不等式三角形结构中的一个解题系统(纯净版)陶平生

1、 三角形结构中的一个解题系统陶平生在初等不等式的范F何内，何许多是涉及三角形内角函数关系的不等式。对于这类问题,传统的做法通常是“化杂为弦”，并借助正余弦定理或海伦公式将其归结为边的度最关系來解证。由于其变元受三角形条件约束，处理起来不甚方便。以卜从一个基本等式出发，导出相应的运算系统，利用易弦为切”的方法以及这一系统的特殊转换结构，可以简便而有效地处理一系列三角形有关不等式的解证问题。一、三角形中的一个运算系统以下常设，A,y=cotB.-cote（或者口巧，尸tan亍,z=tan?）,其中A、B、C为三角形的三个内角，则有：1.1）X,y,z中至少有二个正数，并且x+y、y+z、x+z及x

2、+y+z都是正数。事实上，当x,y,z表示半角的正切函数时，显然x,y,z都是正数。今考虑x,y,z表示余切函数的情形，由于三角形中至少有二个锐角，即x,y,z中至少有二个正数，并且cosAcosBsin(A+B)x+y=cotA+cotB=+=sinAsinBsinAsinB0。同理有y+z0,x+z0o又将这三式相加得x+y+z0oxy+yz+xz=l这是由于，在三角形ABC中成立等式cotAcotB+cotBcotC+cotAcotC=l,以ABBCAC及tantan+tantan+tantan=12222221+x2=(x+y)(x+z),1+y2=(x+y)(y+z),1+z2=(x

3、+z)(y+z)这只要将右端展开，并利用(12)式立即可得。jQ+xQ+yl+z?)=(x+y)(y+z)(x+z)；(x+y)(l+z2)=(y+z)(l+x2)=(x+z)(l+y2)=(x+y)(y+z)(x+z)；J(l+泄Y)”+y,Jd+竺Z?)=y+z,J(l+蹩Rg+z。J1+z，/+x2Jl+y?这只要利用(1.3)式立即可得。1.5)丄+-+-=(当xyzHO)xyzxyz只需将左端通分，并利用（12）式即可得到。1.6)(x+y)(y+z)(x+z)=x+y+z-xyz。事实上，(x+y)(y+z)(x+z)=(x+y)(l+z?)=x+y+(xz+yz)z=x+y+(1

4、一劝z=x+y+z-xyz1.7)+1+1_2(x+y+z)1+x21+y21+z2(x+y)(y+z)(x+z)xyz211=+x21+y21+z3(x+y)(y+z)(x+z)ooox-y-z-TTl+?rl+y1+z2xyz(x+y)(y+z)(x+z)事实上,11111111(x+y)(x+z)(x+y)(y+z)(x+z)(y+z)2(x+y+z)(x+y)(y+z)(x+z)而nFl+X-1+y1+Z+(x+y)(x+z)(x+y)(y+z)(x+z)(y+z) # 怙2寿弋占2(x+y+z)(x+y)(y+z)(x+z)2(x+y+z-xyz)(x+y)(y+z)(x+z)xyz

5、(x+y)(y+z)(x+z)x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)_2(X+y)(y+z)(x+z)(X+y)(y+z)(x+z)os。x-+-+x1+1+z=1(x+y)(y+z)(x+z)就本质而言，三角形中的所有恒等关系，皆可转化为这类代数关系，我们可根据实际需要，列出更多的等式.由于这组等式分别貝有升幕降幕，化解根式，调整转换诸功能，使得将它们用解证三角形中一类不等式时，显得十分有力。在解证不等式的过程中，最为重要的是应当进行充分的等价变形，尽最减少不等价变形，而对于必需的不等价变形，应尽可能在小范围和局部进行.三角系统中的恒等关系，在处理这类等价变形时，显得十分灵活、简便.二、若

6、干基本不等式下面的一组不等式，对丁y,z表示余切函数或半角的正切函数时均为适用。在解证其它不等式时，通常可化归为这些情形。x3+y2+z21证：x2+y2+z3xy+yz+zx=lx+y+zn馆证：由于(x+y+z)2=x2+y2+z3+2(xy+yz+xz)3i且x+y+z为正数，故x+y+z/3ox+y+z9xyz证：如果x,y,z中只有二个正数，则9xyz0,此时结论显然；Mix,y,z都是正数，则因xy+yz+xz=l,故+9,贝ijx+y+z9xyzxyyzxzxyz3/(xyz)2,所以xyz-(x+y+z)以上诸式中，等号成立的充要条件是冲，即AABC为正三角形。三、三角形中一些

7、常规不等式的证明TOC o 1-5 h zABC2x在AABC中,若记x=tan,y=taii,z=tan,则有sinA=221+x-x-A.xAcosA=sill=:cos=:.j；*j；(/门己x=cotA,y=cotE,l+x-2772 #xz=cotC,则sinA=cosA=,等等)。J1+x2J1+x2我们注意到，采用“易弦为切”后，上述各式的分母均具有形如1+X?的结构，而给出的运算系统对于破解和处理这类结构非常有效。卜面通过一组例子，來说明采用上述系统解证不等式的一般方法。例1在AABC中，证明下列不等式:、ABCsinsinsin-228、ABC/3sin+sin+sin-22

8、223)sinA+sinB+sinC2 # 4)丄+丄+丄石sinAsinBsinCABCiiE：设x=tan,y=tan,z=tan,则222、AB.Cxyz1)smsinsm=222J(l+x?)(l+y2)(l+z2)xyzxyz_1(x+y)(x+z)(y+z)2/2yl2yf去8、ABCxyz2)sm+suism=-z+,H-=2223-2y1-22)sinAsinBsinC83)sin2A+sin2B+sin2C/3=-(x+y+z)+-(x+y+z-9xyz)-(x+y+z)3332)siiiAsiiiBsiiiC=】=7(l+x2)(l+y2)(l+z2)(x+y)(y+z)(

9、x+z)2(x+y+z)1J_=紳+y+z)汕8TOC o 1-5 h z)sin2A+sin2B+sin2C=+-,1+x-1+yl+z(x+y)(y+z)(x+z)/2(x+y+z)9-(sec+sec+sec)2222222ABC证：令x=tan,y=tan,z=tan,即要证：222x+y+z(/l+x3+y2+A+z2)而2(yjl+x2+$+y2+/l+z3)2=y(J(x+y)(x+z)+J(x+y)(y+z)+J(x+z)(y+z)(x+y)+(x+z)+(x+y)+(y+z)+(x+z)+(y+z)=x+y+z,故得证。4AABCor2例4AABC的外接圆半径为R,面积为证明

10、tan-+tan-+tan-222证：由TA=2R2sinAsinBsinC,即要证ta/+ta芒+tand2228sillAsinBsinC1+z2z/&AxBC肋打y,91+x-1+y-令x=tan,y=tan,z=tan,即要i止x+y+z罟xyz(x+y+z)8因为(x+y)(y+z)(x4-z)8xyz,(x+y)(y+z)(x+z)-(x+y+z)相乘得式成立，从而命题得证。例5.（Weitzenbock不等式）AABC的边长为a,b,c,面积为,证明a2+b2+c24/3A证：由于a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,A=2R2sinAsinBsinC,即要证si

11、ll2A+siirB+siii2C2/3siiiAsiiiBsiiiCo令x=cotA,y=cotBz=cotC,2/3即要证占+F?*F?丘？吋 # 也即7一叮X?-,因此只要证x+y+z,此为显然。(x+y)(y+z)(x+z)(x+y)(y+z)(x+z)例6.设a,b,c,x,y,z为正数，满足：cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,试求函数X*V*Z*f(兀y,z)=+的最小值。(2005年全国联赛试题)1+x1+y1+z解：由条件得，b(az+cx-b)+c(bx+ay-c)-a(cy+bz-a)=0,22222a2,a2+c2b2,aaBC例7.试证，在AABC中，co

12、tA+cotB+cotC-（cot+cot+cot）+b2c2,故以a,b,c为边长，可构成一个锐角AABC,因此，x=cosAy=cosE,z=cosC问题化为，在锐角AABC中，求函数f(cosAcosE,cosC)=竺丄+竺工-+竺工的最小值。令1+cosA1+cosB1+cosCu=cotAv=cotE,w=cotC,则u,v,wwR+,uv+vw+wii=1,且u2+1=(u+v)(u+w),v2+1=(u+v)(v+w),w222+1=(u+w)(v+xv)cos-Air+11+cosA+uJu+1.u3uJl+1(/u2+1+uVir+1VU2+1J(u+v)(u+w)11+2u

13、+vu+w丿同理，5“V1+cosB112u+vv+w1+u+wv+w丿cos*C、ow-1+cosC fu2+v2+w2-l2=u2+V2+wu3+v3v3+w3if+w3)+vu+vv+wu+w丿扌(u2-UV+v2)+(v2-VW+w2)+(u2-UW+W2)=i(liv+vw+uw)=*（取等号当且仅当u=v=w此时，a=b=c,x=y=z=丄）2四、典型方法与技巧下面介绍处理一些较难问题的方法，所列例题，人都取自各杂志的“问题栏”或白关论文中，但按本文给出的方法重新解证，借以说明运用本论证系统解证问题的基本技巧。齐次化原则此法耍点是，利用1=xy+yz+xz将所证式的各项化为齐次。运

14、用上述系统解题，齐次化思想是非常重要的，这是由于，在解证不等式，特别是较强的不等式时，须尽最避免作不等价变形（即尽最少用其它不等式过渡）。因为每作一次不等价变形，结论就可能减弱一次。而齐次化Z后，有利于把各项重新组凑，使其内在的关系得以充分显现。、十人a.ABC口仃寸“1x1y-1z1Z111、uE：令x=tan,y=tan,z=tan,即耍+(+)2222x2y2z3xyz也就是丄(丄+丄+丄)丄(x+y+z),即-3(x+y4Z)。故只要证13xyz(x+y+z)6xyz2xyz由于1=(xy+yz+xz)?,因此只要证(xy)(1-)(1-rXl-z2)-(x+y)(y+z)(x+z)即

15、要证：xyz(x+y)(y+z)(x+z)(l-x2)(1-y2)(1-z2)即xyz(x+y+z-xyz)(1-)(1-y2)。2)也即xyz(x+y+z)l-(x24-y2+z2)+(x3y2+y2z2+x2z2)再将此式各项齐次化，因为=(xy+yz+xz)2=x3y3+y2z3+x2z2+2xyz(x+y+z)x2+y2+z2=(x2+y2+z?)(xy+yz+xz)=x3(y+z)+y3(x+z)+z?(x+y)+xyz(x+y+z)代入，只要证xyz(x+y+z)2(x2y2+y3z2+x2z2)-x3(y+z)+y3(x+z)+z3(x+y)+xyz(x+y+z)即x3(y+z)

16、+y3(x+z)+z3(x+y)-2(x2y2+y2z2+x2z2)0,也即xy(x-y)2+yz(y-z)2+xz(x-z)20o此为显然，故命题得证。系统转换法本文给出的代换系统分为二种类型，一类是“余切系统”，它由代换x=cotA,y=cotB.arcz=cotC及其运算组成；另一类是“正切系统S它由代换x=tan-,y=tan-,z=tan-22+(yz)2+(xz)3+2xyyz+2xyxz+2xzyz3?y-yz+3xyxz+3xzyz,即(xy)2+(yz)2+(xz)2xyyz+xyxz+xz-yz,此为显然。例8.在锐角三角形ABC求证:tanAtanBtanC2(sinA+

17、sinB+sinC)贝Ijxvi,yl,z4-b)2+(b-c)2+(a-c)2证：整理后，即要证2(ab+ac+bc)a2+b2+c2+4/3A由Ta=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa=2R2sinAsinBsinC,即要证：2(sinAsinB+sinBsinC+sinAsinC)sin2A+sin2B+sin2C+2y/SsinAsinBsinC令x=cotA,y=cotBz=cotC,即要证：-1112(+=+=)7(l+x2)(l+y3)7(1+y2)(1+z2)7(l+X2)(l+z2)、1112壬nHHH1+x-1+y-l+z_J(i+x2)(l+y2)(l+z

18、?)即2(A+z+/l+x+y)2(x+y+z)十2妇(X+y)(y+Z)(x+z)-(x+y)(y+z)(x+z)(x+y)(y+z)(x+z)因此即要证Vl+x2+yjl+寸+y/l+zrnx+y+z+,止匕即+-cotA+cotE+cotC+巧；sinAsinBsinCABC再令a=tan,p=tan,y=tan,即要证2222a202/la202/移项得a+0+ynJJ,此为显然，故命题得证。在本例中，如果一开始就选取第二种代换，则不仅运算复杂，且难于达到目标。可见两种代换皆不可少。例10.(Garfunkel-Bankoff不等式)在AAEC中，证明.A,BoA.BCtan-+tan

19、-+tan-2-8sinsinsin222222ABC证：令x=tan,y=tan,z=tan,即要证222 x+yr+z+8xyz7(l+x*21)(l+y2)(l+z2)2,8xyz7(l+x3)(l+y2)(l+z2)8xyz(x+y)(y+z)(x+z)8(x+y+z)(x+y)(y+z)(x+z)8(x+y+z-xyz)+(x+y)(y+z)(x+z)l+x1+yl+z所以x2+y2+z2+8xyz7(l+x2)(l+y2)(l+z2)亠+心+4占寸冷84o4_)+(r_3+_)+1(1-x2)2,(1-y2)2t(1-z2)21+x21+y21+z2故等价于沖(1-y2)2i(1-

20、z2)21+y21+z21 # cosA.Acos-2cos2Bcos-2 # 再证式。当MBC是钝角三角形或直角三角形时，结论是明显的。（事实上，设C90,则A+Bcos2A+cos2B=cos2A+l-sin2B=ArEcos-cos-221+cos(A+B)cos(A-B)1),今考虑AABC为锐角三角形的情形。式等价T：1+cos2A1+cos2B1+cos2C+11+cosA1+cosB1+cosC,a一”w亠cos2Acos2Bcos2Cnn据例6,对于锐角二角形ABC,有+-,即从而命题得证。1+cosA1+cosB1+cosC2排序、主元法对于一些较强的不等式，当引进代换，并将

21、各项齐次化以后，有时会出现次数较高，且项数很多的情况，给配凑编组造成困难。这是可以从对称性入手（三角不等式通常都貝有某种对称性），设定变元的人小顺序，并选择某一最为主元，将各项整理为该变元的多项式，则项数相对减少，配凑起來就比较容易。例11试用直接证法，再证Garfunkel-Bankoff不等式（题目参见例10）AEC证：仍取代换4恰1】一，y=tan,z=tan,222即要证+y2+zr2-8z(x+y)(y+z)(x+z)即(x2+y2+z?)(x+y)(y+z)(x+z)2(x+y)(y+z)(x+z)-8xyz据对称性,可设x=minx,y,z,并以x为主元,则可写成x2+(y2+z

22、2)x3+x(y+z)+yz(y+z)2x2(y+z)+2x(y-z)2+2yz(y+z)式左边二x4(y+z)+x3(y+z)2+x3(y+z)(y2+z2+yz)+x(y+z)2(y2+z2)+yz(y+z)(y2+z2)为使式两边齐次，将右边乘入因子l=x（y+z）+yz,且按*降幕排列，得式右边二2X3(y+z)2+2x3(y+z)(y2+z2-yz)+4x-yz(y3+z2)+2(yz)2(y+z)式左边胞式右边二x4(y+z)_x3(y+z)2+x2(y+z)yz-(y-z)2+x(y2+z2)(y-z)2+yz(y+z)(y-z)2二X(y+zx2_x(y+z)+yz+(y-z)

23、2-x3(y+z)+x(y2+z2)+yz(y+z)J二X(y+z)(x-y)(x-z)+(y-z)?(y+z)(yz-x3)+x(y3+z2)J0因此式成立，命题得证。例12在非钝角三角形ABC中，求证：cot3A+cot3B+cot3C+6cotAcotBcotCcotA+cotB+cotC证：令x=cotAty=cotBtz=cotC,即要证x3+y3+z3+6xyzx+y+zt不妨设xyz,贝ijx3+y3+z3+6xyz-(x+y+z) =x3+y3+z3+6xyz-(x+y+z)(xy+yz+xz)=x3+y3+z3+3xyz-x2(y+z)-y2(x+z)-z2(x+y)二x3x

24、?(y+z)+xyz+y3y(x+z)+xyz+|z3-z2(x+y)+xyz=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)二(x_y)/_xz-y2+yz+z(x-y)(y-z)=(x-y)2(x+y-z)+z(x-z)(y-z)0,故命题得证。局部放缩法在利用上述系统解证不等式时，常常会遇到形如J1+x2的结构,它可以分解为J(x+y)(x+z),并可借助均值不等式放缩，根据所证问题的不等号方向，并照顾放缩后有关项的对称性(便于利用系统),通常可采用如下四种放缩手段:frr,X+yX+Z1)2)3)4)vl+x-=7(x+y)(x+z)2时-兰空*土2TOC o

25、1-5 h z.32r321x2x42xx+y+z221+x2电(y+z)21+x2-(y+z)4_4x.czy+I_-y+z1+x-()、+XT=2竺+土_疗2222最后一式当在&+工兰的条件卜方为有效(通常用于非钝角三角形，因为此时2取正切系统后，由一,一,一G(0,得x,y,zg(0,19贝0051J1+x)22242同时，为使结果不致减弱太多，这种放缩应在利用系统变型化简后，对其中的部分项使用。例13在AABC中,求证(sin+sin)2+(sin+sin刍？+(sin+sin)23222222ABC证：令-tan?,y=tan-,z=tan?,即要证两端通乘(x+y)(y+z)(x+

26、z),即要证(yjx+z+zjx+y)?+(zjx+y+xjy+z)，+(xjy+z+yjx+z)，3(x+y)(y+z)(x+z)因为(yJx+z+zjx+y)?=y3(x+z)+z3(x+y)+2yz(x+y)(x+z)y(xy+yz)+z(xz+yz)+yz(x+y)+(x+z)=y(l-xz)+z(l-xy)+2xyz+yz(y+z)=y+z+y2z+yz3同理得(zjx+y+xjy+z)?x+z+x2z+xz2,(xjy+z+yjx+z)?x+y+x2y+xy2三式相加得：式左边(x+y)(l+z2)+(y+z)(l+x2)+(x+z)(l+y2)=3(x+y)(y+z)(x+z)故

27、式成立，命题得证。例14.MBC的内切圆半径为门外接圆半径为R,证明：A.BB.CC.A5rsinsin+sinsin+sinsin-4-22222284RxA/l+z2+8yzvl+x2+8xz/+y?5(x+y+z)+3xyz因为8xyvl+z2=4xy2j(x+z)(y+z)4xy(x+z)+(y+z)=4xy(x+y+z)+4xyz同理有8yzA+5?4yz(x+y+z)+4xyz,8xz-L+yr4xz(x+y+z)+4xyzt三式相加，得：8xyvl+z2+8yzvl+x2+8xz-l+y24(x+y+z)+12xyz=5(x+y+z)+3xyz-(x+y+z-9xyz)2o证：令

28、inf,Y=tan|,z=tan|,即要证去+許+磊24(x+y)(y+z)(x+z)2,也即(x+y)(y+z)(x+z)2即x+y+z-xyz02224即1一(x+y+z)+(xy+yz+xz)-xyz0此式即为x+y+z+xyz2由立知式成立（式强于式），因此命题得证。例16已知AABC的三边a,b,c满足条件：a3b2+c2+bc；b2a2+c2+ac；c2a2+b2+abt求ffi：tantan+tan所以(x)(y)(z)02223即3/J-3(x+y+z)+石(xy+yz+xz)-xyz0也即3(x+y+z)+号zv4j?4AEC4故x+y+z=1即tan+tan+tan/322

29、2品此外，如果我们设定一个最人角，例如C为最人角，此时A,B为锐角，则约束条件可变为Q-x)(l-y)(JJ-z)0,所得的等式便可加强。五、几点说明1.前面所列举的命题，都是以三角形的边角为变元的不等式，其实，对于含白其它变元的三角不等式、对称的代数条件不等式、齐次对称不等式，往往也能借此运算系统来解证。例17.设A,B,C为MEC的内角，证明：对任何实数u,OOCcBrAuw+r+w-2uvsin+2uwsin+2vwsin222ABC证：令x=tan,y=tan,z=tan,即要证222V,W,成立不等式:rr+宀宀2uv亠+2uw+2仮亠Vi+z2Ji+y?Vi+x2ZvilV-因为2

30、uvZ=2乙z(+),a/1+z2Jx+zJy+zx+zy+z同理有2uw亠y(L+丄),71+y3x+yy+z2vw亠3(止+止a/1+x2x+yx+z)o三式相加,式右边2=w2+u2+v2,故式成立，命题得证。/xw2+yw2yir+zirxv2+zvr+-+x+yy+zx+z例18设660,7为锐角，且cos2z+cos2p+cos2/=1,证明:cottzcot0+cot0cot7+cottzcot/-2证：令cos2a=yZfcos2/?=xz,cos3贝Jxy+yz+xz=l,且sina=yz=Jxy+xz,sin/?=Jxy+yz,sin/=Jxz+yz,而ccoscosZ?c

31、otcotp=；=vsinsin/?Jxy+xzJxy+yzJ(y+z)(x+z)2y+zx+zixX1VV同理，cotficoty(+),cotarcot/(+)。2x+yx+z2x+yy+z三式相加，得结论成立。例19设052,05?,且cos2a+cos2p+cos2/+2cosacospcosy=123求证：cosacosp+cos0cos/+cosacosy+sin2a+sin20+sin2y2证：先考虑边界情况。若a、队7中有一个为0,不妨设a=0,则化为(cos0+cosy)，=0故cosp=cos/4),/?=/=,这时式成为2,显然22结论成立。若a.p.y皆人于0,则式化为

32、cos3a+cos2/?-siii2/+2cosacos/7cos/=0即cos2a+cos(0+/)cos(0-/)+cosacos(0+/)+cos(0-/)=0将其看成关于cosa的一元二次方程，有两个根-cos(0+7)、-cos(0-y),因此可分解为cosa+cos(0+/)cos0,故cosa+cos(/?+/)=0o于是180-a=即a+/?+y=180,从而a、队y可构成一个非钝角三角形勿的三个内角。将的两边同加cos2a+cos0+cos?7,化为(cosa+cos/?)2+(cosp+cosy)2+(cosa+cosy)23x=cota,y=cot0,z=cot/,即要证

33、尸+(爲?+总?)+(了吕+話y幻两端通乘(x+y)(y+z)(z+x),化为(xjy+z+yjx+z)2+(yjx+z+zjx+y)?+(zjx+y+xjy+z)，/x+zWxy(y+z)+(x+z)=x?y+矽？+2桦，所以(xjy+z+yjx+z)?ic(y+z)+y2(x+z)+(y+xy2+2xyz)=x(xy+xz)+y(yx+yz)+X，y+xy2+2xyz=x(l-yz)+y(l-xz)+x2y+xy2+2xyz=x+y+xy+xy，同理，尙(yjx+z+zjx+y)?5y+z+y?z+yz，,(zjx+y+xjy+z)?5z+x+z?x+zx?,因此，(xjy+z+yjx+z

34、)2+(yjx+z+zjx+y)?+(zx+y+xjy+z)，2(x+y+z)+x3(y+z)+y3(x+z)+z3(x+y)=2(x+y+z)+x(l-yz)+y(l-xz)+z(l一xy)=3(x+y+z-xyz)=3(x+y)(y+z)(z+x)故成立，命题得证。2.关系式xy+yz+xz=l蕴含了三角形中的全部信息，因而有关三角形的一切关系(包插恒等关系与不等关系)都可借该系统推出。这由卜面的三个命题即可得到说明。命题1.设x,y,z为正数，且xy+yz+xz=l,则必存在三角形ABC,使,AB”Cx=tany=tan,z=tan。222命题2.设x,y,z中至少有二个正数，且xy+y

35、z+xz=l,则必存在三角形ABC,使x=cotA,y=cotB,z=cotC。命题3设x,y,z为正数，且xy+yz+xz=l,则必存在锐角三角形ABC,使x=cotA, y=cotBtz=cotCoB,使*A证：(此处仅证命题1)由条件得xyl,因x,y为正数，故有锐角一，一22故也为2-A耳BIDATDaDtllbt(lly=taii,由此Ov0,2221-tantan一号x+y122锐角。命=-A,则2为锐角，且Cot=tan(-)=tan222222221-xyzC所以z=tan,而A+B+C=/r。2命题2与命题3的证明与此类似。借助运算系统，我们还可以简洁地导出三角形中的一系列恒

36、等关系。例20.试用系统法证明余弦定理，即：在MBC中，有a2=b3+c3-2bccosA证：由于a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,即要证：TOC o 1-5 h zsin-A=siiB+sin*C-2sinBsinCcosA令x=cotAty=cotE,z=cotC,则尙sin2A+sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA111小11X+x1+y1+zJl+y2Jl+z，Jl+x，_2(x4-y+z)2x(x+y)(y+z)(x+z)(x+y)(y+z)(x+z)22=T=2SillA(x+y)(x+z)1+x故成立，命题得证。3.关于三角形的对偶命题由于tanacota,seca,esca等均可通过sina,cosa來表示，则任一个以AABC内角三角函数为变尤的函数关系式均可表达为f(sinA,sinB,sinC,cosAcosB,cosC)。式中也可含有与AABC无关的其它参变量。再设P为任一确定的度量性质(例如P可表示0”，“=0”，“0“0”，“0”利用本论证系统，可以深刻地揭示三角关系式中的一系列同构特征。对偶命题