2022年三角函数知识点归纳

1、三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1.任意角. 1 角的概念的推广按旋转方向不同分为竝、鱼角、零角 正角 : 按逆时针方向旋转形成的角任意角负角 : 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角 按终边位置不同分为象限角和轴线角 .角 a 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,就称 a 为第几象限角 . 第一象限角的集合为 a R . 360 v a v k . 360 + 90 , z “ 其次象限角的集合为 aR. 360 + 90 k. 360；+180；, keZ第三象限角的集合为a k. 360 +180 v a v k . 360

2、 + 270缺 e z 第四象限角的集合为 a|k. 360 + 270；va v1360 + 360；, keZ终边在 x 轴上的角的集合为 a|a = I180 ,Z 终边在丁轴上的角的集合为 a|a = R . 180 +90 e z 终边在坐标轴上的角的集合为 aa = k-90,ke Z终边与角 a 相同的角可写成 a+/ 360 HZ.终边与角 a相同的角的集合为 0 卜=1360 +a,keZ 3弧度制弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 . 弧度与角度的换算： 360 =红弧度； 180 弧度 . 半径为 r 的圆的圆心角 &所对弧的长为 /, 就角 Q

3、 的弧度数的肯定值是 a = 如扇形的圆心角为 aa为弧度制 ,半径为 r,弧长为 /, 周长为 C,面积为 S,就 f C = 2r+l 9S = -lr = ar 1.2 21 12. 任意角的三角函数定义设 a 是一个任意角,角 a 的终边上任意一点刃,它与原点的距离为心 =衣+ , 那么角 a 的正荻、余眩、V X V正切分别是： sin a=- ,cos a=, tan a=: 三角函数值在各象限的符号规勵瀕为r JT x: 二全正、 二正弦二三正虬四余弦 L3.待殊角的三角函数值、週度030456090120135150180270360角 a的弧度0n/6n/4n/37l/22

4、K3K/45JI/6713n/22 71/3sina01/27x/3/217V2/21/20-103/22/2cosa1V3/271/20-1/2-V2/2-7-1012/23/2tana0V3/31V3-x/3-1-V003/3二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1.同角三角函 数的基 本关系平方关系 : sin%+cos%=l；（在利用同角三角函数的平方关系时,如开方,要特殊留意判定符号）（2）商数关系 : sin a - =tan a. cos a 3倒数关系： tan7-cot6Z = 1 2.诱导公式公式一： sina+2An = sin a, cosa+25=cos_a

5、, tana + 2A TT = tan a 其中 &.Z .公式二： sinit + a = sin_a, COSTT + a = cos_a, tann + n = tan a.公式三： sin 兀一 a = sin a, cosn-a=-cos_a, tan-cr = -tancr. 公式四： sina= sin.Q, cos a = cos_a, tan a = tan a ., n 结公式五 : = cos_a,/ JI cos 2 a =sin a.公式六 : = COS_t7,sin_a. JT .诱导公式可概括为J- a 的各三角函数值的化简公式. 口诀：奇变偶不变,符号看象限

6、. 其中的奇、偶是指齐勺奇数倍和偶数倍 , 变与不变是指函数名称的变化. 如是奇数倍,就函数名称要变（正荻变余荻,余荻变正荻）；如是偶数倍就函数名称不变,符号看象限是指：把a 看成锐角时,依据k .云土 a 在哪个象限判定原三角函数值的符号,最终作为果符号 . B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变,符号看象限 . 2、四种方法在求值与化简时,常用方法有: : 丄滋切互化迭匚圭要利用公式sin a .坦 2 卫三煮二化成正丄 CzOS Cl.塞理21 租积转携洼 : 利甩 4- 牡上 2丄砂三丄兰空埜 1企兰旦的浚垂进行变腿 转化sin a + coscz . sin Q

7、cosa、sin acosa 三个式子知一可求二7T 3巧用 1 ” 的变换： 1 = sin26+ cos20- sin = tany . 2 . 44齐次式化切法：已知tana = k,就asina + bcosa a tan a + h ak + b m tan a + nmk + nmsina + ncosa三、三角函数的图像与性质 学习目标：1 矣求三角函数的定义域、值域2 矣求三角函数的周期：定义法,公式法,图像法 3 矣判定三角函数奇偶性 4 矣求三角函数单调区间 5 知道三角函数图像的对称中心,对称轴 如 y = |sin.t|与 ,= |cosx|的周期是； r；6 知道 V

8、 = Asinex + 0, y = A coscox + 0 , y = A tan = sin.r 和余弦函数 ,V = COSA -图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为 0,尹卑如的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正荻曲线和余荻曲线在- 个周期内的图象；y=si nx八 . 71 3 兀7 兀 _ 兀 、 . 上/ 2 兀 匹 34, ,/4兀12、正弦函 9cy = sinxxeR 余弦函数 y = cosxxw/. 的性质：1 定义域：都是 R；2 值域：都是 -1,1, 对 y = sinx , 当 x = 2kz + max = 1；当 X = 2k 兀Vmax

9、= 1；当 X = 2 滋 - 扌周期性zz时, ymin=-i.Z 时, min = -1.JI2/r2 兀奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在 2-,2 + -L 2 2在在 2k7r-2k7rk eZ Jt 是 増函在& 2 tkfP+ 1 “Z 上是増函数 ; . 7T . 3/T数；在 2 灯 r,2 灯 r+龙 “ Z上Z 上是増函数 . 2k 7T + , 2k 7t + L 2 2是减函数 . 仏 eZ上是减函数 . 对称中心 Qr,0AwZ 对称轴尤对称中心 炽+彳, 0 gz对称中心 ￥,0” eZ对称性=.龙+兰伙. Z对称轴 x = &/rk eZ无对称轴25、讨论函数 y

10、 = Asiner + 0 性质的方法：类比于研%y = sinx 的性质,只需将y = Asinex + 0 中的 cox +p 看 成 y = sinx 中的 x；函数尸 Asin x+ A0, 0的性质；1 定义域： R 2 值域：卜 A,A 3 周期性：八磊 fx = Asincox +p和 fx = Acoscox +p的最小正周期都是T = leiA 和的符号,通过诱导公/x = + 0 的最小正周期都是T =丄 o 4单调性：函数尸Asin x+ A0, ty 0 的单调增区间可由215-2max-min ）B = （ Vmax + min ）= X2 Xx（ 函数尸 sinx

11、的图象经变换可得到 y = Asin （3. r + O）的图象左 尸 sin（炉 + 0）_ 横坐标 . 平移倒- . 伸（缩） A 倍- y = sin cox co伸（缩）丄倍 - * 左（右）y = A sin an co伸（缩） A 倍 平移11伸（缩）二倍 横坐标 y = sin（址+ ）纵坐标伸（缩）人倍 .y = Asin （tyx+0 y=siav. 生（右 尹 =sin（X + co 横坐标0） 平移闽 .伸（缩） A 倍 y 二皿 n（x+. . . | 伸（缩）口化横坐标 A . 左（右）y = A sin an - r- 伸（缩）丄倍 平移何-. - = Asinx

12、伸（0 3（缩） A .倍左（右） .y = AsinG + 0 ） 横坐标平移 | 列 伸（缩）丄倍co5、函数 y = Asin （cox +（p） + b 的图象与 y = sinx 图象间的关系：函数y = sinx 的图象向左（； 0）或向右 （.0）或向下 （Z.v0）平移 lb I 个单位,得到 y = Asin（a）x + （p） + b 的图象；要特殊留意,如由 y = sin （cox）得到 y = sin（ar+0）的图象,就向左或向右平移应平移 I 纟 1 个单位,co如要得到函数 y= sin2x-）的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象（）（A）向左平移 个单位

13、 n（B）向右平移 个单位71（C）向左平移石个单位Q）向右平移疳个单位6、函数 y=Acos （ x+ ）和厂 Atan （ x+ ）的性质和图象的变换与尸Asin （ x+ ）类似；三角恒等变换 1、两角和与差的正荻、余荻和正切公式：lcosa+0 = cosacos0-sinasin0 ； coscr-/7 = cosacos/.+sinezsin/7 ；sin Q+0 = sinacos0+cosasin0 ； sina-0 = sinacos0-cosasin0 ； tan a + = tan a + tan = 1 一 tan a tan 0 tana+tan0 = tana +0

14、1-tanatan 0；6tana-0= - = 1 + tan a tan 0 tana-tan/. = tana-Z7l + tanatanZ7.如 tan20 + tan40 + km20 tan40 = _ ; 答案： 冬2、二倍角的正荻、余荻和正切公式：1 sin la = 2 sin a cos a . = 1 土 sin 2a = sin2a + cos2 a 2sinacosa = sina土 cosa _5n 兀 5 兀 兀如 COS +COS2 +COS COS的值等于 _ ； 答案 :-5 2 cos 2a = cos2 a-sin2a = 2cos2 a -1 = 1

15、-2sin2a二升気公式l + cos2a = 2cos2 a,l-cos2a = 2sin 2 aasin0+方 cos& = 7f.+庆 sin0 + 0 ,其中 tan = -.a3、二荻归一二把两个三角函数的和或差化为一个三角函数：4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换,敏捷运用三角公式,把握运算化简的方法. 常用的方法技巧如下: , 互 2L 角的变挟：在三角化简,求值,证明中,表达式中往往显现较多的异角,可依据角与角之间的和差,倍半,互补茶的关系,查找条件与结论中角的关系,运用角的变换,使问题获解,对角的变形如：2a是 a的二倍； 4a是 2a的二倍； a是.的二倍； .是.

16、的二倍；2 2 4 ; 15 =45-30 =60-45 ；问： sin = 12 ； cos= 12 a = a + 0-0；兰 + a =二一 冬一 a； 2a = a + 0 + a-0= 冬 + a- 兰一 a；等等 .2 4 答案：一応 , -1巳知 处丁 =l,uma_0 = _ ,就 tan0-2a= _ ; 答案： ;1-cos 2a 3 8 3L 函. 数名 .松变挟：三角变形中,经常需要变函数名称为同名函数；如在三角函数中正余荻是基础,通常化切为荻 , 丞异名另同石 二荻归一 ；如 sin 50“ 1 + A/3 tan 10 = _ ; 2卩 COSW +也册cos40

17、_ sin80 cos 10 解析: 原式二 sin 50 .coslO 0 /3sinl0o =sin 5T - - = sin 50；2sin 30+l yJ _ 2sin40cos 10 + cos 10 cos 10 .coslO7= cos 10 =“ 1”的代换变形有 : 数代挟：在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数1 = sin2a + cos2a = sin90 = tan45 . L 基的、变挟：降気是三角变换经常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采纳降鬲处理的方法；常用降気公式有：；O 有时需要升籌,常用升靠公式有：.如对无理式 71 +COS a常用升籌化为有理式 . 畑公式变形 : 三角公式是变换的依据,应娴熟把握三角公式的顺用,逆用及变形应用；女口 : cos a cos p 一 sin a sin 0= _ ; sin a cos 0 + cos a sin J3= _ tan a + tan 0 = _ ; 1 一 tan a tan 0 =