材料力学第十三讲辽宁工业大学郭鹏飞教授

1、第五章 梁弯曲时的位移5-1 梁的位移挠度及转角研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：对梁作刚度校核； 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。11.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。 与 y 同向为正，反之为负。2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，顺时针转动为正，反之为负。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为： w =f (x)三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量FxwCqC1y小变形2 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程因为在小变形情况下：所以：3即：对于本书采用的坐标系，由

2、下图可见：MM0, w0 xyMM0 xy对等直梁：此即为挠曲线的近似微分方程4二、求挠曲线方程（弹性曲线）1.微分方程的积分 C1、D1为常数，由梁的边界条件（包括位移约束和连续条件）确定。 常数C1、D1确定后，代入上两式即可分别得到梁转角方程和挠曲线方程，从而可确定任一截面的转角和挠度。52、积分常数确定FABCFD位移边界条件：连续条件：光滑条件：6例5-1 由积分法求图示梁的wA、A。FABl解：1、弯矩方程yxx2、微分方程及积分73、确定积分常数4、转角方程，弯矩方程5、最大转角和最大挠度8积分法求解梁位移的思路： 建立合适的坐标系； 求弯矩方程M(x) ； 建立近似微分方程：

3、用约束条件或连续条件，确定积分常数； 一般求极值可用数学方法，也可由挠曲线直接判别。根据本书的规定坐标系，取负号进行分析。 积分求和9例5-2 图示简支梁受分布力作用，确定其挠度、转角方程及最大挠度和转角，EI为常数。解：1、弯矩方程为： 代入微分方程并积分得 y10代入边界条件：w(0)=0, w(l)=0 D=0 所以 11例5-3 由积分法求图示梁的wA、A。解：1) 坐标系如图；AC段：则近似微分方程为：积分可得：xyxxFaaaFEICAB2) 分两段进行分析：BC段：12积分可得：则近似微分方程为：利用约束和连续条件确定C1 、D1 、C2、D2四个常数：时，约束条件：13连续条件

4、：处，由此可得：即：由此可得：14最后可得：（向下）（逆时针）(2) 由约束和连续条件求积分常数；(1) 两段：四个常数，每增加一段，就增加 两个积分常数；小结：(3) 坐标原点一律放在左边，分段写出M(x)；(4) 注意x的范围。15例5-4 求图示弯曲刚度为EI的简支梁的挠曲线和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。解：坐标系如图，求出反力。AD段：则：BAxyF DablxFB FA 分AD、DB两段分析：16积分可得：DB段：则：BAxyF Dablx17直接以(x-a)作为自变量进行积分，可得：确定C1、C2、D1、D2四个常数：则： 处，（1）连续条件：18由此可得：b) 处，由此

5、可得：（2）约束条件：时，a)则梁的挠曲线和转角方程为：AD段：19DB段：由此可得梁左右两支座截面的转角分别为：梁的变形曲线以及相关的量见下图。20对AD段，由w1=0可得极值点位置为：当ab时，右支座截面的转角绝对值最大，为：BACxywCqAF wmaxqBDl/2x1ab2122当ab时，可见x1将小于a，则最大挠度在AD段，为：当载荷接近于右支座，即b很小时，由上式可得：而此时梁中点C截面处的挠度为：两者相差也不超过中点挠度的3%。23 因此，在简支梁中，只要挠曲线无拐点，即可有中点挠度来代替最大挠度。 当载荷作用在梁的中点，即a=b=l/2时，其最大转角和挠度为：总结：遵循了两个规则，即1）对各段都参照同一坐标原点建立弯矩方程；2）以(x-a)为自变量对(x-a