高等数学公式(专升本)

1、 江苏省专转本考试?高等数学?复习指导 (二)倒数关系 (三)平方关系 (四) 二倍角公式 五 数列的公式(一)等差数列12几个常见等差数列的和123 (二) 等比数列12几个常见等比数列的和1234注: 这几个公式在级数中会用到,尤其是级数的间接展开法.六几个常见裂项公式 七球的公式 八扇形公式 第1章 函数、极限与连续第一局部根本内容一函数的根本概念 两个要素：定义域与对应法那么二 六类根本初等函数 三 函数的四个几何性态(一)奇偶性 假设函数的定义域关于原点对称，对于任意，有 显然，假设函数的定义域不关于原点对称，那么其一定是非奇非偶函数(二)周期性通常指最小正周期(三)单调性(四)有界

2、性 对于任意，存在，使得成立，那么称为区间上的有界函数四 关于复合函数 1. 由 复合而成 2. 由 复合而成 分解的根本原那么：由外到内，层层分解，每步都是根本初等函数或类似根本初等函数简单函数 五初等函数 由根本初等函数经过有限次四那么运算或复合，并且能用一个式子表示的函数我们研究的函数都是初等函数六关于极限问题描述性定义 注意：极限记为的情况，属于极限不存在的情况七数列的三个特性 注意：逻辑关系1. 收敛数列一定有界，有界数列不一定收敛2. 无界数列一定发散，发散数列不一定无界3. 单调有界数列必收敛八两类重要极限及其推广 两类重要极限 推广： 注意：利用等价无穷小的近似代换在求极限时，

3、主要用于乘除运算，一般不用于加减运算 例如，当时，以下近似代换经常用到 ， 变形形式如： 另外，以下公式求极限时也经常用到 此结论可以作为公式使用.九 无穷大量与无穷小量 注意：不能孤立地说一个函数是无穷大还是无穷小，它离不开自变量的变化趋势十 关于无穷小的性质与定理 十一关于无穷小的阶的比拟设，都是在自变量的同一趋势下的无穷小(1) 如果=0，那么称是比高阶的无穷小，记作0(2) 如果=，那么称是比低阶的无穷小.(3) 如果=，那么称与同阶无穷小，特别是如果，那么称 与是等价无穷小，记作十二夹逼定理定理 如果, ,满足以下两个条件(1) 对于的某一空心邻域内的一切有成立，(2) 那么有十三关

4、于连续与间断点定义1 如果函数=()在点满足(1) 在点的某邻域内有定义含点(2) 存在(3) 那么称函数=在点处连续，否那么称函数在点处间断.剖析：同时满足三个条件，缺一不可 (1) 有定义，存在(2) 有极限，存在(3) 极限值=函数值，定义2 设函数在点的某邻域内有定义，如果有 成立，那么称函数在处连续.十四间断点及其分类 前提：是间断点 第一类间断点 第二类间断点十五闭区间上连续函数的性质 定理 (最值定理) 在闭区间a,b上的连续函数一定有最大值和最小值.在区间(0,1)内连续，但在开区间(0,1)内既无最大值也无最小值. 推论 假设函数在闭区间上连续，那么它在该区间上有界. 定理

5、(介值定理) 假设在闭区间a,b上连续，那么它在a,b内能取得介于其最小值和最大值之间的任何数. 定理 (零点定理) 设函数在a,b上连续，且与异号，那么在开区间(a,b)内至少存在一点，使得. 这一定理说明，假设闭区间a,b上的连续曲线在端点处的函数值异号，那么该连续曲线与轴至少有一个交点. 注:要证明根的唯一性时，要用到函数的单调性 说明：闭区间上的连续函数的图像，象山的轮廓线一样，上下起伏、连绵不断，有波峰最大值，也有波谷最小值 第二局部 典型例题专题一：关于函数值及表达式，求 答案：2. 假设，求 答案：3. 假设，求 答案： ，求的表达式 答案：5. 假设，求 ， 答案：，6. 假设

6、可微，且，求 答案：7. 假设，求 答案：8. 假设存在，且，求 答案： 9. 假设，求 答案： 10. 设，求 答案： 专题二：关于奇偶性及应用 11.判断以下函数的奇偶性 答案：奇函数 答案：奇函数答案：奇函数答案：是偶函数 答案：是奇函数12. 求以下定积分 答案：，专题三：关于极限问题13. 求以下极限答案： 答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：14. 设，求的值答案：15. 设，求的值答案：16. 设，求的值答案：专题四：关于连续与间断问题 答案:第一类(可去)间断点 答案:第一类(跳跃)间断点 答案: 第二类间断点 答案: 第二类间断点 答案: 第一类(跳跃)间断

7、点 答案: 第一类(可去)间断点; 第二类间断点. 18. 判断函数的连续性 答案: 时处处连续,否那么其余点连续,而在处不连续.19. 假设函数在处连续,求的值. 答案: 20. 假设函数在处连续,求的值. 答案: 专题五：无穷小与无穷大 21.以下函数何时为无穷小, 何时为无穷大? 答案: 答案: 答案: 答案: 专题六：闭区间上连续函数的性质 22.证明:假设在区间上连续,那么在内至少有一点,使 23. 证明:方程(1) 在内至少有一根(2) 在内有且仅有一根 24. 证明:方程在内有且仅有一根在闭区间上连续,且, 为任意正常数,求证在内至少有一点,使等式成立. 第2章 导数与微分第一局

8、部根本内容一导数定义函数 的某邻域内有定义，假设极限存在，那么称函数在该点可导,二导数的两种形式(1)增量式(2)两点式三导数的几何意义 () (1)切线方程 (2) 法线方程 四左导数与右导数1左导数2右导数 注意逻辑关系：五导数的运算法那么 推论 推论六导数的根本公式 常见 七微分的概念1. 假设，那么记 微分，其中，又， 那么微分 2.微分的几何意义：表示曲线上点处的切线的纵坐标的增量.八微分的运算法那么 推论: 九微分的根本公式 上述公式可以左右互换，这个就是后面经常要用到的凑微分公式，这里提前掌握，有利于后面不定积分的学习十常见凑微分公式 常用 ， 十一隐函数的求导的三种方法 方法一

9、：将隐函数化为显函数一般很困难 方法二：方程两边同时对求导数 始终将看成的函数，对含有的函数求导时必有 方法三：方程两边同时求微分 最后合并同类项，求出即可 十二对数求导法 适用对象：(1)幂指函数(2)函数的连乘、连除、乘方、开方的形式步骤：(1)两边同时取自然对数显函数变成隐函数 (2)两边同时对求导十三参数方程所确定的函数的求导 十四复合函数的求导链式法那么 根本方法：由外到内，层层分解，层层求导，逐个相乘 ，由复合而成 ，由复合而成 注：复合函数的微分形式的不变性注：求复合函数的微分既可以按照微分的定义求，也可以按照微分形式不变性求 十五高阶导数 例如：， 注：显函数的高阶导数往往要用

10、到归纳的方法，建立与的关系 十六微分在近似计算中的应用 因为时，所以 特别，当时，有 第二局部 典型例题专题一：关于导数值，求 答案：2. 假设，按定义求 答案： 3. 假设，求 答案：在处连续，且，求 答案：5. 假设，求 答案：6. 假设为偶函数，且在处可导，求证专题二：复合函数的求导 7.答案： 答案：答案：，求答案：可导，求答案：专题三：对数求导法8. 答案： 答案： 答案： 答案：专题四：隐函数及参数方程所确定的函数的求导 9. 答案： ,答案：， 答案： 10. 答案： 答案： 专题五：高阶导数 11. ,求 答案： 求 答案： ，求 答案： ，求 答案：专题六：导数的几何意义 1

11、2.求证曲线 上任意点处的切线与轴，轴所围的三角形的面积为2 13.求证抛物线 上任意点处的切线在两个坐标轴上的截距之和为 14.求曲线 上经过点处的切线方程 答案： 15.求曲线 上在处的法线方程 答案：由方程确定，求曲线在点处的切线方程 答案：在点与直线相切，求的值 答案：与的交点为，且在此点处有公共切线，求的值 答案：专题七：关于分段函数在点处的连续性与可导性. 答案:连续但不可导在点处的连续性与可导性. 答案:连续且可导,问当为何值时,该函数在点处 (1)连续; (2)可导; (3)导函数连续 答案:(1); (2) ; (3) 在处可导,求的值. 答案: ,求. 答案: 专题八：关于

12、微分在近似计算中的应用 24.(1)求的近似值 答案:(1) (2)求的近似值 答案:(2) 25.证明:当时, 第3章 导数的应用 第一局部 根本内容一微分中值定理及其推论 1罗尔定理 如果函数满足以下条件(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；(3)在区间的两个端点处的函数值相等，即那么至少存在一点，使得2拉格朗日定理 如果函数满足以下条件(1) 在闭区间上连续；2在开区间内可导；那么至少存在一点，使得3柯西定理 如果函数与满足以下条件在闭区间上连续；2在开区间内可导，并且在内每一点处均有，那么至少存在一点，使得推论1 假设函数在区间内可微，且，那么在内是一个常数推论2 假设函数和在内

13、每一点的导数与都相等，那么这两个函数在内仅仅相差一个常数二罗必塔法那么适用对象：未定式型与型定理 如果函数和满足 (1) ； (2)在点及其附近可导,且； (3) ， 那么 注：条件成立，罗必塔法那么可以屡次使用型和型可以转化为型或型三单调性及其判断(1) 定理 如果函数在区间内可导： 1假设在内，那么在内是单调增加的；2假设在内，那么在内是单调减少的； (2) 单调区间的分界点只有两类 四函数的极值1函数的极大值与极小值定义 如果函数在点及附近有定义，对于近旁除点外的所有，满足 1,那么称为函数的一个极大值，称为函数的极大值点 2,那么称为函数的一个极小值，称为函数的极小值点定理1 极值的必

14、要条件 设函数在点处可导，且在点处取得极值，那么必有定理2 极值判别法1 设函数在点的某邻域内可导，且为函数的极值嫌疑点，那么在该邻域内 1当时，而当时，那么为函数的极大值，为极大值点 2当时，而当时，那么为函数的极小值，为极小值点 3当与时，不变号，那么不是函数的极值，不是极值点定理3 极值判别法2 设函数在点处具有二阶导数，且 1假设，那么为函数的极大值，为极大值点 2假设，那么为函数的极小值，为极小值点(2) 极值嫌疑点两类 (3) 逻辑关系 可导函数的极值点一定是驻点； 驻点不一定是极值点； 函数的极值点要么是驻点，要么是一阶不可导点五函数的最值 1定义 函数在闭区间上连续，如果存在点

15、，使得对于任意，都有 1,那么称为函数在区间上的最大值，称为函数的最大值点 2,那么称为函数在区间上的最小值，称为 函数的最小值点最大值与最小值统称为最值，最大值点与最小值点统称为最值点2最值的求法 设是连续函数在区间上的四个极值嫌疑点，在上的最大值记为，最小值记为，那么有成立六曲线的凹凸性与拐点 1. 定义 如果在某个区间内1曲线弧总位于其上任一点的切线的上方，那么称曲线在该区间内是凹的；2曲线弧总位于其上任一点的切线的下方，那么称曲线在该区间内是凸的；3曲线的 凹与凸或凸与凹的分界点，称为曲线的拐点 2. 凹凸性判定定理定理 设函数在区间内具有二阶导数 1如果在内，那么曲线在内是凹的； 2

16、如果在内，那么曲线在内是凸的；七曲线的渐近线(1) 水平渐近线假设，或，那么称直线为曲线的水平渐近线(2) 垂直渐近线假设，或，或，那么称直线 为曲线的垂直渐近线 第二局部 典型例题专题一：不等式的证明 例1 证明以下不等式 专题二：等式的证明例2 设，证明多项式在内有一个零点例3 设在上连续，内可导，且，证明在内至少存在一点，使专题三：关于罗必塔法那么 例4 求以下极限 答案： 答案： 答案： 答案： 答案：答案：答案： 答案： 答案： 答案： 专题四：关于极值与最值例5 求的最大值 答案：例6 求在区间上的最值 答案：例7 求函数在上的最大值和最小值 答案： 例8 甲船以每小时20海里的速

17、度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北82海里处以每小时16海里的速度向南行驶，问经过多少时间两船距离最近？ 答案：例9 某厂每批生产某种商品单位的费用为 得到的收益是问每批生产多少单位时才能使利润最大？答案：例10 从一块半径为的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的中心角取多大时，做成的漏斗的容积最大？并求最大容积答案：例11 一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金为1000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加50元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费100元的维修费,试问房租定为多少时,可获得最大收入. 答案：元 例12 都是函数的极值点,求的值 答案：专题五：关于凹

18、凸性与拐点例13 求曲线 的拐点 答案：例14 求曲线 的凹凸区间 答案：例15 曲线在点处具有水平切线,且点为该曲线的拐点，求的值及曲线方程 答案：专题六：关于曲线的渐近线 例16 求以下曲线的渐近线 答案：直线为水平渐近线；无垂直渐近线 答案：直线为水平渐近线；为垂直渐近线 答案：直线为水平渐近线；为垂直渐近线 答案：直线为水平渐近线；无垂直渐近线第4、5章 不定积分和定积分第一局部 根本内容一两个定义定义1 原函数 设函数在某区间I上有定义，如果存在函数，对于该区间上任一点,都有，那么称函数是在该区间上的一个原函数注：假设函数存在原函数，那么其原函数有无数多个，相互之间仅仅相差一个常数原

19、函数的全体记作定义2 不定积分假设是在区间I上的一个原函数,那么C为任意常数称为在该区间上的不定积分，记为注：求不定积分即求原函数的全体二不定积分的根本性质微分法与积分法互为逆运算口诀：先积后导微，形式不变 口诀：先导微后积，差个常数三不定积分的根本公式 四第一类换元积分法 定理1第一类换元积分法 技巧：从被积函数中选择一个函数凑成微分形式后，这时前面的被积函数要同时化成的函数或者其本身，实现前后一致这时就可以直接应用不定积分的根本公式常见的凑微分的公式要求熟练掌握，实际上这些公式就是将微分公式反过来，左右互换被积函数是商时，一般要变成乘积，这样容易凑微分 五第二类换元积分法 定理2第二类换元

20、积分法简单根式代换将无理式化成有理式三角代换将无理式化成有理式六分部积分法 适用对象：被积函数是两种或者两种以上不同类型的函数的乘积的形式技巧：(1)首先要通过凑微分化成标准形式，然后应用公式 (2)含有幂函数时,一般不选择幂函数凑微分,因为幂函数凑微分后, 形式上次数升高了,问题变的更复杂了例如幂函数与指数函数或者与三角函数相乘时(3)当且仅当幂函数与反三角函数或者与对数函数相乘时,只能选择幂函数凑微分(4)有时凑微分比拟自由,如指数函数与三角函数相乘时 微积分的根本公式牛顿莱布尼兹公式定理：如果函数在区间上连续，是在区间上任一原函数，那么 七 定积分的换元积分法 定理：假设函数在区间上连续

21、，函数在区间上单值且有连续的导数,当在(或者)上变化时，的值在上变化，且 或者 那么 或 注：应用定积分的换元积分法时，换元必换限，上限对上限，下限对下限；只管对应关系，不管大小关系 性质：八定积分的分部积分法 九分式函数不定积分的三种常用方法 方法一：凑因子法常数因子或者函数因子 方法二：裂项法 方法三：凑微分法即第一类换元积分法十三角函数的不定积分遇到三角函数的高次幂，根本方法是降幂，有两种方法降幂方法一：正弦和余弦的二次幂，用二倍角公式方法二：通过凑微分降幂十一原函数存在定理 定理：假设函数在上连续，那么变上限定积分在上可导，且即假设函数，那么 推论：假设函数在上连续，都可微，记 ，那么

22、有 第二局部典型例题 专题一：分式函数的不定积分 答案： 专题二：三角函数的不定积分 答案： 专题三：分部积分 答案： 专题四：分部积分法中重复出现的问题 答案： 专题五：分段函数的定积分答案： 专题六：其他定积分 答案： 专题七：抽象函数定积分 1假设 ，求 答案： 2假设是 的一个原函数，求 答案：3假设 ，求 答案：专题八：变上限定积分 1求极限 答案： 2求极限 答案： 3设 答案： 4设 答案： 5设 答案： 6设 答案： 7设 答案： 8求 的极值 答案：为极小值 9讨论曲线在区间上的单调性和凹凸性 答案：单调增加，凸 专题九：证明题 1设是以为周期的连续函数，证明的值与无关，即证

23、明 2(1)假设是连续函数，且为奇函数，证明 是偶函数 (2)假设是连续函数，且为偶函数，证明 是奇函数 3设在上连续，在内可导，且 ，证明在内有 4在上连续，那么方程在内有且仅有一个实根 5设在上连续，证明， 并计算答案：第6章 定积分的应用第一局部 根本内容一微元法 (1)面积元素 ；(2体积元素 ；二面积问题 (1)连续曲线，直线与轴所围图形的面积. (2) 曲线与曲线，直线所围平面的面积 (3)连续曲线，直线与轴所围平面的面积为 (4)曲线与曲线，直线所围平面的面为注： 从理论上讲，一个平面图形既可以选择以为积分变量，也可以选择以为积分变量只不过可能一个计算简单，一个计算复杂一般而言，

24、假设有两条直线垂直于轴，那么选择为积分变量有时，为了计算方便，还要对图形进行分割三体积问题旋转体体积 (1) 曲线与直线所围曲边梯形绕轴旋转一周所得的旋转体体积为： (2) 曲线与直线所围曲边梯形绕轴旋转一周所得旋转体体积 四平均值 连续函数在闭区间上的平均值 第二局部 典型例题专题一：面积问题求抛物线及其在点和处的切线所围成的图形的面积答案：求抛物线与直线所围平面图形的面积两种方法 答案：求抛物线与直线所围平面图形的面积两种方法答案：求曲线与直线所围平面图形的面积两种方法答案：求曲线在轴上介于两极值点间曲边梯形的面积答案：由曲线与轴围成的区域被曲线分为面积相等的两局部，求 的值答案：设函数由

25、方程确定，求曲线在点的法线和曲线所围图形的面积 答案：及其在点和处的切线所围图形的面积 答案：和所围图形的面积答案：10曲线与直线所围图形的面积为，求参数的值 答案：专题二：体积问题11求曲线在处的切线与曲线及所围平面绕轴旋转一周所得旋转体的体积答案： 12求由曲线及轴，轴在第一象限所围区域的面积及此区域绕轴旋转一周所得旋转体的体积答案： 13曲线 与所围成的两个图形中较小的一块绕轴旋转一周所得旋转体的体积答案： 14求圆分别绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积答案： 15求曲线与直线所围图形分别绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积答案： 16求曲线与所围图形分别绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积答案：

26、17由曲线与直线及所围平面图形分别绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积答案：18求曲线与直线以及轴所围平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积答案：专题三：平均值问题19. 求函数在上的平均值 答案： 20. 求函数在上的平均值 答案： 第7章 常微分方程第一局部 根本内容一根本概念 1微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程，叫微分方程未知函数是一元函数的方程叫常微分方程，我们在本书中研究的都是常微分方程2 微分方程的阶：微分方程中所含未知函数的最高阶导数的阶数 3微分方程的解：代入微分方程后满足微分方程的函数4微分方程的通解：含有任意常数，常数的个数与阶数相等，且相互之间不能合并的解5微分方程的特

27、解：确定了任意常数的解6初始条件：用来确定任意常数的条件一阶微分方程的初始条件：二阶微分方程的初始条件：7初值问题：求特解的问题二可别离变量的微分方程形如的方程，其中分别是的连续函数，分析解法：(1)别离变量 (2)两边同时取不定积分注：我们做个约定，积分后出现绝对值，去掉绝对值，如，本来，在微分方程中， 三 一阶线性微分方程 形如的方程，其中是的连续函数(1) ，一阶线性齐次微分方程 本质：可别离变量的方程 通解： (2) ，一阶线性非齐次微分方程 应用常数变易法，得 通解： 四一阶微分方程的应用人口问题等增长模型 1 马尔萨斯人口模型，表示人口 2 逻辑斯蒂人口模型，表示人口， 表示人口饱

28、和值 (3) 细胞问题解为 (4) 衰变问题 所求微分方程的特解为 (5) 降落伞问题 ， 特解为 五齐次方程 形如 的方程分析：令得，代入原方程，有 别离变量，可得，这是一个可别离变量的方程，解出即可，最后要将复原 六形如方程 分析：令得，代入原方程，有 别离变量，可得， 这是一个可别离变量的微分方程七可降阶的二阶微分方程(1).型 分析：逐次积分，逐次降阶，总计次积分(2).型分析：微分方程中不显含未知函数，假设令， 那么，问题得以简化(3).型 分析:不显含自变量，仍然是的函数，令那么 ，得到，这是一个一阶微分方程八二阶常系数线性齐次方程形如 的方程，其中均为常数的方程，叫二阶常系数线性

29、齐次方程特征方程：九二阶常系数线性非齐次方程 (1)型 特解 (2)型 特解 (3) 型 特解 注：解的结构非齐次的通解=齐次通解+非齐次的一个特解第二局部 典型例题专题一:可别离变量的微分方程 例1 解以下方程 答案: 答案: 答案: 例2 求以下初值问题 答案: 答案: 答案: 答案: 专题二:齐次方程 例3 解以下方程 答案: 答案: 答案: 专题三:形如型的方程 例4 解以下方程 答案: 答案: 专题四:一阶线性微分方程 例5 解以下方程 答案: 答案: 答案: 例6 求以下初值问题 答案: 答案: 专题五:可降阶的高阶微分方程 例7 解以下方程 答案: 答案: 答案: 例8 求初值问

30、题 答案: 专题六:二阶常系数线性微分方程 例9 解以下方程 答案: 答案: 答案: 答案: 例10 求以下方程的一个特解 答案: 答案: 第8章 空间解析几何与向量代数 第一局部 根本内容行列式的计算二阶和三阶 1. 二阶行列式 2. 三阶行列式 方法一对角线法方法二按照任意行或者列展开，其中表示元素的代数余子式，表示元素的余子式， 二 方程组的解与行列式的关系 1. 二元一次方程组 ，解为 2. 三元一次方程组 ，解为三八个卦限的点的坐标情况 一二三四五六七八X坐标+-+-Y坐标+-+-+Z坐标+- 四关于对称性问题(点)五关于距离问题(点) 六向量的根本概念1既有大小，又有方向的量称为向

31、量矢量如力、位移、速度、加速度2向量的模向量的大小长度3单位向量模为1的向量4零向量模为0的向量5自由向量能够平行移动的向量6与同向的单位向量7向量的表示一般用表示，表示向量的起点，表示其终点；或者用黑体字母表示8平行向量假设两个非零向量的方向一致或相反，称它们为平行向量9负向量把模相等方向相反的向量称为原向量的负向量10相等向量假设两个向量的模相等，方向相同，那么称它们为相等向量11向量的两个要素大小和方向七向量的模 1，那么 2，那么八方向角与方向余弦 定义:向量与三个坐标轴的正方向的夹角， 方向余弦 (1) 2 3 注恒等式，应用比拟广泛，知其二必知其三 反过来，我们可以根据模和方向余弦

32、求坐标十平面方程的三种形式(1)点法式方程设平面上任一点的坐标，假设要点在该平面上，那么，由数量积的性质，两个向量垂直的充要条件是 ； 即 称上式为平面的点法式方程(2)一般式方程 (3)截距式方程 平面经过点 注三种形式的平面方程是可以互相转化的十一特殊的平面的一般式方程 ； 不同时为零，称上式为平面的一般式方程平面的一般方程的特点(1)当时，平面过原点(2)当时，平面平行于轴;当时，平面平行于轴;当时平面平行于轴(3)当时，平面平行于面，或者说平面与轴垂直当时，平面平行面，垂直于轴当时，平面平行面，垂直于轴4当时，平面为面当时，平面为面当时，平面为面小结平面平行于哪个轴，那么那个轴所对应变

33、量的系数为零 十二三个坐标面的方程 十三 两平面夹角两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角设平面；法向量分别为 ，那么 十四平面的特殊位置关系1 ；23 十五直线方程的三种形式1点向式方程标准式，对称式设直线过定点，直线的方向为， 令是直线上任一点，那么，故有 ； 上式称为直线方程的点向式方程 设上式的比值为t，那么有 2参数式方程 为参数 这样，空间直线上动点的坐标、就都表示为变量t的函数形如上式的方程称为直线的参数方程，其中t为参数一般式方程交面式 十六两直线间的夹角 两直线的方向向量间的夹角称为两直线的夹角 设两直线的方程为 ，方向向量 ； ，方向向量；为的夹角，那么有 十七直线的特殊位置

34、关系1；2两直线平行的充要条件是 3两直线重合的充要条件是 十八平面与直线的特殊位置关系12(3) 十九常见的二次曲面及其方程 1.球面方程到定点距离为常数的点的轨迹两个要素球心和半径(1)为球心，为半径 (2)为球心，为半径 2.母线平行于坐标轴的柱面方程1准线定曲线 2母线动直线常见柱面方程1圆柱面 2椭圆柱面 3抛物柱面 3.以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程 小结旋转曲面的方程1 绕X轴旋转 ； 绕Y轴旋转 2 绕X轴旋转 ； 绕Z轴旋转 3 绕Y轴旋转 ； 绕Z轴旋转 注绕哪个轴旋转，那个轴所对应的变量不变，剩下的变量变成其他两个变量的平方根二十常见二次曲面方程及其名称(1) (圆锥面

35、)(2) 旋转抛物面(3) (椭球面)(4) (旋转椭球面)(5) 双曲抛物面，马鞍面注如何判断一个曲面是否是旋转的二次曲面，哪个轴是旋转轴？答假设有两个变量的二次项系数相等，那么是旋转的二次曲面；系数不相等的系数所对应的变量的轴是旋转轴二十一空间曲线的方程1. 空间曲线的一般方程 2. 空间曲线的参数方程，二十二空间曲线在坐标面上的投影 曲面消元 投影柱面 投影柱面与平面相交投影曲线第二局部 典型例题专题一关于曲面名称的判断 1. 以下曲面表示柱面的是 C 2. ( A )3. 在空间坐标系下，以下为平面方程的是 ( D )的是 ( C )5. 绕轴旋转一周，所得曲面是 ( c ) 专题二关

36、于位置关系 ( D ) 且垂直于平面的直线方程为 ( D ) 满足 ( B ) 专题三关于数量积和向量积及应用 5 11设那么1 12均为单位向量，且，那么以向量为邻边的平行四边形的面积为13向量，那么垂直于，且同时垂直于轴的单位向量等于 C 专题四关于平面和直线的方程,且过直线的平面方程 答案： ( 15求过点M且与二平面都平行的直线方程 答案：()16求过点且垂直于直线的平面方程 答案：17直线的标准型方程是 C 专题五关于距离问题到平面的距离答案：到平面的距离答案：第9章 多元函数微分学 第一局部 根本内容一 多元函数 设是平面上的一个点集，如果对于每个点，变量按照一定的法那么总有确定的

37、值与它对应，那么称是变量的二元函数，记为或记为2.二元函数的极限略 3. 二元函数的连续性 (1) (2),其中二偏导数1.定义偏增量 2. 定义偏导数 注:二元多元函数的偏导数和一元函数的本质是一样的，都是增量的比值的极限所以二元多元函数的求导没有新的求导公式和法那么对求导时，是常数；对求导时，是常数；所以二元多元函数的求偏导数，与一元函数的求导数是一样的3. 高阶偏导数 其中称为混合偏导数，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数三全微分 四 复合函数的求导法那么设都在点具有对和的偏导数，且函数在对应点具有连续偏导数，那么复合函数在对应点的两个偏导数存在，且可用以下公式计算：五隐函数的求导法

38、那么(1)确定 得到(2)确定 得到六多元函数的极值 设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，假设满足 极大值、极小值统称为极值；极大值点、极小值点统称为极值点 定理1必要条件 设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，那么它在该点的偏导数必然为零，即 可导函数的极值点必为驻点，驻点就是一阶偏导数同时为零的点定理2充分条件设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令那么在点处是否取得极值的条件如下：七 条件极值 拉格朗日乘数法 第一步：要找函数在条件下的可能的极值点，先构造拉格朗日函数：，其中为某一常数 第二步：解联立方程组： 求得可能的极值点，结合问题本身的实际意义，确定所

39、求的极值第二局部 典型例题专题一: 二元函数的解析式，求 答案：2. ，求 答案：，假设当时，求函数及答案：专题二: 求偏导数,求 答案：,求 答案： ,求 答案：,求 答案：,求 答案：,求, 答案：;,求 答案： ,求 答案：,求 答案：,求 答案：,求 答案：,求,具有二阶连续偏导数 答案：, ,求,具有二阶连续偏导数 答案：,有一阶连续偏导数,求 答案：专题三: 隐函数的偏导数由方程确定，求 答案：由方程确定，求 答案：确定隐函数，试证专题四:二元函数的极值的极值 答案：是极大值的极值 答案：是极小值专题五: 条件极值 23.某车间需要用铁皮制造一个体积为2立方米的有盖长方体水箱，怎样

40、选取它的长、宽、高，才能使水箱使用的材料最省？ 答案： 24.有一宽为24厘米的长方形铁板，把它的两边折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽，问怎样的折法才能使水槽的断面面积最大？ 答案：第10章 二重积分 第一局部 根本内容一二重积分根本概念 二几何意义 小结：二重积分的几何意义是指二重积分可以表示成所围曲顶柱体体积的代数和 三二重积分的性质略1.2.四 积分区域用联立不等式组表示1.2. 注：理论上一个积分区域既可以用不等式组表示，也可以用 不等式组表示.不过可能一个表示简单，一个表示复杂究竟选择哪一种，这与积分区域的形状有关如果积分区域的边界线中有两条直线垂直于轴，一般选择不等式组；如果积分

41、区域的边界线中有两条直线垂直于轴，一般选择不等式组；这一点与第六章中应用定积分求平面图形面积时选择积分变量的技巧是一致的知识点前后照应五 二重积分转化为累次积分 1. 先未知，后先后2. 先未知，后先后注：累次积分次序的选择与积分区域的形状和被积函数两个要素有关理论上，两种次序的累次积分都可以积分区域用不等式组表示越简单，所对应的累次积分越简单如果被积函数中有不可积函数，只能选择某一种次序的累次积分六常见的几个不可积函数注:假设被积函数中出现上述函数时，只能选择先后的累次积分七极坐标方程与普通方程的互化 八极坐标方程化为普通方程的常用两种方法方法一：两边同时平方方法二：两边同时乘以九极坐标下的

42、累次积分注：积分区域为圆、环、扇形的时候，一般用极坐标下的累次积分第二局部 典型例题专题一: 交换以下积分次序 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 专题二: 用极坐标下的累次积分表示二重积分 答案： 答案： 答案： 答案： 答案：专题三: 计算以下二重积分 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案：专题四:证明题在上连续，证明 提示：交换积分次序即可证明 提示：交换积分次序即可证明第11章 无穷级数 第一局部 根本内容一常数项级数称为常数项级数级数的局部和： 常数项级数收敛发散存在不存在 性质1：级数的每一项同乘一个不为零的常数，敛散性不变性质2：收敛级数可以