2022年三角函数归纳总结大全整理好的3

1、三角函数 （一）任意角的三角函数及诱导公式 1任意角的概念 角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；一条射线由原先的位置 OA ,绕 着它的端点 O 按逆时针方向旋转到终止位 OB ,就形成角 ；旋转开头时的射线 OA 叫做角的始 OB 叫终边, 射线的端点 O 叫做叫 的顶点； 边, 为了区分起见,我们规定 : 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角 , 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角；假如一条 射线没有做任何旋转 , 我们称它形成了一个零角； 2象限角,终边相同的角,区间角 角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合；那么,角的终边（除端点外）在第几象限

2、,我们就说这 个角是第几象限角；要特殊留意 : 假如角的终边在坐标轴上 , 就认为这个角不属于任何一个象限 , 称为非象限角； 终边相同的角是指与某个角 具有同终边的全部角,它们彼此相 差 2k k Z,即 | =2k+, k Z , 依据三角函数的定义,终边相同的角的各种三角函数值都相等； 5= 6, 56； 区间角是介于两个角之间的全部角,如 | 6 6 3弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角,记作 1 rad ,或 1 弧度,或 1 单位可以省略不写 ； 角有正负零角之分,它的弧度数也应当有正负零之分,如 - , -2 等等,一般 , 正角的弧度数是一个正数,负 角的

3、弧度数是一个负数,零角的弧度数是 0, 角的正负主要由角的旋转方始终准备； 地 角 的弧度数的确定值是： l,其中, l 是圆心角所对的弧长, r 是半径； r角度制与弧度制的换算主要抓住 180 rad ；弧度与角度互换公式： 1rad 180 =57 18； 1 1 21 5（ rad）；弧长公式： l | | r （ 是圆心角的弧度数） ； 扇形面积公式： S l r | | r ； 180 2 24 三角函数的定义 : 以角 的顶点为坐标原点, 始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系, 在角 的终边上任取一个异于原点 2 2 2 2的点 P x, y ,点 P 到原点的距离记为 r r |

4、 x | | y | x y 0 ,那么 y x y x r rsin ； cos ； tan ； （ cot ； sec ； csc ） r r x y x y 利用单位圆定义任意角的三角函数,设 是一个任意角 , 它的终边与单位圆交于点 Px, y , 那么 : 1 y 叫做 的正弦 , 记做 sin , 即 sin y ； （ 2） x 叫做 的余弦 , 记做 cos , 即 cos x ； sin + + （ 3） y 叫做 的正切 , 记做 tan , 即 tan y x 0 ； x x cos + + 5 三角函数的符号： 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们 tan

5、 + + 可 以 得 知 ： 正 弦 值 y 对 于 第 一 , 二 象 限 为 正 r cot + + （ y 0, r 0）,对于第三,四象限为负（ y 0, r 0 ）； 余弦值 x 对于第一,四象限为正（ x 0, r 0 ）,对于其次,三象限为负（ x 0, r 0）；正切值 y 对于第一, r x 三象限为正（ x, y 同号）,对于其次,四象限为负（ x, y 异号）说明：如终边落在轴线上,就可用定义求出三角函数值； 1第 1 页,共 7 页y a 角 的 终 P T 6三角函数线 三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方 法；利用三角函数线在解决比较三

6、角函数值大小,解三角方程及三角不等式等问题 O M A x 时,特殊便利； 以坐标原点为圆心,以单位长度 1 为半径画一个圆,这个圆就叫做单位圆（注 意：这个单位长度不愿定就是 1 厘米或 1 米）；当角 为第一象限角时,就其终边与 单位圆必有一个交点 P x, y ,过点 P 作 PM x 轴交 x 轴于点 M,依据三角函数 的定义： | MP | | y | | sin |； | OM | | x | | cos |； 我们知道,指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关 . 当角 当线段 OM 与 x 轴同向时, OM 的方向为正向,且有正值 的终边不在坐标轴时 , 以 O 为始点, M 为

7、终点,规定： x ；当线段 OM 与 x 轴反向时, OM 的方向为负向, 且有负值 x ；其中 x 为 P 点的横坐标 . 这样 , 无论那种情形都有 OM x cos y ；当线段 MP 与 y 轴反向时, MP 的方向为负 同理 , 当角 的终边不在 x 轴上时 , 以 M为始点, P 为终点, 规定：当线段 MP 与 y 轴同向时, MP 的方向为正向,且有正值 向,且有负值 y ；其中 y 为 P 点的横坐标； 这样 , 无论那种情形都有 MP y sin ；像 MP, OM 这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段； 如上图 , 过点 A1,0 作单位圆的切线 , 这条切线必定平行于

8、 y 轴 , 设它与 的终边交于点 T , 请依据正切函数的定 义与相像三角形的学问 , 借助有向线段 OA, AT , 我们有 tan AT y x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP, OM,AT , 分别叫做角 的正弦线,余弦线,正切线,统称为三角 函数线； 6同角三角函数关系式 sin2+cos2=1 （平方关系） ； sin cos =tan （商数关系） ； tan cot=1（倒数关系） . 使用这组公式进行变形时,经常把“切” ,“割”用“弦”表示,即化弦法,这是三角变换特殊重要的方法； 几个常用关系式： sin+cos, sin -cos, sin cos； 三式之间可

9、以相互表示 同理可以由 7诱导公式 sin cos 或 sin cos 推出其余两 式； 可用十个字概括为“奇变偶不变,符号看象限” ； k Z 诱导公式一： sin 2 k sin , cos 2k cos ,其中 诱导公式二： sin180osin ； o cos180 cos 诱导公式三： sin sin ； cos cos 诱导公式四： sin180osin ； cos180 ocos 诱导公式五 ： sin360 osin ； cos360 ocos 2第 2 页,共 7 页 o22k k Z 2sin sin sin sin sin sin cos cos sin cos cos

10、cos cos cos （ 1）要化的角的形式为 k 180（ k 为常整数）； （ 2）记忆方法： “奇变偶不变,符号看象限” ； （ 3） sink += 1ksin； cosk + = 1kcos k Z； （ 4） sin x 4cos 4x cos x 4； cos x 4sin 4x ； （二）三角函数的图像与性质 1正弦函数,余弦函数,正切函数的图像 -3y=sinx -5 -2 -3 -3-2y 2-3523742x x 1 o-1 -4 -7 -3 2222222y=cosx -5 -2 -3 -2y 235374x 1-3 222o-1 -4 -7 2222y=tanx y

11、 2x y o3y=cotx o- 2 - 2 2222.三角函数的定义域,值域及周期如下表： 函数 x | x 定义域 Z 值域 周期 y sin x R 1,1 2y cosx R 1,1 2y tan x k 2,k R3三角函数的单调区间： y sin x 的递增区间是 2k 2,2 k 2k Z ,递减区间是 2k 2,2k 3k Z ； 2y cosx 的递增区间是 2k ,2k k Z ,递减区间是 2k ,2k k Z ; 3 第 3 页,共 7 页y tan x 的递增区间k 2, k 2 k Z , 是 4对称轴与对称中心： y sin x 的对称轴为 x k 2,对称中心

12、为 k ,0 k Z ； y cosx 的对称轴为 x k ,对称中心为 k 2 ,0 ； 对于 y Asin x 和 y A cos x 来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系； 5函数 y Asin x B（其中 A 0, 0） 最大值是 A B ,最小值是 B A,周期是 T 2,频率是 f ,相位是 x ,初相是 ；其图象的对 2称轴是直线 x k k Z ,凡是该图象与直线 y B 的交点都是该图象的对称中心； 26由 y sinx 的图象变换出 y sin x 的图象一般有两个途径,只有区分开这两个途径,才能灵敏进行图象变换； 利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先

13、伸缩后平移也经常显现 无论哪种变形,请切记每一个变换总 是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少； 途径一：先平移变换再周期变换 伸缩变换 个单位, 再将图象上各点的横坐标变为原先的 1倍 0, 先将 y sinx 的图象向左 0或向右 0平移 便得 y sin x 的图象； 途径二：先周期变换 伸缩变换 再平移变换； 先将 y sinx 的图象上各点的横坐标变为原先的 1倍 0,再沿 x 轴向左 0或向右 0平移 | | 个单位, 便得 y sin x 的图象； 三角函数图象的平移和伸缩 函数 y Asin x k 的图象与函数 y sin x 的图象之间可

14、以通过变化 A, , , k 来相互转 化 A, 影响图象的形状, , k 影响图象与 x 轴交点的位置由 A 引起的变换称振幅变换,由 引起的变换称 周期变换,它们都是伸缩变换；由 引起的变换称相位变换,由 k 引起的变换称上下平移变换,它们都是平移变换 既 可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移 变换方法如下： 先平移后伸缩 y sin x 的图象 向左 0 或向右 0 得 y sin x 平移 个单位长度 y sin x 的图象 横坐标伸长 0 1 得 y sin x 到原先的 1纵坐标不变 y sin x 的图象 纵坐标伸长 A 1 或缩短 0A c, b + c a, c + a b, a b c, bc b； 正弦定理 a sin A bc 2R （ R 为外接圆半径） ； sin B sin C 余弦定理 c2 = a2+b2 2bccosC,b2 = a2+c2 2accosB,a2 2它们的变形形式有： a = 2 R sinA, sin A a , cos A bsin B b 5三角形中的三角变换 = b2+c2 2bccosA； 2 2c