学年计算机方向课程大二下代组chapter15.1

1、代数结构Algebraic Structure代数系统环与域半群与独异点格与代数第十五章 代数系统半群、群环、域格、代数子集分类积推广产生等价关系代数系统的代数系统的同态与同构代数系统间关系代数成分：载体及运算公理：运算性质新代数系统商代数积代数子代数 15.1 二元运算及其性质n元运算的定义及实例n元运算的表示二元运算的算律二元运算的特异元素 n元运算的定义定义 设A为集合，函数 f: AAA称为A上的二元运算定义 设A为集合，函数 f: AnA称为A上的 n元运算n=0, 0元运算， f: A，A中的一个元素n=1, 一元运算，f: AA封闭性：运算结果均属于An元运算的实例0元运算0,

2、1, E, B IBIA集合Z ,Q, R, CMn(R)P(B)R(B) AA二元运算+, +, ,一元运算AB=(A B) (B A) 对称差R(B): B上二元关系的集合n元运算的表示算符记号： ，等，表达式：(x1, x2, , xn) = yx1 x2 = yx = y表示方法：表达式运算表（适用于有穷集上的一元和二元运算）n元运算的表示实例表达式：是实数集 R上的二元运算xy = x+y-2xy运算表A=P(a,b), A上的二元运算，一元运算XXaba,ba,bbaaba,baba,baba,baa,bbba,baa,bba运算表的一般形式适用于有穷集aiaia1 a2ana1a

3、2ana1a2ana1 a2ana1a1a1a2a1ana2a1a2a2a2anana1ana2anan二元运算的算律涉及一个二元运算的算律交换结合广义结合幂等消去涉及两个不同的二元运算的算律分配广义分配吸收（以交换为前提）算律的定义设,*为A上的二元运算a,bA,a,b,cA,aA,a,b,cA,ab=ba(ab)c=a(bc)aa=a交换律结合律幂等律分配律a(b*c)=(ab)*(ac)(b*c)a=(ba)*(ca)吸收律 设,可交换a,bA,a(a*b)=a，a*(ab)=a推广：结合律、幂等律、分配律推广到有限项实例：交换、结合、幂等律集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+

4、有有无普通乘法有有无Mn(R)矩阵加法+有有无矩阵乘法无有无P(B)并有有有交有有有相对补无无无对称差有有无AA函数复合无有无实例：分配、吸收律分配律 a,b,cA, a(b*c)=(ab)*(ac)(b*c)a=(ba)*(ca)吸收律 设,可交换 a,bA, a(a*b)=a，a*(ab)=a集合运算分配律吸收律Z,Q,R普通加法+与乘法对+可分配+对不分配无Mn(R)矩阵加法+与乘法对+可分配+对不分配无P(B)并与交对可分配对可分配有交与对称差对可分配对不分配无二元运算的特异元素特异元素名称元（幺元）e零元 幂等元可和说明：存在特异元素也可以作为算律同一律（存在元）零律（存在零元）特异

5、元素的定义与性质定义 设为A上二元运算aA, ea=ae=aaA, a=a=aA, aa=ay) xA, yA, xy=yx=e元 e,零元 ,幂等元 ax (可特异元素的性质元及零元的唯一性如果 |A|1, e 的唯一性：x 的标记为 x-1.可结合运算定理证明定理1 对于给定集合A 和A上的二元运算，如果存在elA 和 erA 使得 xA 满足el x = x= x er,则 el = er = e, 且e 就是A中关于 运算的唯一的元.证 el = el er = er ,令 el = er = e, 则e为元.元，则 e= e e = e假设 e也为定理2对于给定集合A和A上的二元运算

6、，如果存在lA 和 rA 使得 xA 满足l x = l， xr = r,则 l = r = , 且 就是A中关于 运算的唯一的零元.定理证明（续）定理3 设是A 上可结合的二元运算， e为对于A 中元素 x, 存在元素 yl 和 yr 使得ylx = xyr = e,元，如果则 yl = yr = y, 且 y 是 x 的唯一的.yl = yle = yl(xyr) = (ylx)yr = eyr= yr证令 yl = yr = y, y 是 x 的.假设 y也是 x 的，则y = ye = y(xy) = (yx)y = ey = y实例：元、零元、可集合运算元零元xZ,Q,R普通加法+0

7、 x的无普通乘法x存在x110可XMn(R)矩阵加法+全0矩阵X的无矩阵乘法X存在X1全0矩阵矩阵可并的为P(B)B交BB的为B对称差X的为X无x 存在，且 x-1必须属于给定集合注意：只有可消去律定义及实例定义 设A为集合，为A上二元运算，若ab=ac a b=cba=ca a b=c则称运算满足消去律a,b,cA,实例：Z, Q, R，+，满足消去律Mn(R), 矩阵+满足消去律，矩阵不满足消去律P(B), 满足消去律，、一般不满足消去律AA, 一般不满足消去律例题分析例1设 运算为 Q 上的二元运算，x, yQ,xy = x+y+2xy,(1) 判断 运算是否满换、结合、幂等、消去律.(

8、2) 求出 运算的.元、零元和所有可素的证明算律成立：根据定义验证；证明算律不成立：举反例.解 (1) 运算可交换，可结合，可消去，不幂等.结合律成立，任取 x, y, zQ,(x y) z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z= x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyzx (y z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz= x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz幂等律不成立，因为 1 1=1+1+2=4 1 .例题分析（续）(2) 设 运算的元和零元分别为 e 和 ，则对于任意x 有 x e = x 成立，即x + e + 2xe = x

9、e = 0由于 运算可交换，所以 0 是对于任意 x 有 x = 成立，即元.x+ + 2 x = x + 2 x = 0 = 1/2为 y, 则有 x y = 0 成立，即给定 x，设 x 的xx + y + 2xy = 0 (x 1/2)y x1 2 x因此当 x 1/2时， y 是x的.1 2 x例题分析（续）例2 下面是三个运算表(1) 说明那些运算是可交换的、可结合的、幂等的.(2) 求出每个运算的.元、零元、所有可素的解 满满 的 的的换律、结合律； 满足结合律、幂等律；换律、结合律.元为 b, 没有零元， a1=c, b1=b, c1=a素.元和零元都不存在，没有可元为 a，零元

10、为c, a1=a. b, c不是可素.a bca b cbcc cc c cab ca b caa abb bc c cab ca b cc a bab cbc a第二节代数系统代数系统的定义载体+运算代数系统的分类同类型的代数系统同种的代数系统构造代数系统的方法子代数积代数代数系统:成分+公理记法一 V = ,：运算集，非空，A：载体，非空K：代数常数集，KAj=o | o为A上的 j 元运算 j,j 1记法二 V = , 其中 ,j=o | o为A上的 j 元运算 jj 0记法三 V = 代数系统的实例, , ,Zn = 0, 1, , n-1，x y = (x+y) mod nx y =

11、 (xy) mod n代数系统的分类同类型的：成分相同成分：运算个数+对应运算的元数（对载体没要求）同种的：成分与运算性质都相同运算性质：交换，结合，幂等，吸收，分配，消去律例：*可结合；*对可分配, , 与 是同种的: 可交换、结合、幂等；, * 相互分配、吸收, 与 是同种的与 同类型的子代数定义设V=是代数系统，B是A的非空子集.若B对于V中的所有运算封闭（含0元运算在内），则称V=为V的子代数.若BA,子代数V 称为V的真子代数.平凡子代数：V是V的平凡子代数. 除此之外，若V=的代数常数集合为K，且K对V上所有的运算封闭，那么也为V的平凡子代数.说明：子代数一定存在（至少存在平凡子代

12、数）实例例1V=，公理：+满足结合律，每个元素可逆子代数：nZ, nN，n=0 n=1n1平凡的真子代数平凡子代数非平凡的真子代数V=公理：+满足结合律子代数：nZ（nN），N,Z+等.积代数定义 设V1=与V2=是同类型的代数系统，对于i=1,2,r, o1i 和 o2i 是 ki 元运算，定义V1V2=其中 oi 是 ki 元运算，i=1, 2, , r, 对于任意的 , , xk , y AB,kiioi ( x1 , y1 ,., xk , yk) o1i ( x1 ,., xk ), o2i ( y1 ,., yk) iiii称V= V1V2是V1与V2的积代数，也称V1和V2是V

13、的因子代数.积代数的性质定理1设V1=与V2=是同类型的代数系统，V1与V2 的积代数是V1V2=，(1) 若o1i , o2i分别在V1与V2中可交换（可结合或幂等）,在V中也可交换（可结合或幂等）；则oi若o1i 对o1j , o2i对o2j 在V1与V2中分别适合分配律，则oi 对oj 在V中也适合分配律；若o1i , o1j与o2i , o2j在V1与V2中分别适合吸收律，则oi与oj在V中也适合吸收律；积代数的性质（定理续）(4) 若e1i（1i），e2i（2i）分别为V1与V2中关于o1i 和 o2i元（零元），则（）为V中运算的关于oi 运算的元（零元）；元的运算，aA,a1 和 b1, 则。(5) 若o1i 和 o2i 分别为 V1与 V2 中含bB 分别关于 o1i 和 o2i 运算存在 是V 中关于oi 运算的