二次函数综合题2022年重庆数学中考一模汇编

1、二次函数综合题2022年重庆数学中考一模汇编如图，已知二次函数 y=33x2+233x-3 的图象与 x 轴交于点 A，B，交 y 轴于点 C，抛物线的顶点为 D(1) 求抛物线顶点 D 的坐标以及直线 AC 的函数表达式；(2) 点 P 是抛物线上一点，且点 P 在直线 AC 下方，点 E 在抛物线对称轴上，当 BCE 的周长最小时，求 PCE 面积的最大值以及此时点 P 的坐标；(3) 在（2）的条件下，过点 P 且平行于 AC 的直线分别交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，把抛物线 y=33x2+233x-3 沿对称轴上下平移，平移后抛物线的顶点为 D，在平移的过程中，是否存在点 D

2、，使得点 D，M，N 三点构成的三角形为直角三角形，若存在，直接写出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=12x2-2x-6 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧）与 y 轴交于点 T，抛物线顶点为 C(1) 求四边形 OTCB 的面积；(2) 如图 2，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D，线段 EF 与 PQ 长度均为 2，线段 EF 在线段 DB 上运动线段 PQ 在 y 轴上运动，EE，FF 分别垂直于 x 轴，交抛物线于点 E，F，交 BC 于点 M，N请求出 ME+NF 的最大值，并求当 ME+NF 的值最大时，四边形 PNMQ

3、 周长的最小值；(3) 如图 3，连接 AT，将 AOT 沿 x 轴向右平移得到 AOT，当 T 与直线 BC 的距离为 55 时，求 AOT 与 BCD 的重叠部分面积如图，抛物线 y=-12x2+52x+3 与 x 轴交于点 A 、点 B，与 y 轴交于点 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为 m,0，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q(1) 求直线 BD 的解析式；(2) 当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 交 BD 于点 M，当 DQB 面积最大时，在 x 轴上找一点 E，使 QE+55EB 的值最小，求 E

4、的坐标和这个最小值(3) 在点 P 的运动过程中，是否存在点 Q，使 BDQ 是以 BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由答案1. 【答案】(1) y=33x2+233x-3=33x+12-433，顶点 D 的坐标为 -1,-433，当 y=0 时，33x2+233x-3=0，解得 x1=-3，x2=1， A-3,0，B1,0当 x=0 时，y=-3， C0,-3，设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，将 A-3,0，C0,-3 代入得，-3k+b=0,b=-3, 解得，k=-33,b=-3, 直线 AC 的解析式为 y=-33x-3(2) BCE 的周

5、长为 BC+CE+BE，其中 BC 的长是固定的， 周长取得最小值就是 BE+CE 取得最小值， 点 E 是抛物线对称轴上一点， BE=AE， BE+CE=AE+CE， BE+CE 的最小值是 AC，点 E 是 AC 与对称轴的交点 点 E 为 -1,-233 点 P 是抛物线上 x 轴下方一点，设点 P 为 t,33t2+233t-3，且 33t2+233t-30过点 P 作 QPx 轴交直线 AC 于点 Q，如图 1，点 Q 坐标为 t,-33t-3当点 P 在对称轴左侧时， SPCE=SPCQ-SPEQ=12PQ0-t-12PQ-1-t=12PQ，当点 P 在对称轴的右侧时， SPCE=

6、SPCQ+SPEQ=12PQ0-t+12PQt-1=12PQ， PQ=-33t-3-33t2+233t-3=-33t2-3t， SPCE=12PQ=-36t2-32t=-36t+322+338当 t=-32 时，PEC 的面积最大，最大值是 338，此时，点 P 的坐标为 -32,-534(3) 存在点 D，使得点 D，M，N 三点构成的三角形为直角三角形，D 点的坐标为 -1,-73+4198，-1,-73-4198，-1,-1134，-1,1734【解析】(3) 图 2 经过点 P 且平行于 AC 的直线 MN 的解析式为 y=-33x-734，当 x=0 时，y=-734，即 N0,-7

7、34，当 y=0 时，x=-214，即 M-214,0，设点 D 的坐标为 -1,d，则 MN2=-2142+-7342=1474， MD2=-214-12+d2=28916+d2， ND2=-12+-734-d2=d2+732d+16316当 MDN=90 时，MD2+ND2=MN2，即 28916+d2+d2+732d+16316=1474，整理，得 4d2+73d-17=0，解得 d1=-73+4198，d2=-73-4198；当 NMD=90 时，MD2=ND2+MN2，即 28916+d2=d2+732d+16316+1474，化简，得 732d=-2318，解得 d=-1134；当

8、 NMD=90 时，ND2=MD2+MN2，即 d2+732d+16316=28916+d2+1474，化简，得 732d=3578，解得 d=1734 存在点 D，使得点 D，M，N 三点构成的三角形为直角三角形，D 点的坐标为 -1,-73+4198，-1,-73-4198，-1,-1134，-1,17342. 【答案】(1) 如图 1，连接 OC， y=12x2-2x-6=12x-22-8， 抛物线的顶点坐标为 C2,-8，对称轴为直线 x=2，T0,-6，令 y=0，A-2,0，B6,0， OT=6，OB=6， S四边形OTCB=SOTC+SOBC=12OTxc+12OByc=30.(

9、2) 设 Em,0， Fm+2,0， B6,0，C2,-8， 直线 BC 解析式为 y=2x-12， EEx 轴，FFx 轴， Mm,2m-12，Em,12m2-2m-6， Nm+2,2m-8，Fm+2,12m2-8， ME=-12m2+4m-6，NF=-12m2+2m， ME+NF=-12m2+4m-6-12m2+2m=-m-32+3, 当 m=3 时，ME+NF 有最大值，最大值为 3， E3,0，F5,0， M3,-6，N5,-2， MN=25， EF=PQ=2， C四边形PNMQ=PN+MN+PQ+MQ如图 2，将 N 向下平移 2 个单位，得到对应点 N1， N15,-4，又作 N1

10、 关于 y 轴的对称点 N2，连接 N1N2，MN2 与 y 轴的交点为 P，Q，易得 PN=N2Q，此时 MN2 最小， MN2=PN+MQ， N2-5,-4， MN2=217， C四边形PNMQ最小值=MN2+MN+PQ=217+25+2(3) 如图 3， C2,-8，B6,0， BC=45，BD=4，CD=8连接 TT 并延长交 BC 于 R， T 到 BC 的距离为 55，过 T 作 TSBC，垂足为 S， TS=55， TRSCBD， TRCB=TSCD， TR=TSCBCD=12 TTx 轴， R3,-6， T152,-6，T272,-6，当 T 为 T152,-6， T 在 BC

11、D 内部，如图 4， AOT 与 BCD 重叠部分为梯形，设 AT 与 CD 的交点为 G，则 AGDATO， O52,0， AD=32， GDTO=ADAO， GD=92， DO=12， S重叠=GD+TO1212=218当 T 为 T272,-6，T 在 BCD 外部，如图 5，设 AT 与 CD，BC 交于 J，K， TO 与直线 BC 交于点 H， O72,0，A32,0，H72,-5， 直线 AT 为 y=-3x+92， J2,-32， K3310,-275， S重叠=SBCD-SCJK-SBHO=22140， 重叠面积为 218 或 221403. 【答案】(1) 当 y=0 时，

12、-12x2+52x+3=0，解得 x1=6，x2=-1，所以 A-1,0，B6,0，当 x=0 时，y=3，则 C0,3因为点 D 与点 C 关于 x 轴对称，所以点 D 为 0,-3设直线 BD 的解析式为 y=kx+b，将 D0,-3 和 B6,0 分别代入解析式得 b=-3,6k+b=0, 解得：k=12,b=-3. 所以直线 BD 的解析式为 y=12x-3(2) 如图 1，设点 P 的坐标为 m,0，则点 Qm,-12m2+52m+3，Mm,12m-3 QBD的面积=12OBQM=126-12m2+52m+3-12m+3=-32m-22+24, 所以当 m=2 时，QBD 的面积有最

13、大值，此时 Q2,6如图 2 所示：过点 E 作 EFBD，垂足为 F在 RtOBD 中，OB=6，OD=3，则 BD=35，所以 sinEBF=EFBE=sinOBD=ODBD=335=55，所以 EF=55BE，所以 QE+55EB=QE+EF，所以当点 Q，E，F 在一条直线上时，QE+55EB 有最小值，过点 Q 作 QFBC，垂足为 F，QF 交 OB 与点 E设 QF 的解析式为 y=-2x+b，将点 Q 的坐标代入得：-4+b=6，解得 b=10所以 QF 的解析式为 y=-2x+10当 y=0 时，-2x+10=0，解得 x=5，所以点 E 的坐标为 5,0，即点 E 的坐标为

14、 5,0 时 QE+55EB 有最小值所以 QE+55EB 的最小值 =5-22+6-02+556-5=35+55=1655(3) 当 QDB=90 时，如图 3， DQ 的解析式为 y=-2x-3将 y=-2x-3 与 y=-12x2+52x+3 联立解得：x=9+1292 或 x=9-1292所以点 Q 的坐标为 9+1292,-12-129 或 9-1292,-12+129，当 QBD=90 时，如图 4， DQ 的解析式为 y=-2x-7.5-3=-2x+12，将 y=-2x+12 与 y=-12x2+52x+3 联立解得 x=3 或 x=6（舍去），所以点 Q 的坐标为 3,6当 BQD=90 时，如图 5，设点 Q 的坐标为 x,-12x2+52x+3，