新教材高中数学选择性必修第一册重难点突破专题08《与圆有关的定点问题以及阿波罗尼斯圆》（解析版）

1、 22/22专题08 与圆有关的定点问题以及阿波罗尼斯圆题型一 与圆有关的定点问题1已知直角坐标系 SKIPIF 1 0 中，圆 SKIPIF 1 0 过点 SKIPIF 1 0 作圆 SKIPIF 1 0 的切线 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的方程；直线 SKIPIF 1 0 与圆 SKIPIF 1 0 交于点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，已知 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 轴平分 SKIPIF 1 0 ，证明：不论 SKIPIF 1 0 取何值，直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 轴的交点为定点，并求出此

2、定点坐标【解答】解：当切线的斜率不存在时，则切线方程为 SKIPIF 1 0 ，显然与圆 SKIPIF 1 0 相切，当切线的斜率存在时，设方程为： SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，由圆心到切线的距离可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以可得这时切线的方程为： SKIPIF 1 0 ，所以切线 SKIPIF 1 0 的方程为： SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ；设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 联立 SKIPIF 1 0 ，整理可得： SKIPIF 1 0 ，则

3、SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 轴平分 SKIPIF 1 0 ，所以可得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以直线的方程为： SKIPIF 1 0 ，所以直线恒过 SKIPIF 1 0 【点睛】本题考查直线与圆相切的性质及角平分线的性质，属于中档题2已知圆 SKIPIF 1 0 过点 SKIPIF 1 0 ，圆心 SKIPIF 1 0 在直线 SKIPIF 1

4、 0 上（1）求圆 SKIPIF 1 0 的一般方程（2）若不过原点 SKIPIF 1 0 的直线 SKIPIF 1 0 与圆 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，且 SKIPIF 1 0 ，试问直线 SKIPIF 1 0 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由【解答】解：（1）由题意可得圆心 SKIPIF 1 0 的坐标为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，因为圆 SKIPIF 1 0 经过点 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，联立，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故圆

5、 SKIPIF 1 0 的一般方程是 SKIPIF 1 0 （2）当直线 SKIPIF 1 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 联立 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 得， SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以

6、直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 故直线 SKIPIF 1 0 过定点 SKIPIF 1 0 当直线 SKIPIF 1 0 的斜率不存在时，设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，从而 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （舍去）故直线 SKIPIF 1 0 过点 SKIPIF 1 0 综上，直线 SKIPIF 1 0 过定点 SKIPIF 1 0 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题3已知直线 SKIPIF

7、1 0 ，半径为3的圆 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 相切，圆心 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 轴上且在直线 SKIPIF 1 0 的右下方（1）求圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）过点 SKIPIF 1 0 的直线与圆 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 轴上方），问在 SKIPIF 1 0 轴正半轴上是否存在定点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 轴平分 SKIPIF 1 0 ？若存在，请求出点 SKIPIF 1 0 的坐标；若不存在，请

8、说明理由【解答】解：（1）设圆心 SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 ，半径为3的圆 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 相切，圆心 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 轴上且在直线 SKIPIF 1 0 的右下方所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，或 SKIPIF 1 0 （舍 SKIPIF 1 0 ，圆的方程为 SKIPIF 1 0 ；（2）当直线 SKIPIF 1 0 轴时， SKIPIF 1 0 轴平分 SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴上任一点，当直线 SKIPIF 1 0

9、与 SKIPIF 1 0 轴不垂直，设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由题意得， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 【点睛】本题主要考查了圆的切线性质，点到直线的距离公式

10、，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算能力，属于中档题4已知 SKIPIF 1 0 为直线 SKIPIF 1 0 上一动点，过点 SKIPIF 1 0 向圆 SKIPIF 1 0 作两切线，切点分别为 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 （1）求四边形 SKIPIF 1 0 面积的最小值及此时点 SKIPIF 1 0 的坐标；（2）直线 SKIPIF 1 0 是否过定点？若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIP

11、IF 1 0 ，要使四边形 SKIPIF 1 0 面积最小，则 SKIPIF 1 0 最小，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 的长最小，过点 SKIPIF 1 0 且与 SKIPIF 1 0 垂直的直线为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，将其与 SKIPIF 1 0 联立，解得此时点 SKIPIF 1 0 的坐标为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ；（2）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则以 SKIPIF 1 0 为直径的圆为 SKIPIF 1 0

12、 ，化简可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 这个圆也是四边形 SKIPIF 1 0 的外接圆，它与圆 SKIPIF 1 0 方程相减，得公共弦 SKIPIF 1 0 方程为 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 恒过定点 SKIPIF 1 0 【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了圆的切线方程的应用以及两圆公共弦方程的求解，直线恒过定点问题，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题5已知圆 SKIPIF 1 0 和直线 SKIPIF 1 0 （1）若直线 SKIPIF 1 0

13、与圆 SKIPIF 1 0 相交，求 SKIPIF 1 0 的取值范围；（2）若 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 是直线 SKIPIF 1 0 上一个动点，过点 SKIPIF 1 0 作圆 SKIPIF 1 0 的两条切线 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，切点分别是 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 0 恒过一个定点【解答】解：（1）圆 SKIPIF 1 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 0 ，半径为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 直线 SKIPIF 1 0 与圆 SKIPIF 1 0 相交，

14、 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；证明：（2）当 SKIPIF 1 0 时，直线 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则以 SKIPIF 1 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，与 SKIPIF 1 0 联立，消去二次项，可得 SKIPIF 1 0 所在直线方程为： SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF

15、 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，可得直线过定点 SKIPIF 1 0 【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了过圆的两个切点的直线方程的求法，考查运算求解能力，是中档题6已知圆 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 是直线 SKIPIF 1 0 上的一动点，过点 SKIPIF 1 0 作圆 SKIPIF 1 0 的切线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，切点为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）当切线 SKIPIF 1 0 的长度为 SKIPIF 1 0 时，求点 SKIPIF 1 0

16、 的坐标；（2）若 SKIPIF 1 0 的外接圆为圆 SKIPIF 1 0 ，试问：当 SKIPIF 1 0 运动时，圆 SKIPIF 1 0 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题可知，圆 SKIPIF 1 0 的半径 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 是圆 SKIPIF 1 0 的一条切线，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，所以点 SKIPIF 1 0 的坐标为 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 （2）

17、设 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，所以经过 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 三点的圆 SKIPIF 1 0 以 SKIPIF 1 0 为直径，其方程为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，所以圆 SKIPIF 1 0 过定点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题7已知圆 SKIPIF 1 0 经过两点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

18、 0 且圆心 SKIPIF 1 0 在直线 SKIPIF 1 0 上（）求圆 SKIPIF 1 0 的方程；（）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是圆 SKIPIF 1 0 上异于原点 SKIPIF 1 0 的两点，直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 0 经过一定点，并求出该定点的坐标【解答】解：（）设圆 SKIPIF 1 0 的方程为： SKIPIF 1 0 ，由题意得， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIP

19、IF 1 0 圆 SKIPIF 1 0 的方程： SKIPIF 1 0 ；证明：（）由题意， SKIPIF 1 0 所在直线的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，代入 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 直线 SKIPIF

20、 1 0 必过定点 SKIPIF 1 0 【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题8在平面直角坐标系 SKIPIF 1 0 中，点 SKIPIF 1 0 在直线 SKIPIF 1 0 上， SKIPIF 1 0 ，以线段 SKIPIF 1 0 为直径的圆 SKIPIF 1 0 为圆心）与直线 SKIPIF 1 0 相交于另一个点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）求圆 SKIPIF 1 0 的标准方程；（2）若点 SKIPIF 1 0 不在第一象限内，圆 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 轴的正半轴的交点为 SKI

21、PIF 1 0 ，过点 SKIPIF 1 0 作两条直线分别交圆于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，且两直线的斜率之积为 SKIPIF 1 0 ，试判断直线 SKIPIF 1 0 是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的中点， SKIPIF 1 0 ，设

22、SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，圆心为 SKIPIF 1 0 ，此时圆的标准方程为 SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，圆心为 SKIPIF 1 0 ，此时圆的标准方程为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 圆的标准方程为 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ；（2）由题意知，圆的标准方程为 SKIPIF 1 0 设直线 SKIPIF 1 0 的方程为

23、 SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两直线的斜率之积为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 用 SKIPIF 1 0 代替 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 当直线 SKIPIF 1 0 的斜率存在，即 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，整理得：

24、 SKIPIF 1 0 ，可得直线 SKIPIF 1 0 过定点 SKIPIF 1 0 ；当直线 SKIPIF 1 0 的斜率不存在时，即 SKIPIF 1 0 时，直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，过定点 SKIPIF 1 0 综上可得，直线 SKIPIF 1 0 恒过定点 SKIPIF 1 0 【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属中档题9已知三点 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 在圆 SKIPIF 1 0 上 SKIPIF 1 0 为直线 SKIPIF 1 0 上的动点，

25、SKIPIF 1 0 与圆 SKIPIF 1 0 的另一个交点为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 与圆 SKIPIF 1 0 的另一个交点为 SKIPIF 1 0 （1）求圆 SKIPIF 1 0 的标准方程；（2）若直线 SKIPIF 1 0 与圆 SKIPIF 1 0 相交所得弦长为 SKIPIF 1 0 ，求点 SKIPIF 1 0 的坐标；（3）证明：直线 SKIPIF 1 0 过定点【解答】解：（1）由于 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 点 SKIPIF 1 0 在以线段 SKIPIF 1 0 为直径的圆上，即圆 SKIPI

26、F 1 0 的标准方程为 SKIPIF 1 0 ；（2）圆 SKIPIF 1 0 的半径为2，直线 SKIPIF 1 0 截圆 SKIPIF 1 0 所得弦长为 SKIPIF 1 0 ，则圆心 SKIPIF 1 0 到直线 SKIPIF 1 0 的距离为1设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，则直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时，得点 SKIPIF 1 0 的坐标为 SKIPIF 1 0 ；（3）当直线 SKIP

27、IF 1 0 斜率不存在时，设其方程为 SKIPIF 1 0 取 SKIPIF 1 0 ，由直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 交点的横坐标为6，可得 SKIPIF 1 0 ，即此时直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ；当直线 SKIPIF 1 0 斜率存在时，设 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0

28、 且 SKIPIF 1 0 直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，代入点 SKIPIF 1 0 的横坐标 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 从而 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时，直线 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 ，过点 SKIPIF 1 0 ，不符合题意；当 SKIPIF 1 0 时，

29、直线 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 ，过定点 SKIPIF 1 0 综上，直线 SKIPIF 1 0 过定点 SKIPIF 1 0 另解：设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，故直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，过定点 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时，代入点 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的横坐标，得 SK

30、IPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，过定点 SKIPIF 1 0 综上，直线 SKIPIF 1 0 过定点 SKIPIF 1 0 【点睛】本题考查圆的方程和性质，主要考查圆的方程和直线方程的运用，直线恒过定点的求法，属于中档题10已知 SKIPIF 1 0 关于直线 SKIPIF 1 0 对称，且圆心在 SKIPIF 1 0 轴上（1）求 SKIPIF 1 0 的标准方程；（2）已知动点 SKIPIF 1 0 在直线 SKIPIF 1 0 上，过点 SKIPIF 1 0 引 SKIPIF 1 0 的两条切线 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF

31、1 0 ，切点分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 记四边形 SKIPIF 1 0 的面积为 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的最小值；证明直线 SKIPIF 1 0 恒过定点【解答】解：（1）由题意已知 SKIPIF 1 0 关于直线 SKIPIF 1 0 对称，且圆心在 SKIPIF 1 0 轴上，所以有圆心 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在直线 SKIPIF 1 0 上，即： SKIPIF 1 0 ，又因为圆心 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 轴上，所以： SKIPIF 1 0 ，由以上两式得： SKIPIF 1 0

32、， SKIPIF 1 0 ，所以： SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 的标准方程为： SKIPIF 1 0 （2）如图， SKIPIF 1 0 的圆心为 SKIPIF 1 0 ，半径 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的两条切线，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ；又因为： SKIPIF 1 0 ；根据平面几何知识，要使 SKIPIF 1 0 最小，只要 SKIPIF 1 0 最小即可易知，当点 SKIPIF 1 0 坐标为 SKIPIF 1 0 时， SKIPI

33、F 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 设点 SKIPIF 1 0 的坐标为 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 四点共圆其圆心为线段 SKIPIF 1 0 的中点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 所在的圆为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 的方程为： SKIPIF 1 0 ，化简得： SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF

34、1 0 的公共弦，所以： SKIPIF 1 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 方程为： SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，所以直线 SKIPIF 1 0 恒过定点 SKIPIF 1 0 【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的应用，圆中三角形面积问题的应用，直线过定点问题，综合性强，属于难题11已知圆 SKIPIF 1 0 与直线 SKIPIF 1 0 相离， SKIPIF 1 0 是直线 SKIPIF 1 0 上任意一点，过 SKIPIF 1 0 作圆 SKIPIF 1 0 的两条切线，切点为 SKIPIF 1

35、 0 ， SKIPIF 1 0 （1）若 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 ；（2）当点 SKIPIF 1 0 到圆 SKIPIF 1 0 的距离最小值为 SKIPIF 1 0 时，证明：直线 SKIPIF 1 0 过定点【解答】（1）解：连接 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 于点 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，所以点 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的中点，又 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 相切圆 SKIPIF 1

36、0 于点 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （2）证明：当点 SKIPIF 1 0 到圆 SKIPIF 1 0 的距离最小值为 SKIPIF 1 0 时，圆心 SKIPIF 1 0 到直线 SKIPIF 1 0 的距离为 SKIPIF 1 0 ，由点到直线的距离公式可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，

37、SKIPIF 1 0 在以 SKIPIF 1 0 为直径的圆上，又 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，则以 SKIPIF 1 0 为直径的圆的圆心为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故圆的方程为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在以 SKIPIF 1 0 为直径的圆上，故 SKIPIF 1 0 是圆 SKIPIF 1 0 与圆 SKIPIF 1 0 的公共弦，两式相减可得 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，可

38、得 SKIPIF 1 0 ，所以直线 SKIPIF 1 0 恒过定点 SKIPIF 1 0 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的切线的性质，两圆公共弦的求法，考查运算求解能力，属于中档题12已知圆 SKIPIF 1 0 ，圆 SKIPIF 1 0 （1）求过点 SKIPIF 1 0 且与圆 SKIPIF 1 0 相切的直线的方程；（2）若与 SKIPIF 1 0 轴不垂直的直线 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，交 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，且 SKIPIF 1

39、 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 0 过定点【解答】解：（1）当切线的斜率不存在时，直线方程为 SKIPIF 1 0 ，符合题意；当切线的斜率存在时，设直线方程为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 直线与圆 SKIPIF 1 0 相切， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，切线方程为 SKIPIF 1 0 故所求切线方程为 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ；证明：（2）设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，则圆心 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 到直线

40、 SKIPIF 1 0 的距离分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由垂径定理可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 则直线 SKIPIF 1 0 过定点 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，考查直线系方程的应用，

41、是中档题13已知圆 SKIPIF 1 0 经过点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且圆心在直线 SKIPIF 1 0 上（1）求圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）过点 SKIPIF 1 0 的直线与圆 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，问在直线 SKIPIF 1 0 上是否存在定点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 恒成立？若存在，请求出点 SKIPIF 1 0 的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 直线 SKIPIF 1 0 的斜率为 SKIPIF 1 0 ， SKIPI

42、F 1 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 0 的斜率为1， SKIPIF 1 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 0 ，因此直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，又圆心在直线 SKIPIF 1 0 上， SKIPIF 1 0 圆心是直线 SKIPIF 1 0 与直线 SKIPIF 1 0 的交点联立方程租 SKIPIF 1 0 ，得圆心坐标为 SKIPIF 1 0 ，又半径 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 圆的方程为 SKIPIF 1 0 ；（2）假设存在点 SKIPIF 1 0 符合题意，设交点坐标为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

43、， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，当直线 SKIPIF 1 0 斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 0 方程为 SKIPIF 1 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 0 ，消去 SKIPIF 1 0 ，得到方程 SKIPIF 1 0 则由根与系数的关系得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 点坐标为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

44、1 0 ；当直线 SKIPIF 1 0 斜率不存在时，点 SKIPIF 1 0 显然满足题意综上，在直线 SKIPIF 1 0 上存在定点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 恒成立【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题14已知圆 SKIPIF 1 0 的圆心在 SKIPIF 1 0 轴正半轴上，半径为5，且与直线 SKIPIF 1 0 相切（1）求圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）设点 SKIPIF 1 0 ，过点 SKIPIF 1 0 作直线 SKIPIF 1 0 与圆 SKIP

45、IF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，若 SKIPIF 1 0 ，求直线 SKIPIF 1 0 的方程；（3）设 SKIPIF 1 0 是直线 SKIPIF 1 0 上的点，过 SKIPIF 1 0 点作圆 SKIPIF 1 0 的切线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，切点为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 求证：经过 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标【解答】（1）解：设圆心 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则由直线和圆相切的条

46、件： SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 （负值舍去），即有圆 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ；（2）解：若直线 SKIPIF 1 0 的斜率不存在，即 SKIPIF 1 0 ，代入圆的方程可得， SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF 1 0 ，成立；若直线 SKIPIF 1 0 的斜率存在，可设直线 SKIPIF 1 0 ，即为 SKIPIF 1 0 ，圆 SKIPIF 1 0 到直线 SKIPIF 1 0 的距离为 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF

47、 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，则直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ；（3）证明：由于 SKIPIF 1 0 是直线 SKIPIF 1 0 上的点，设 SKIPIF 1 0 ，由切线的性质可得 SKIPIF 1 0 ，经过 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，的三点的圆，即为以 SKIPIF 1 0 为直径的圆，则方程为 SKIPIF 1 0 ，整理可得 SKIPIF 1 0 ，可令 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，

48、或 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 则有经过 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三点的圆必过定点，所有定点的坐标为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查相交和相切的关系，同时考查点到直线的距离公式和弦长公式、切线的性质和圆恒过定点的问题，属于中档题 题型二 阿波罗尼斯圆15古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 SKIPIF 1 0 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆若平面内两定点 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 间的距离为

49、2，动点 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的最大值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【解答】解：以经过 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点的直线为 SKIPIF 1 0 轴，线段 SKIPIF 1 0 的垂直平分线为 SKIPIF 1 0 轴，建立直角坐标系，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，化简得， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPI

50、F 1 0 ， SKIPIF 1 0 点 SKIPIF 1 0 在以 SKIPIF 1 0 为圆心， SKIPIF 1 0 为半径的圆上，则有 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 表示圆上的点与原点距离的平方，易知 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【点睛】本题考查圆轨迹方程的求法，考查两点间的距离，考查逻辑推理能力，属于中档题16阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点 SKIPIF 1 0 与两定点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的距离之比为

51、 SKIPIF 1 0 ，则点 SKIPIF 1 0 的轨迹就是圆事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立已知点 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 为圆 SKIPIF 1 0 上的点，若存在 SKIPIF 1 0 轴上的定点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 和常数 SKIPIF 1 0 ，对满足已知条件的点 SKIPIF 1 0 均有 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A1B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【解答】解：根据题意，如图， SKIPIF 1 0 、 SKIPI

52、F 1 0 两点为圆与 SKIPIF 1 0 轴的两个交点，圆 SKIPIF 1 0 上任意一点 SKIPIF 1 0 都满足 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 两点也满足该关系式，又由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ，解可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；故选： SKIPIF 1 0 【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，关键是理解题意中关于圆的轨迹的叙述，属于基础题17阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠“阿

53、波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点 SKIPIF 1 0 到两定点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的距离之满足 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 为常数，则 SKIPIF 1 0 点的轨迹为圆已知圆 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，若定点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 和常数 SKIPIF 1 0 满足：对圆 SKIPIF 1 0 上任意一点 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 2， SKIPIF 1 0 【解答】解：设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，

54、SKIPIF 1 0 ，由题意，取 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 分别代入可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故答案为2， SKIPIF 1 0 【点睛】本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题18阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点 SKIPIF 1 0 到两定点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的距离之满足 SKIPIF 1 0 且 SK

55、IPIF 1 0 为常数，则 SKIPIF 1 0 点的轨迹为圆已知圆 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，若定点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 和常数 SKIPIF 1 0 满足：对圆 SKIPIF 1 0 上任意一点 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 2， SKIPIF 1 0 面积的最大值为【解答】解：设点 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 如右图，当

56、SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 故答案为：2； SKIPIF 1 0 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查圆的方程的应用，转化思想以及计算能力，是中档题19已知圆 SKIPIF 1 0 的圆心在直线 SKIPIF 1 0 上，与 SKIPIF 1 0 轴正半轴相切，且被直线 SKIPIF 1 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 0 （1）求圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）设点 SKIPIF 1 0 在圆 SKIPIF 1 0 上运动，点 SKIPIF 1 0 ，且点 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，记点 SKIPIF 1

57、0 的轨迹为 SKIPIF 1 0 求 SKIPIF 1 0 的方程，并说明 SKIPIF 1 0 是什么图形；试探究：在直线 SKIPIF 1 0 上是否存在定点 SKIPIF 1 0 （异于原点 SKIPIF 1 0 ，使得对于 SKIPIF 1 0 上任意一点 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 为一常数，若存在，求出所有满足条件的点 SKIPIF 1 0 的坐标，若不存在，说明理由【解答】解：（1）设圆心 SKIPIF 1 0 ，则由圆与 SKIPIF 1 0 轴正半轴相切，可得半径 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 圆心到直线的距离 SKIPIF 1 0 ，

58、由 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 故圆心为 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，半径等于3 SKIPIF 1 0 圆与 SKIPIF 1 0 轴正半轴相切 SKIPIF 1 0 圆心只能为 SKIPIF 1 0 故圆 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 （2）设 SKIPIF 1 0 ，则： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 点 SKIPIF 1 0 在圆 SKIPIF 1 0 上

59、运动， SKIPIF 1 0 ，即： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以点 SKIPIF 1 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 0 ，它是一个以 SKIPIF 1 0 为圆心，以1为半径的圆假设存在一点 SKIPIF 1 0 满足条件，设 SKIPIF 1 0 则： SKIPIF 1 0 ，整理化简得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在轨迹 SKIPIF 1 0 上， SKIPIF 1 0 ，化简得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

60、存在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 满足题目条件【点睛】本题考查圆的方程，轨迹方程，解题中需要一定的计算能力，属于中档题20阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 SKIPIF 1 0 与两定点 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的距离之比为 SKIPIF 1 0 ，那么点 SKIPIF 1 0 的轨迹就是阿波罗尼斯圆下面，我们来研究与此相关的一个问题已知圆： SKIPIF 1 0 和点 SKIPIF