笔记讲义金融学概论第八课

1、No rma n Stro n g, T h e Un iv ers ity o f M a n ch es ter期 权 定 价 中 的 难 点第 八 课债 券 和 股 票 的 估 价 ： 贴 现 现 金 流 期 权 的 估 价 DCF 不 适 用 给 定 到 期 日 标 的 资 产 价 格 的 分 布 ， 可 以 很 容 易 地 计 算 期 权 在 到 期 日 的 收 益难 于 估 计 折 现 率 期 权 定 价 模 型20022002项 式 期 权 定 价 模 型 单 期 项 式 模 1 年型概 率今日 要 对 期 权 进 行 定 价我 们 需 要 知 道 标 的 资 产 价 格 如 何

2、 变 动 简 单 但常 有 力 的个 模 型 是 二 项 式 模 型 $14012$100在 每 个 （ 很 短 ） 的 时 间 间 隔 期 末 股 票 价 格 只能有 两个 可 能的 取值当时 间 间 隔 足 够 短这 是 很 好 的 近 似有 利 于 解 释 期 权 定 价 模 型 背后 所 包 含 的 原 理 可 以 用 于 对 象 美 式 期 权 这 样 的 衍 生 证 券 进 行 定 价 12$80 收 益 率 被 定 义 为 价 格 的 相 对 数 期 望 收 益 率 = 1 1期 望 方 差 = 0.0920022002无套利 原 则与通过复制来给 期 权 定 价 对 衍 生 证

3、 券 的 定 价为了给 衍 生 证 券 定 价 ， 可 以 构造一 个 股 票 和 今日 到期日 无风险投资 的 日 的 收 益 组合来复制该衍 生 证 券 在 到 期 这 个 组合称为 合成的 衍 生 证 券 要 使无套利 成立， 这 个 交易 的 衍 生 证 券 的 价 格 组合的 合成等同于 对 冲组合的 价 值必须等于20022002AF2072 In v es tm en tAn a ly s is1交易 的 衍 生 证 券 的 价 值= 合成的 衍 生 证 券 （ 组合） 的 价 值合成的 衍 生 证 券 收益相 同交易 的 衍 生 证 券 No rma n Stro n g, T

4、 h e Un iv ers ity o f M a n ch es ter组合(合成看涨期 权 V0 S0 B0) = 股 票 + 无风险资 产 单 期 ： 给 欧式 看涨期 权 定 价 组合复制了该期 权 在 48 B 0 1.10 8 32 B0 1.10 0到 期 日 的 收 益T 1, S0 40, X 40, u 1.2, d 0.8欧式 看涨期 权 ： 1 年S0u 48概率今日 pcu 81.10 = 今 天的 $1投资 在 1年 后 的 财富$40 0.5, B 14.55解 方 程组得到0S0d 32cd 01 pB 的 负号意味者借入020022002单 期 项 式 期

5、权 定 价 的 一 般化V0 0.5 40 14.55 5.45c V0 5.45无套利 要 含 义 ： 求1 年概率今日 pS 0u cup 的 值从未使用 过 期 望 收 益 率 无关紧要!S0c ?S0 d cd1 p20022002该组合复制了该看涨期 权 在 到 期 日 的 收 益 风险中 性定 价 S0u B0erT cuS0d B0erT cd很 自然可 以 被 解 释 为 是 股 票 价 格 上涨的 概率(风险 性概率 或等价 鞅测度)解 方 程组得到 ： cu cd cu 1 cd 可 以 被 解 释 为 是 该看涨期 权 在 ucd dcu rTB0 e， 和 S u S

6、d到 期 日 的 收 益 u d00该期 权 的 价 值是 它在 到 期 日 的 期 望 收 益 成的 现 值按无风险利 率 折 无套利 要 求：erT d在 下, ES S erTc V0 ecu 1 cd , 其 rTT0u d20022002AF2072 In v es tm en tAn a ly s is2No rma n Stro n g, T h e Un iv ers ity o f M a n ch es terDelta对 冲组合Black-Scholes期 权 定 价 模 型 c S0 B0B0 的 符号为 正S0 c B0意味着投资期 权 价 格 和 股 票 价 格 依

7、赖于 同一 种不 确定 性来源cu cdS0u S0d无风险的 对 冲组合可 以 用 股 票 和 期 权 来构造 由股 股 票 和 个 看涨期 权 空头构成无风险组合必然获得无风险利 率 这 导致了Black-Scholes偏微分 方 程 (PDE)的 组合等价 于 无风险投资 (delta) 被 称为该组合经常 被 称为 无风险对 冲组合套头比（ hedge ratio）20022002Black-Scholes模 型 的 假设股 票 价 格 的 动 态过程连续时 间 模 型 假设股 票 价 格 服从 何 布 朗运动 （ GBM ）dS Sdt SdW其中 ： ： 期 望 收 益 率 ： 波

8、动 率 (假设为 常 数 )dW ： 标 准Wiener过程完美 的 资 本市场， 没有 套利 机会价 格 的 朗运动瞬间 变 动 服从波动 率 为 常 数 的 几何 布 短 期 利 率 已知 ， 并且不 随时 间 发生 变 化在 期 权 的 有 效期 内， 标 的 股 票 不 发放股 利 20022002Wien er过程的 特征离散时 间 近 似S t t SZzT zt 的均值为 0为 Wien er过程， 则zT zt 的 方 差 为 z tTtzT zt 的 标 准差 为 zT zt n0, T t T t其 是 n(0,1)分 布 的 一 个 随机实现任意互不 重叠的 两期 的 z

9、 的 取值相 互独立20022002AF2072 In v es tm en tAn a ly s is3No rma n Stro n g, T h e Un iv ers ity o f M a n ch es ter股 票 收 益 率 的 特征股 票 收 益 率 的 分 布T t 2 T t 从时 间 t到 T收 益 率 的 均值为股 票 价 格 服从对 数 正态分 布 ， 即： 2从时 间 t到 T收 益 率 的 方 差 为 ln ST N ln S 0.2 , 2 T t准差 为 T t从时 间 t到 T收 益 率 的 标 n, ， 其 T t收 益 率 的 分 布 ： 0020对

10、数态分 布20022002Black-Scholes 偏微分 方 的 导出S St Sz程组合的 价 值为 ： f f SS在 跨度为 t 的 短 期 内， 它的 价 值的 变 动 为 ： f f2 f f f S SS22S 2 t SzS12t f f SS组合 ， 该组合的 构成如 下：构造一 个 2 f 1 2S 2f t 1 单 位衍 生 证 券 的 2空头tS 2f股 股 票 S多头20022002程不 包 括！ 投资 者的 偏好 不 该偏微分 方 作用 ！起因为 该组合的 收 益 率 没有 不 必须等于 无风险利 率 。因此确定 性， 所 有 它fS任何 其价 格 依赖于 标 的

11、 股 票 价 格 的 衍 生 证 券 rt f S rt都满足 上述偏微分 方 程不 同的 衍 生 证 券 ， 其价 值取决于 上述微分 方 程的 边界条件得到 Bla ck-Sch o les从上述两个 方 程， 就可 以 偏微分 方 程：欧式 看涨期 权 ， 边界条件为 cT max0,ST X 对 于 2 f f f 对 欧式 期 权 解 上述偏微分 方 程， 就得到 Black-rS 2 2S rfS 212tSScholes期 权 定 价 模 型 20022002AF2072 In v es tm en tAn a ly s is4No rma n Stro n g, T h e U

12、n iv ers ity o f M a n ch es terBlack-Scholes 模 型 在 风险中 性定 价 下的 导出Black-Scholes 公式c SN d XerN d 12p XerN d SN d利 用 收 益 风险 性概率 算 出期 权 在 到 期 日 的 期 望 21式，S / X r 用 无风险利 率 对 期 望 收 益 进 行 折 现ln 2d1 2 d2 d1 N .是 标 准正态分 布 的 累积概率 分 布 函数20022002期 权 价 格 的 决定因素欧式 看涨期 权 的 价 值由 式 给 出：c e r E c t T max S X ,0 g S

13、dS e r e rTTT0 S X g S dS ,TTTXgST 由 式 给 出1 lnS / S r 21TgST e2 2进 行些简 单 的 代数 运算 就可 以 得到 Bla ck-Sch o les 公式20022002Black-Scholes公式 的 应用那么N d1 0.8950, i.e. T t 0.25年, 20% paS 50 , X 45N d 0.87572c SN d1 Xe N d2 r 50 0.8950 45 e0.060.25 0.8757 5.93p c Xer S 5.93 45 e0.060.25 50 0.262002r 6%（ 按连续复利 计

14、息）r 2ln S / Xd1 2 50 / 45 ln0.06 0.250 22 1.253620.2 0.25以 及d d 1.1536212002AF2072 In v es tm en tAn a ly s is5正的变 化看涨期 权看跌期 权股票价格 , S执行价格 , X波动率 , 距离到 期 日 的 时 间 , 无风险利率 , r现金股利 , dNo rma n Stro n g, T h e Un iv ers ity o f M a n ch es terDelta对 冲估 计 历史波动 率 在 间 隔 为 年 的 期 间 S0 , S1, S2 , , SnDelta ()

15、： 期 权 价 格 对 标 的 资 产 价 格 的 变 观测到化比率计 算 连续复利 St 对 于 欧式 看涨期 权 r lntS c N d t 10 1,估 计 波动 率 (标 准差 )1cS1nr r 2对 于 欧式 看跌期 权 n 1t1tp 1 p 0 N d1 1 ,每 年 的 波动 率 ： S20022002隐含 波动 率 公司负债 与股 东权 益 期 权 的 隐含 波动 率 是 指让根据公式 计 算 得到 的 期 权 价 格 与市场价 格 相 等的 波动 率即股 东权 益 相 当于 拥有 一 个 以 D为 执行 价 格 的 对 于 公司价 值V的 看涨期 权 E f 1S, X

16、 , r, c impM期 权 价 格 与隐含 波动 率 之间 存在 着对 应在台市场（ OTC）交易 者和 经纪商经常 不 是 报货币价 格 而是 报隐含 的 收 益 率 隐含 波动 率 给 出了市场总体对 未来标 的 股 票 在 期 权 有 效期 内的 平价 波动 率 的致估 计 （ 预期 ） 隐含 波动 率 是 前瞻性的2002VD2002公司负债 与股 东权 益 实物期 权 公司债 权 人相 当于 拥有 一 个 面值为 D的 无风险投资 ： 有 权 选择投资 时 机 获得投资 回报 但 是 没有 必须投资 的 义 务 初始投资 额就是 执行 价 格 投资在 未来产 生 的 现 金 流

17、就是 资 产 价 格 与传统NPV分 析的 关键区别：不 确定 性（ 风险） 是 有 价 值的 ！管 理 弹性（ Managerial flexibility ）同时 出售一 个 执行 价 格 为 D的 看跌期 权 债 券 和 VD战略工具但 是 大 多数 情况 难 以 准确估 价 VD20022002AF2072 In v es tmen tAn a ly s is6No rma n Stro n g, T h e Un iv ers ity o f M a n ch es ter实物期 权 的 主要 类型等待期 权 (1)等待以 在 将来投资 （ 看涨期 权 ） 传统的 NPV： 要 么现

18、 在 投资 ， 要 么永不 投资放弃（ 看跌期 权 ） 但 第 三种选择是 等待以 在 将来投资弹性（ 看涨期 权 ） 期 权 价 值后 续投资 （ 看涨期 权 ） 内在 价 值(IV) + 时 间 价 值 (TV)TV = 能够 等待的 价 值20022002等待期 权 (2)等待期 权 (3)： 例子决策法则 传统的 NPV接受项 目，如 果NPV 0 ， 即IV 0实物期权 接受项 目，如 果NPV 期权价 值风险更大的项 目期权价 值更高石油公司获得某区块的 5年 期 开采权NPV 期 权 价 值20022002AF2072 In v es tm en tAn a ly s is7No rma n Stro n g, T h e Un iv ers ity o f M a n ch es ter实物期 权 与金 融 期 权 后 续期 权 之间 的 对 应实物