勾股定理知识点及例题讲解

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业第九讲 勾股定理知识概要勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么 的变形式， (注：应用勾股定理的关键在于构造直角三角形)2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。3、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的两边求第三边.（2）已知在特殊直角三角形中，直角三角形的一边，求另两边的关系.（3）用于证明平方关系的问题.4、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与+是否具有相等关系.

2、若+，则ABC是以C=90的直角三角形；若+，则ABC不是直角三角形.【注意】当+时有两种情况.（1）当+时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.5、常用勾股数组：(3, 4 ,5); (5, 12 ,13); (6, 8, 10); (7, 24, 25); (8, 15, 17) ; (9, 40 ,41)；（20,21,29）一组勾股数中各数的相同的正整数倍得到的一组新数还是勾股数。一组勾股数中各数的相同的正数倍得到的一组新数为边，仍构成直角三角形。直角三角形的性质：（1）直角三角形中斜边最大；（2）直角三角形中有勾股定理；（3）直角三角形中，30度角所对应直角边等于斜边的一半；

3、（4）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；（5）等积原理（ab=ch）双垂图中的射影定理例题精讲板块一 勾股定理aaaabbbb【例1】如图，证明勾股定理 【例2】填空题:在ABC中,C为直角.(1)若BC =2, AC=3则AB = ； 若BC =5, AB=13.则AC = ；若AB=61, AC=11.则BC = .(2)若BCAB =35且AB =20则AC= . (3)若A=60且AC=2cm则AB= cm，BC= cm.【巩固练习】RtABC中，是直角，（1）已知，求AB之长；已知，求AC之长；（3）已知，求BC之长2、已知等边三角形的边长为a，求等边三角形一边上的高和这等边

4、三角形的面积【例 3】已知，求BC和AD的长ABCD【巩固练习】CBAD已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=8，A=60，D=150，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的长. 【例 4】如图，已知AB13，BC14，AC15,于D，求AD的长.【例 5】如图，已知：，于P 求证： 【例 6】如图，已知在中，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，则+的值等于 CABS1S2 【巩固练习】1、如图，已知：在中，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等2、图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A

5、、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是A13 B26 C47 D94 3、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是、，则+=_S11S2S3S4231板块二 勾股定理逆定理【例7】在ABC中，如果abc =12, 那么A= ,B= C= 如果abc =11, 那么A= ,B= C= 【例 8】判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：（1），；（2），；（3），【例 9】已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断A

6、BC的形状【例 10】如图，在四边形ABCD中，C=90，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：ADBD【例 11】已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点即3CEEB求证：AFFE【例 12】如图，已知四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.【巩固练习】1.若一个三角形的周长为12cm,一边长为3cm,其他两边之差为cm,则这个三角形是( ) A.等腰三角形B.等边三角形 C.直角三角形D.等腰直角三角形2.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为（ ）A90 B6

7、0 C45 D303.有一块土地形状如图所示,B=D=90,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积. 4.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且ABC=90，试求A的度数。ABDC课后作业A100 641、在RtABC中，（1），则_；（2），则_；（3），则_；（4），则_2、三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ） A6 B36 C64 D83、在RtABC中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（ ）A、5 B、C、5或D、5或（1）等腰三角形的腰长是20厘米，底长是32厘米，求它的面积 （2）已知一等边三角形的高是，求面积 （3）直角三

8、角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.5.寻求某些勾股数的规律：(1)对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数例如：，我们把它扩大2倍、3倍，就分别得到和，若把它扩大11倍，就得到 ，若把它扩大n倍，就得到 (2)对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数：若勾股数为3，4，5，因为，则有；若勾股数为5，12，13，则有；若勾股数为7，24，25，则有 ； (3)对于大于4的偶数：若勾股数为6，8，10，因为，则有请找出这些勾股数之间的关系，并用适当的字母表示出它的规律来，并求当偶数为24的勾股数6、如图，点C是以为AB直径的半圆上的一点，则图中阴影部分的

9、面积是 第13讲 勾股定理（二）勾股问题的应用模型1. 折叠翻转问题：注意对称中的线段的相等与转移，结合全等三角形性质模型2. 最短距离问题：把立体图形的展开，构造平面图形，利用勾股定理计算证明模型3. 其他实际问题：学会把实际问题抽象成几何图形，利用勾股定理求解例题精讲板块一 折叠翻转问题【例1】如图，将三边长分别为3、4、5的，沿最长边翻转成，则长为（ ）CBA【例2】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长。【例3】如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，

10、求CE的长.【巩固练习】1.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB3，AD9，求BE的长2.如图，在矩形ABCD中，AB=6，将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，C落在C处，若AE:BE=1:2，则折痕EF的长为多少？EDCBAF3.如图，已知：点E是正方形ABCD的BC边上的点，现将DCE沿折痕DE向上翻折，使DC落在对角线DB上，则CDCE_【拓展】如图,折叠矩形纸片ABCD,先折出对角线BD,再折叠使AD边与BD重合,得到折痕DG,若AB=8. BC=6,求AG的长板块二 最短距离问题【例4】如图，在长、宽都是3，高是8的长方体外部，若蚂蚁要从顶点A爬到顶点B，那么

11、它爬行的最短距离为 【巩固练习】如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬行到点，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）A B3 C D2+【拓展】1.如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要 cmBA6cm3cm1cm2.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm？ AB3

12、220【例5】如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABCDL【巩固练习】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？AB小河东北牧童小屋板块三 其他实际问题【例6】如图,一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米,若将绳子拉直, 则绳端离旗杆底端的距离(BC)有5米

13、.求旗杆的高度.60120140B60A【例7】如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 . 【例8】 如图，是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm，高为15cm，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?【巩固练习】如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？ 【例9】长为4m的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m 【巩固练习】 如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠

14、在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？【例10】如图所示，秋千OA在平衡位置时，下端 A 距地面0.6 米，当秋千荡到 OA 的位置时，下端A距平衡位置的水平距离 AB 为 2.4 米，距地面1.4米，求秋千OA的长ABCD【例11】如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？课后作业1.有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢， 至少飞了 米2.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于 门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.3.木工周师傅加工一个长方形桌面，测量得到桌面的长为40cm，宽为50cm，对角线为60cm， 这个桌面 (填“合格”或“不合格”)。4.如下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米