三个正数的算术几何平均数教案

1、三个正数的算术几何平均数-教案1.1.3三个正数的算术几何平均数一、教学目标.探索并了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明过程.会用平均不等式求一些特定函数的最大（小） 值.会建立函数不等式模型，利用其解决实际生 活中的最值问题.二、课时安排1课时三、教学重点会用平均不等式求一些特定函数的最大（小）值.四、教学难点会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中 的最值问题.五、教学过程（一）导入新课已知 x0, y0,证明：（1 + x + y2）（1 + x2 + y） 9xy.【证明】 因为x0, y0,所以1 + x + y23/Xy20,1 +x2 + y 3 /x2y05故(1+x +

2、 y2)(1 +x2+y) 3 x/Xy - 3fx2y = 9xy.(二)讲授新课教材整理1三个正数的算术几何平均不等式.如果 a, b , c R+ ,那么 a3 + b3 + c3 3abc,当且仅当 时，等号成立.a+ b-P c2.定理3:如果a, b, cWR+,那么a ； c3Rabc,当且仅当 时，等号成立.即三个正数的算术平均 它们的几何平 均.教材整理2基本不等式的推广对于n个正数al, a2,，an,它们的算术平均.M a a tal + a2+ + ann /1匕们的几何平均，即A/a1a2- an,当n且仅当a1 = a2 =an时,等号成立.教材整理3利用基本不等式

3、求最值 若a, b, c均为正数，如果a+b+ c是定值S,那么 时，积abc有 值；如果积abc是定值P,那么当a= b=c时，和 有最小值.(三)重难点精讲 题型一、证明简单的不等式例1设a, b, c为正数，求证：-l+A+A (a abc2 + b+ c)227.【精彩点拨】根据不等式的结构特点，运用 a+ b+ c3 /abc,结合不等式的性质证明.【自主解答】a)。，b0, c0,a+ b+ c3 /abc05从而(a+ b+c)29 1a2b2c2 0.又工+ :abca+c2(a+b+c) 9 3/a2b2c2 = 27,a b c当且仅当a=b= c时，等号成立.规律总结：.

4、(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否 满足条件，即a0, b0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现 “积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不 妨运用平均不等式试试看.连续多次运用平均不等式定理时，要特别注 意前后等号成立的条件是否一致.再练一题1 .设a, b, c为正数，求证:工十1 十三(a+b+c)3n81.a b c /【证明】 因为a, b, c为正数, 一 1所以有十 a1 b31 _-3 = C3abc0.又(a+ b+c)3(31abc)3 = 27abc0,1+ 33+3 (a+ b+ c)381 abc/当且仅当a=b= c时，等号成立.题型二、用平均不等式

5、求解实际问题例2如图所示，在一张半径是 2米的圆桌的正 中央上空挂一盏电灯.大家知道，灯挂得太高了， 桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处 仍然是不亮的.由物理学知识，桌子边缘一点处的 照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 0的正弦成正比，而和这一点到光源的距离 r的平 方成反比，即E= ksinJ.这里k是一个和灯光强度r有关的常数.那么究竟应该怎样选择灯的高度h,才能使桌子边缘处最亮？【精彩点拨】根据题设条件建立r与e的关系式，将它代入E= ksin/,得到以e为自变量, E为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的 最值.【目主解答】2 r =cos二 E= k ,si

6、n 0 cos2 64兀0 e 5.k2162e)cos2 0 , cos2 0k2= 32(2sin 32k2 2sin 2 8 + cos2 8 +cos2 8 3k210% X3 33, TOC o 1-5 h z 2.21当且仅当3r2=1时，即r = ?时等号成立，此时h=?. 32故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应3.9，yw 9 ,，y的取大值为 9 .9为米，高为个米.32当且仅当2x2=1x：3即x=+时等号成立. 3题型三、利用平均不等式求最值例3已知xW R+,求函数y = x(1 x2)的最大 值.【精彩点拨】为使数的“和”为定值，可以先平方，即 y2=x2(1

7、x2)2 = x2(1 x2)(1 -x2) =2x2(1 x2)(1 x2) x 25求出最值后再开方.【自主解答】vy=x(1 -x2),-y2 = x2(1 -x2)2= 2x2(1 x2)(1 -x2) - 2./2x2+(1 -x2) + (1 -x2) =2,2 1 2x2+ 1 -x2+ 1 x234= 27.规律总结：.解答本题时，有的同学会做出如下拼凑：一 219y = x(1 x) = x(1 x)(1 + x) = 2 , x(2 2x) , (1 + x) w g1 x+2-2x+1+x1虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“=”号的条件，显然 x=2-

8、2x=1+ x无解，即无法取“=”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的.解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方 法的题型及数学结构，同时也要注意算术-几何平均 不等式的使用条件，三个缺一不可.再练一题3.若2ab0,试求a +4，一不一二;的最小值.2ab b4a +2ab b2ab+ b2+42ab b2a b b=2+2+42a- b b332a b42a-b b=3，当且仅当2ab b2 = 2=42ab b即a= b= 2时取等号.所以当a=b= 2时，a+42a-bb有最小值为3.（四）归纳小结一平均不等式的理解平均不等式一一制用平均不等式求最值一利用平均不等式证明（五）随堂检测1.已

9、知x + 2y + 3z=6,则2x+4y+8z的最小值为（）A . 3 3/6B2、/2C. 12D. 123/5【解析】Vx + 2y+3z=65 2x + 4y+8z=2x+ 22y + 23z3 32、 22y 23z = 33/2x+2y+3z = 12. TOC o 1-5 h z c 。2当且仅当 2x=22y=23z,即 x=2, y=1, z = 23时，等号成立.【答案】C_I，1.右 ab0,贝U a+ 一的取小值为b abA. 0 B . 1 C . 2 D.3【解析】.a+b1 a b=(a b) + b +1 b ab1 b b a b，1, 一且仅当a=2, b=1时取等号，二a十丁字的最小值为3.故选D.【答案】 D.函数y = 4sin 2x , cos x的最大值为【解析】. y2=16sin2 x , sin 2x , cos2x= 8(sin 2x sin 2x 2cos2x)sin 2x+sin 2x + 2cos2x 3手38 64= 8X 27=27?，y2W6427当且仅当 sin 2x= 2cos2x,