大学物理竞赛辅导力学功与能动量与角动量

1、大学物理竞赛辅导力学功与能动量与角动量4、保守力作功与势能概念：弹性势能重力势能万有引力势能 由势能求保守力大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 2/1005、力矩、角动量 7、三个定理：6、一个原理：功能原理 动量定理：动能定理： 角动量定理：ao力矩定义：角动量：大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 3/100 8、三个守恒定律 机械能守恒定律： 动量守恒定律： 角动量守恒定律： 条件：条件：条件：或或或大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 4/100动力学部分解题指导动力学部分习题一般分为四大类：第一类是牛顿第二定律的应用，主要是求解质点系中任一个质点

2、所受的力和加速度第二类问题是冲量和动量关系式的应用，主要用来求解质点系中任一个质点的速度、位移、冲量、动量增量。第三类是功能关系式的应用，主要用来求解质点系中任一质点的速率、外力对质点系所作的功、非保守内力对质点系的功、质点系势能表达式中的未知量等。第四类是动量与角动量分量守恒定律的应用。主要求质点系中任一质点的速度。 大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 5/100第一类是牛顿第二定律的应用其解题步骤为：(1)隔离物体，使每个隔离物体可以视为质点。(2)受力分析。(3)选择坐标系。(4)列运动方程，求解。第二类问题是冲量和动量关系式的应用解题步骤是：(1)选择所研究的质点系。(2

3、)确定所研究的过程以及过程的始末状态。(3)根据过程中外力和所满足的条件确定所用的冲量和动量关系式。(4)列方程，求解。大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 6/100第三类是功能关系式的应用具体的解题步骤为：(1)选择所研究的质点系。(2)确定所研究的过程以及过程的始末状态。(3)根据过程中外力的功和非保守内力的功代数和所服从的条件确定所用的功能关系式。(4)列方程，求解。第四类是角动量分量守恒定律的应用具体的求解方法是：(1) 、（2）同上。(3)判断过程中对某点（或某轴）合外力矩是否为零，或者角动量守恒条件是否成立。(4)若守恒条件成立，确定正方向，列方程，求解分解综合法：对

4、于较为复杂问题，不是只用一个定理、定律就能解决，要将整个过程分解成几个子过程，对每一子过程应用上述方法。大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 7/100例1.1 一对平衡力大小相等方向相反且在同一直线上, 所做功的代数和为零( )(A) 对 (B) 不对A例1.2 如图(a)所示，一根跨越一固定的水平光滑细杆的轻绳，两端各系一个小 球，球a置放于地面，球b被拉到与细杆同一水平的位置，在绳刚被拉直时 放手，使球b从静止状态向下摆动。设两球质量相等，则球a刚要离开地面 时，跨越细杆的两段绳之间的夹角为（ ）。8/100三、例题讲解与分析 大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量）

5、 答案选 (A) 解 在a球离地前，释放后的b球一直以L1为半径作竖直平面内的圆周运动，设b球下摆到任一位置时速度为v，摆线与水平方向 成角，如图(b)所示，取不球和地球为系统，系统机械能守恒。选地面势能为零，则有当绳的拉力等于小球a的重力时,小球刚好离地, 此时对小球有9/100大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 例1.3 如图所示，车厢在水平轨道上以恒定的速度u向右行驶，车厢内有一摆线长为L、小球质量为m的单摆。开始时摆线与竖直方向夹角为0，摆球在图示位置相对车厢静止，而后自由摆下，那么摆球第一次到达最低位置时相对地面的速度为 。相对于地面，在这 一下摆过程中摆线对小球所作功

6、为 。 解 车厢相对于地面匀速运动，故为惯性系。在车厢内，以小球和地球为系统，小球下摆过程中只有重力做功，故机械能守恒。设小球相对于车厢的速率为v1.小球相对于车厢的速度方向与车厢的速度方向相反, 故小球相对于地面的速度为在车厢内看，摆线上的拉力不作功(拉力与运动方向垂直)。但在地面上看，摆线上的拉力要作功(拉力与运动方向不垂直)。选小球在最低位置处的势能为零，由功能原理得绳中张力(非保守力)作功为10/100大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 例 1.4 一水平放置的轻质弹簧，倔强系数为k ,其一端固定，另一端系一质量为m的滑快A，A旁有一质量相同的滑块B，如图所示。两滑块与桌

7、面间皆无摩擦。若加外力将A、B一起推进，使弹簧由原长缩短d，然后撤消外力，则B离开时（ ） 解 撤消外力后，A、B一起向右加速，直到弹簧恢复原长时，达到最大的共同速度；A 以后A减速，二物分离，B向右匀速运动。在B刚要离开A时，由机械能守恒定律得11/100大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 解 (1) 设在dt时间内有dm质量的水通过小孔流出水瓶, 则由机械能守恒得瓶里水 的势能减小等于流出去的水的动能.CH / 2瓶内水的势能流出的水的质量流出的水的动能由机械能守恒得由此可得(2) 水瓶抛出后, 瓶口的水与整个水瓶一样只受重力的作用, 初速度又相同, 因此它们的运动完全一样,

8、 所以小孔没有水流出. 即 v2=0.例 1.5 12/100大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 解 (1) 求摩擦因数.：由题设可知小物块从A到C重力作功为零，由动能定理得例 1.6 如图所示，固定的斜面ABC的水平长度为L，两个底角分别为锐角1，2. 小物块从A端以某速度沿AB面向上运动，到达顶端B处后能平稳地拐弯再沿BC面向下运动，到达C端时速度恰为在A处初速度的 倍。将小物块到达C端时的速度记发v，设小物块与斜面体之间的摩擦因数处处相同。（1）试求摩擦因数 。（2）小物块若以同样的初速度改从C端 沿CB面向上运动，试求小物块到达A端 时的速度vA和到达顶端B处时的速度vB

9、; 并取1=450， 2=300， 计算vB .13/100mg大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） (2) 求vA 和 vB.：(a) 小物块从C到A同样用功能原理可得，(b) 小物块从C到B, 由功能原理得14/100大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 质量为m，半径为b 的小球，由静止从h高无滑动地滚下，并进入半径为a 的圆形轨道。求 （1）小球到达底部时的角速度和质心的速度。 （2）证明如果 ba ,要使小球不脱离轨道而到达A点，则h应满足：例 1.7 大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 15/100解（1）因无滑动，故摩擦力f 不作功（无相对位

10、移），支持力N与运动方向垂直，也不作功，只有重力（保守内力）作功，所以机械能守恒：又由于：有：整理，得：大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 16/100（2）小球到达A点不脱离轨道，要求小球在A点的速度vA 和角速度A满足：由机械能守恒：（证毕）ba大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 17/100 某惯性系中有两个质点A、B， 质量分别为 m1、 m2 ，它们之间只受万有引力作用。开始时两质点相距 l0，质点A静止，质点B 沿连线方向的初速度为 v0 . 为使质点 B 维持速度v0不变，可对质点 B 沿连线方向施一变力 F，试求：（1）两质点的最大间距，及间距为最大

11、时的 F 值（2）从开始时刻到间距最大的过程中，变力 F 作的功（相对惯性系）（G为引力常数） l0 v0m1m2AB解：以 m2 为 S系SSm1例 1.8 大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 18/100l0 v0m1m2ABSS解：（1）以 m2 为 S系m1机械能守恒大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 19/100l0 v0m1m2ABS（2）S系中当 l = lmax 时，m1的速度v =v0由动能定理，对（m1+ m2 ）m1大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 20/100大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 21/100 质量

12、为 M 的刚性均匀正方形框架，在某边的中点开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以纸平面为代表的光滑水平面后，令质量为m 的刚性小球在此水平面上从缺口处以速度 v 进入框内，图中v 的方向的角 =45 ，设小球与框架发生的碰撞均为无摩擦力的弹性碰撞，试证：（）小球必将通过缺口离开框架。（）框架每边长为a，则小球从进入框架到离开框架，相对于水平面的位移为：解：（ 1 ）例 1.9 22/100大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） （2）小 球在框架内运动的时间为 T在T 时间间隔内，质心的位移为23/100大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 24/100

13、大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 长为 l ，质量为m 的匀质细杆，置于光滑水平面上，可绕过杆的中点 O 的光滑固定竖直轴转动，初始时杆静止。有一质量与光滑杆相同的小球沿与杆垂直的速度 v 飞来，与杆碰撞并粘在杆端点上，如图。（1）定量分析系统碰撞后的运动状态。（2）若去掉固定轴，杆中点不固定，再求系统碰撞后的运动状态。 v m m C解： （1）角动量守恒 以 3v/2l 为角速度做匀角速转动 O例 1.9 大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 25/100 v m C去掉固定轴，杆中点不固定平动转动杆小球系统，动量守恒杆小球系统，外力矩为零，角动量守恒， C新质

14、心C位置对新质心C O大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 26/100 v m C C对新质心C（平行轴定理）系统的质心以 v/2 速度平动，系统绕过质心的轴以 w 6v/5l 为角速度做匀角速转动。大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 27/100P1 v1P2cab行星绕恒星的椭圆运动一、能量和角动量由由大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 28/100P1 v1P2cab 二、椭圆在 P1 点的曲率半径为三、椭圆轨道的偏心率为大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 29/100四、轨道按能量的分类 E 0，则偏心率 e 0，则偏心率 e1，

15、 质点的运动轨道为双曲线。以地球为例： rmaxU(r)REE100 r大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 30/100例：行星原本绕着恒星S 做圆周运动。设S 在很短的时间内发生爆炸，通过喷射流使其质量减少为原来的质量的 g 倍，行星随即进入椭圆轨道绕S 运行，试求该椭圆轨道的偏心率 e 。提示（记椭圆的半长，半短轴分别为A、B ，则解：变轨后 P 或为近地点，或为远地点对圆轨道 P 点：P1 v1P2C对椭圆轨道 P1 点：S v0PAB先考虑 P 为近地点，后考虑P 为远地点的情况大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 31/100P1 v1P2C大学物理竞赛辅导

16、 -力学（功与能、动量与角动量） 32/100对P2 点P1 v1P2C因为 g 1 ，因此上式不成立 。故 行星变轨后不可能处于P2点，只能处于P1 点。大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 33/100解二：椭圆轨道的角动量P1 v1P2C圆轨道的角动量大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 34/100P1 v1P2CAB角动量守恒大学物理竞赛辅导 -力学（功与能、动量与角动量） 35/100例（21届，10分）一个质量为m 的卫星绕着质量为 M ，半径为 R 的大星体作半径为 2R 的圆运动。远处飞来一个质量为 2m，速度为 的小流星，它恰好沿着卫星的运动方向追上卫星并和卫星发生激烈碰撞，结合成一个新的星体，作用时间非常短。假定碰撞前后位置的变化可以忽略不计，新星的速度仍沿原来的方向，（1）用计算表明新的星体的运动轨道类型，算出轨道的偏心率e（2）如果用小流星沿着卫星的速度的反方向发生碰撞，算出此时新星体的轨道的偏心率。给出新星体能否与大星体碰撞的判断。解： M R 2R m 2m(1) 碰撞