCD3k.CDAB，FAGDCG，AGFCGD.AFGCDG，eq f(FG,DG)eq f(AF,CD)eq f(2,3).设FG2m，则DG3m，在RtAFD中，DF2AD2AF25k2，DFeq r(5)k.DFFGDG2m3m5m.5meq r(5)k.meq f(r(5),5)k.FGeq f(2,

20、5)eq r(5)k.eq f(AF,FG)eq f(2k,f(2,5)r(5)k)eq r(5)，eq f(DF,EF)eq f(r(5)k,k)eq r(5).eq f(AF,FG)eq f(DF,EF).又AFDGFE，AFDGFE.EGFDAF90.EGDF.专训四1解：连接DF，E，F是边BC上的两个三等分点，BEEFFC.D是AC的中点，ADCD.DF是ACE的中位线DFAE，且DFeq f(1,2)AE.DFPE.BEPBFD，BPEBDF.BEPBFD.eq f(BE,BF)eq f(BP,BD).BF2BE，BD2BP.BPPD.DFAE，APQFDQ，PAQDFQ.APQF

21、DQ.eq f(PQ,QD)eq f(AP,DF).设PEa，则DF2a，AP3a.PQQDAPDF32.BPPQQD532.2解：过点C作CGAB交AE的延长线于点G.CGAB，DAFG.又D为CF的中点，CDDF.在ADF和GDC中，eq blc(avs4alco1(DAFG，,ADFCDG，,DFCD，)ADFGDC(AAS)AFCG.BFAF32，ABAF52.ABCG.BECG，BAEG.ABEGCE.eq f(BE,EC)eq f(AB,CG)eq f(AB,AF)eq f(5,2).3证明：过点B作BNCF交AD的延长线于点N.eq f(AF,FB)eq f(AE,EN)，ECD

22、NBD.又CDEBDN，EDCNDB.eq f(ED,DN)eq f(CD,BD).BDCD，EDDNeq f(1,2)EN.eq f(AF,FB)eq f(AE,2ED).AEED2AFFB.4证明：过点C作CFAB交DP于点F，PFCPDB，PCFB，PCFPBD.eq f(BP,CP)eq f(BD,CF).ADCF，ADEEFC.ADAE，ADEAED.AEDCEP，EFCCEP.ECCF.eq f(BP,CP)eq f(BD,EC).专训五1A2.4 cm4.D5.3 cm(第6题)6解：过D点作DNAC，交BE于N，如图所示易知DMNAME，BDNBCE.eq f(BD,DC)eq

23、 f(2,3)，eq f(BD,BC)eq f(2,5).eq f(DN,CE)eq f(BD,BC)eq f(2,5).eq f(AM,MD)eq f(4,1)，eq f(AE,DN)eq f(AM,MD)eq f(4,1).eq f(AE,EC)eq f(DN,EC)eq f(AE,DN)eq f(2,5)eq f(4,1)eq f(8,5).7D8.D9.6，1210(1)证明：E是RtACD的斜边的中点，DEEA.A1.12，2A.FDCCDB2902，FBDACBA90A，FDCFBD.又F是公共角，FBDFDC.eq f(FB,FD)eq f(FD,FC).FD2FBFC.(2)解：FB5，BC4，FC9.FD2FBFC，FD245.FD3eq r(5).11(1)证明：四边形ABCD是正方形