沪科版八下数学 专题（5）平行四边形的折叠问题

1、沪科版八下数学 专题（5）平行四边形的折叠问题如图，把平行四边形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在点 C 处，BC 与 AD 相交于点 E(1) 连接 AC，则 AC 与 BD 的位置关系是 ；(2) EB 与 ED 相等吗？证明你的结论如图，将平行四边形纸片 ABCD 沿一条直线折叠，使点 A 与点 C 重合，点 D 落在点 G 处，折痕为 EF，求证：(1) ECB=FCG；(2) EBCFGC如图，把一张矩形纸片 ABCD 沿对角线折叠后，会得到怎样的图形呢？(1) 在图中用实线画出折叠后得到的图形；（画图工具不限；只需画出其中一种情形）(2) 折叠后重合部书分是什么图形？试说

2、明理由；(3) 当 AB=3，BC=4 时，求出重合部分的面积如图，在菱形 ABCD 中，ABC=120，将菱形折叠，使点 A 恰好落在对角线 BD 上的点 G 处（不与点 B，D 重合），折痕为 EF，若 DG=2，BG=6，求 AF 的长如图，取平行四边形纸片 ABCD，AB=6cm，BC=8cm，B=90，将纸片折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 EF(1) 求证：四边形 AECF 是菱形；(2) 求折痕 EF 的长如图，正方形 ABCD 中，AB=6，点 E 在边 CD 上，且 CD=3DE，将 ADE 沿 AE 对折至 AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG，CF(

3、1) 求证：ABGAFG；(2) 求 BG 的长；(3) 求 FEC 的面积答案1. 【答案】(1) ACBD (2) EB=ED理由如下：由折叠可知 CBD=EBD 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， CBD=EDB， EBD=EDB， EB=ED2. 【答案】(1) 如图，连接 AC，交 EF 于点 O， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，AD=BC，ADBC， DAC=ACB由折叠可知，DAC=ACG，AE=CE，AD=CG=BC，OA=OC， ACB=ACG， EAC=ECA ABCD， ACD=CAE， ACE=ACD， ECB=FCG(2) 由折叠可知，AEF=

4、CEF， AECD， AEF=EFC， CEF=CFE， CE=CF，又 BC=CG，BCE=DCG， EBCFGC3. 【答案】(1) 如答图(2) 折叠后重合部分是等腰三角形理由如下：如答图， ADBC， 3=1又 矩形 ABCD 沿 BD 折叠， 1=2， 2=3， BDF 为等腰三角形(3) 由（2）得 BF=DF，而 AB=3，BC=4，设 DF=x，则 BF=x，AF=4-x，在 RtABF 中，AB2+AF2=BF2，即 32+4-x2=x2，解得 x=258， 重合部分的面积 SBFD=12DFAB=122583=75164. 【答案】如答图，作 FHBD 于点 H，由折叠的性

5、质可知，FG=FA，由题意，得 BD=DG+BG=8， 四边形 ABCD 是菱形， AD=AB，ABD=CBD=12ABC=60， ABD 为等边三角形， AD=BD=8，设 AF=x，则 FG=x，DF=8-x，在 RtDFH 中， FDH=60， DH=128-x=4-12x，FH=328-x， HG=DG-DH=2-4-12x=12x-2，在 RtFHG 中，FG2=FH2+GH2，即 x2=43-32x2+12x-22，解得 x=267， AF 的长为 2675. 【答案】(1) 由题可知纸片沿过 AC 的中点 O 的直线对折，使点 A 与点 C 重合， AEFCEF， AE=CE，A

6、F=CF，AEO=CEO ADBC， AFE=CEF=AEF， AF=AE， AE=EC=CF=AF， 四边形 AECF 是菱形(2) 连接 BD，OB=12BD=1262+82=5cm，设 AE=EC=x，则 BE=8-x，在 RtABE 中，由勾股定理，得 x2=8-x2+62，解得 x=254 四边形 ABCD 是平行四边形，B=90， 四边形 ABCD 是矩形， OA=OB=5cm在 RtAOE 中，由勾股定理，得 OE=AE2-OA2=2542-52=154cm OE=OF， EF=152cm6. 【答案】(1) AFE 是由 ADE 折叠得到， AF=AD，AFE=AFG=D=90又 四边形 ABCD 是正方形 AB=AD，B=D， AB=AF，B=AFG=90，在 RtABG 和 RtAFG 中， AG=AG,AB=AF, RtABGRtAFGHL(2) 正方形 ABCD 中，AB=CD=6，CD=3DE， EF=DE=13CD=2，CE=CD-DE=4设 BG=FG=x，则 CG=6-x，在 RtECG 中，根据勾股定理，得 6-x2+42=x+22，解得 x=3， BG=3(3) 由（2）