804材料力学电子chap

1、第二章静定系统的内力这一章静定系统细长构件（杆、梁、轴、刚架等）传递的力和力矩。由于不同的载荷形式和支承方式，杆件截面上产生不同性质的内力：轴力、剪力、弯矩和扭矩。通过截取分离体的方法，利用平衡条件可以求出截面上的内力，并获得内力沿轴向坐标 x 的变化规律，即内力方程，由此可以绘制杆件的内力图。内力的微分方程建立了内力之间、内力与载荷之间的关系，这些关系有助于绘制内力图。内力分析的目的是找到内力最大值所在的截面，即“变形的计算。截面”，为进行杆件的强度分析提供依据。而内力方程还将用于杆件2-1 常见的承力构件与支承工程结构和机器通常由一些形状规则的构件组成，其中每一构件具有一定的能。本节将对常

2、见构件的几何特征和能、载荷形式及约束给予简要分类和阐述。一. 常见的承力杆件图 2-1 (a)(f ) 分别是从工程结构或机器中分离出来的杆、柱、梁、悬索和轴构件。根据其设计要求、自身特性及支撑情况等，杆件可以承受拉力（图 a、e）、压力（图 b、c）、和横向载荷（图 d），或者传递力偶矩（图 f）。（d）梁（a）拉杆（b）压杆（c）柱（f）轴（e）悬索图 2-1如前所述，材料力学主要研究杆件一类构件的受力和变形。对于板、壳和块体的力学行为将在其它力学分支课程中研究。根据杆件承力类型的不同，常采用不同的横截面形状，如图 2-2 所示。其中空心圆形、角形、槽形和工字形截面，其壁的厚度远小于截面其

3、它的尺寸，可称为薄壁杆（thin-walled bar）。工程中，这些薄壁杆件被称为型材。如果构件的长度比横向最大尺寸大五倍以上，就可以看成是细长构件（slender member）。后面的论述20将证明，对于细长构件，用材料力学的工程近似方法进行力学分析，得到的结果有相当高的精确度。有些结构，例如建筑的总高度比楼面尺寸大很多，飞机机翼的长度比截面尺寸大得多。这些结构也具有细长构件的特征，在初步分析或近似分析中可以作为杆件考虑。实心圆空心圆矩形角形槽形工字形图 2-2二 载荷的形式作用于杆件上的外力按作用方式可以分为表面力（surface force）和体积力（body force）。表面力通

4、过外界的物体与杆件表面的接触将力传递给杆件。例如，一根基础梁上砌筑着一堵墙（图 2-3a），墙体对梁的作用可以用梁的上表面上的分布力 q 来表示，q 是一种表面力。一般情况下 q 是梁的轴向坐标 x 的函数 q = q(x)（图 2-3b）。称 q(x)为分布载荷（distributed load）。如果 q 在其分布长度内为常数，则称为均布载荷（uniformly distributedload）。压力容器的气体或液体对容器壁的作用力也是表面力。作用在杆件各个质点上的力称为体积力。重力，电磁力，惯性力都是体积力。qFBFAAB(b)(a)图 2-3图 2-4a所示的梁AB中点C的上方放置了另

5、一根梁，后者对前者的作用力分布在两者接触的范围内（图 2-4b），由于该范围的尺寸相对于AB梁的长度而言很小，它对AB梁的作用可以用分布力的合力F代替，称这个力F为集中力（concentrated force）。支座A和支座B处的反力FA和FB也是梁AB与支座垫块接触面上分布力的合力。在内力分析时，可将集中力和支座反力表示为图 24c的形式。21FACAB(a)FCCFAFBFA(b)FB(c)图 2-4FAFM=FhhFFBBA(b)(a)图 2-5载荷还可能以力偶（couple）的形式施加在杆件上。如图 2-5 所示，一对距离为 h 的力 F可以简化为作用在杆件轴线上的力偶矩（moment

6、 of couple）：MFh。按载荷随时间变化的情况，可以分为静载荷（s ic load）和动载荷（dynamic load）。加载缓慢进行、加载后大小不变的载荷称为静载荷。而称大小随时间明显变化的载荷为动载荷。汽车在高低不平的路面上行驶时，车的轮轴上经受的载荷，气流作用在飞机机翼上的载荷，建筑物经受的风载荷，载荷，物体撞击构件时的作用力都是动载荷。构件材料在静载荷和动载荷作用下的力学响应有很大差别，需要采用不同的方法进行分析。为，记为N。工程中还常用千，记为kN，1kN103N。采用国际制，力的三支座与约束反力研究的对象经常是一根杆件，或数根杆件组成的系统。将一根杆件或者一个杆件系统从结构

7、中或总系统中分离出来，它与结构其它部分或与其它系统连接处简化为支座（support），其它部分对它的作用称为约束（constra），其作用力称为约束力（constraforce），也可称为约束反力（constrareaction force）。约束力对杆件的作用与载荷对杆件的作用都是外部的作用，即约束力和载荷都是外力（external force）。22B以例，设梁在平面内（记为xoy面）承受外载荷，则仅考虑支座对梁在该面内的约束和约束反力。常见有三种形式的支座：固定支座（fixed support），定铰支座（unmovablepin support）和动铰支座（movabln suppor

8、t）。固支的典型例子是嵌固在墙内的形成的支座。如图 2-6a所示，这种支座约束了三个度，即约束了截面在x 和y方向的移动以及在x-y面内的转动。如此，该端截面x和y方向的位移u和v为零，转角为零。相应在支承处有二个未知约束反力Fx，Fy和一个未知约束反力矩M。定铰支座如图 2-6b所示。MFxFyFyFx(b)Fy(c)图 2-6转动，支座约束了在支座处可以x和y方向的两个移动度，即 u和 v为零，转角 未知。相应的未知支座约束力为Fx和Fy，支座力矩 M 0 。图 2-6c为动铰支座，它只约束了杆端y方向的移动度（v0），x方向位移u和转角 未知待定。支座约束反力 Fx为零，约束力矩M为零，

9、约束反力Fy未知。如果是没有约束的零，三个位移量待定。端，则三个约束反力为表 1-1 支座位移与约束反力以上三种支座和端的位移和支座反力情况列于表 11，表中符号表示对应项为未知23位移支座约束反力uvFxFyM(a)固定支座000(b)定铰支座000(c)动铰支座000(d)端000(a)量。2-2力系的平衡条件材料力学着重研究处于静力平衡的杆件的力学行为。物体处于平衡状态时，其整体及从中分离出来的任意部分均处于平衡状态。由此可建立前述三大基本关系中的平衡条件，其理论基础是静力学中关于力系的简化与平衡力系的主要定理。这一节对静力学作一简要回顾。各个力的作用线分布在同一平面上的力系称为平面力系

10、（plane forystem）。应用力向一点平移的方法，可以将力系里各个力Fi , ., Fn 向平面内任一点O平移，将平面力系简化为一个主矢（principal7a）。主矢为各个力的矢量和：FR Fi或者用分量的形式写成FRx FixFRy Fiyvector）FR和一个主矩（principal moment）Mo（图 2(21)(22a)（22b）主矩Mo等于各力对O点力矩的代数和：Mo mo (Fi )（23）FRFRMoOFFOOOF(c)(b)(a)图 27应用力向一点平移的方法，可以将过O点的主矢和主矩进一步简化为过O点的一个力。如图 27b所示，过O点作与FR大小相等方向相反的

11、力F。使距离OO Mo / FR ，然后过O 作FFR，这样得到的力F（图 27c）与原力系等效，称为平面力系的合力（resultant force）。平面力系的合力对于平面内任一点之矩等于该力系中各个力对于同一点之矩的代数和。这就是平面力系的合力矩定理（theorem of resultant moment）。平面力系平衡的充分必要条件是，平面力系一点简化得到的主矢为零，主矩也为零。给定直角坐标系下，平衡条件用分量的形式可以表示为： Fix 0 Fiy 0（24a）（24b）24Mo mo (Fi ) 0（24c）与平面力系类似，应用力向一点平移的方法，空间力系的各个力一点O平移后得到一个主

12、矢FR和一个主矩Mo：Fi , ., FnFR FiMo mi mo (Fi )空间力系平衡的充分必要条件是，力系分量的形式可以表示为： Fix 0 Fiy 0 Fiz 0 mx ( Fi ) 0 my ( Fi ) 0 mz ( Fi ) 0（25a）（25b）何一点简化得到的主矢为零，主矩也为零。用(26a)（26b）（26c）（26d）（26e）（26f）其中 mx , my , mz 分别为力对 x、y、z 轴之矩。对于空间力系也有合力矩定理，即合力对任何一点（轴）之矩等于力系中各力对同一点（轴）之矩的矢量和（代数和）。方程（2-4）和（2-6）对一切处于平衡状态的物体均适用。用这些方

13、程对分离体进行平衡分析，可获得作用在分离体上所有的力之间应该满足的平衡方程。用分离体图进行平衡分析是力学的一个基本方法。应该，对静力学中研究的刚体，以上力系的等效简化不影响其力学响应，且可以随意使用力的平移原理。但对变形体，其力学响应与力的性质、作用方式及作用位置等密切相关，一般不能随意进行力的等效简化。不过在建立处于平衡状态的变形体的平衡方程的过程中，纯粹是研究力之间的关系，仍可将物体视为刚体处理。例 2-1 如图 2-8a 所示 AB 梁，A 端为定铰支座，B 端为动铰支座。梁上作用有集中力 F10KN，均布力 q5kN/m，力偶矩 M10kNm。长度 a = 1m，梁的重量忽略不计，求其

14、支座反力。解：将整个梁AB作为分离体，按前节分析，A端有两个约束反力FAx和FAy。B端有约束FF2qayqMMFAxxCCDBFFAyAAByBaa2aaaaa(a)(b)图 2825反力FBy。考虑平衡条件时，均布力q的作用可以用作用于CB段中点的等效合力 2qa来代替。图 2-8b为分离体图，根据平衡条件，Fx 0，FAx= 0 mG ( F ) 0 ，Fy 0 ，FBy 4a 2qa 3a 2Fa M 0F 2qa 0解得FAx= 0，FBy = 15 kN和FAy = 5 kN。同理，当约束反力求出后，可以从分离面上的内力。取出，获得其分离体图，用平衡条件求出23 杆件横截面上的内力

15、为了确定杆件横截面上的力和力矩，可以在构件需要分析的地方用假想的截面将其截开。然后将截取的一部分作为分离体，应用力的平衡条件，可以求出截面上的力和力矩。其过程可归纳为以下三个步骤：在杆件需要求内力的截面处，假想用一截面把杆件分为两个部分，保留其中任一部分作为研究对象，即分离体。将另一部分对保留部分的作用力用截面上的内力来代替。对保留部分（分离体）建立平衡方程式，确定截面上的内力。用假想截面截取部分构件作为分离体来确定截面上的内力的方法也称为截面法。这种方法对任何处于平衡状态的受力构件均适用。如图 2-9 所示，一根杆件在任意外力系I（包括约束反力）作用下处于平衡状态。为了显现某截面上的内力，在

16、该处用一个假想的截面将此构件分为I 和II两个部分。取部分 I为分离体，如图 2-10a所示，II对I的作用表现为截面上的分布力系，将其向截面上某一点（通常为形心o）简化得到主矢F和主矩Mo（图 2-10b）。内力的本意是指截面两侧材料II图 29互相的作用力，也就是截面上的分布力。然而，在后续课程中，将分布力的主矢F和主矩Mo定义为截面上的内力。在截面上建立oxyz 坐标系，x轴与杆件的轴向一致，yz坐标面与截面重合。规定截面外法向与x方向一致时，称其为正x面，截面外法向与x轴方向相反，则称为负x面。如此，矢量F和Mo沿坐标轴方向各可以分解为三个分量。F的三个分量记为Fxx，Fxy和Fxz。

17、 Fxx是沿x轴向的分量，称为轴力（axial force）。Fxy和Fxz分别为沿y方向和z方向的切向分量，称为剪力（shear force）。这些分量下标的第一个符号x表示它们是x面上的内力分量，第二个下标表示分量沿坐标轴的方向。同样，主矩Mo也可分解为分量Mxx，Mxy和Mxz。其中Mxx26称为扭矩（toral moment），Mxy和Mxz称为弯矩（bending moment）。图 2-10b用矢量形式表示内力分量，双箭头表示力矩矢量，力矩对截面的作用由右手螺旋法则确定。图 2-10c将截面上的弯矩和扭矩用力偶矩的符号表示。归纳下来截面上内力分量为：Fxx 轴力。沿杆轴线方向作用，

18、使杆件伸长或缩短。通常也用 FN 表示。Fxy , 剪力。作用在截面的切线方向，使杆件截面产生相对于相邻截面的错动。Fxz通常也用 FS 表示。M xx 扭矩。作用在截面内，使杆件绕轴线扭转。通常也用 T 或者 M x 表示。Mxy , Mxz 弯矩。作用在垂直于截面的 oxy 或 oyz 面内，使杆件产生弯曲。通常也用 M 或者 M y , Mz 表示。yMxyMo FMxxIIFxyFxzFxx（a）xMxzzy（b）yFxxMxzMMxxxyFxxFxyIIIzFxyMxxxMxzzFxx(c)FxzMxyx（d）图 210向。图 210b 中这些内力分量矢量均沿坐标若取部分 II 为分

19、离体，图 2-10d 显示了在同一截面上的内力分量。这是同一截面的另一侧，其外法向与 x 轴反向，所以是负 x 面。其上的力和力矩表示部分 I 对部分 II 的作用。按照同一截面两侧的力和力矩互为作用力和反作用力的事实，该侧截面上的力和力矩的方向均指向负轴向。为了使取部分 I 和取部分 II 作为分离体得到的内力具有一致的正、负号，规定：正坐标面上矢量方向沿坐标向、负坐标面上矢量方向沿坐标轴负向的内力（轴力，剪力，扭矩和弯矩）为正的内力。反之，为负的内力。如此，图 2-10（b、d）所示截面上的力和力矩都是正的内力。27在很多情况下，所有外力都作用在同一平面内。如图 2-11 所示，F1F2y

20、外力F 、F 等都作用在xy平面内，12则截面上只有轴力FN、剪力FS，力矩MZ，也都位于xy平面内，形成平面平衡力系。实际中，许多受力杆件可简化为这种情况。FSMFN为了方便，也可以从变形zxFn来判断内力分量的正、负号。如图2-12（ac）所示，取杆件坐标系的 y 轴向上，x 轴向右。在所切横图 211截面的内侧截取微段，规定使微段伸长的轴力为正，使其缩短的轴力为负（图 2-12a）；使微段有逆时针转动趋势的剪力为正，反之为负（图 2-12b）；使水平微段弯曲成凹形的弯矩为正，使其弯曲成凸形的弯矩为负（图 2-12c）。扭矩仍以力偶矩矢量指向截面的外法向为正（图 2-12d）。yyyMz

21、MzFSFN FNFSxxxFN FNMz MzFS FSMzFSFSMzFNFN(a)(b)(c)MxMx(d)图 2-12清楚了截面上内力的形式和性质，在选取合适的分离体并获得分离体图后，就可方便地利用平衡条件（2-4）（平面力系）或（2-6）（空间力系）求解这些内力。例 2-2图 2-13a 所示的悬臂梁，在点 A 受集中力 F 作用，右端为固定支承。试求横截面 mm 上的内力。解：为了求截面 mm 处的内力，取该截面左侧部分为分离体，在截面 mm 的形心 o假设有轴力Fx，剪力Fy，以弯矩 Fx 0 ，M作用。图 2-13b为分离体图。对分离体图应用平衡条件,F cos Fx 0 ，F

22、 sin Fy 0 ， Fy 0 ，mo (F ) 0 ，F sin a M 0 ，可以求出截面上的内力为Fx F cos ， Fy F sin ， M Fa sin 。28FyFmFmMAMyoFxFxaammFy(c)x(a)(b)图 2-13应该注意，在求得的截面内力结果中的负号表示该力（力偶矩）的实际方向与图上假设的方向相反。事实上，如图 2-13c 所示，在 mm 截面的另一侧，也就是余下部分的截面上有 x 和 y方向的力 Fx ， Fy 和力偶矩 M 作用。它们分别与 Fx ， Fy 和 M 大小相等，方向相反。是作用力和反作用力关系。同时可以发现，从力的角度来看，截面右侧物体对分

23、离体提供的约束与固支端提供的约束是一样的。例 2-3 一个杆系结构，如果在杆件连接处都是铰连接，或可以简化为铰接，这种10kN5kN5mBC结构称为桁架（truss）。桁架的杆件只传递轴向力。若桁架中各杆及其上的载荷均位于同一平面内，则称其为平面桁架。图 2-14a 所示为各杆长度均为 5 米的平面桁架，A 端支承在定铰支座上，B 端支承在动铰支座上。求桁架 BC 杆和 CD 杆的轴力.解：(1) 首先求支座反力，可以将整个桁架作为分离体。设支座A处x和y方向的约束力分别为FAx和FAy ，支座E处y方向约束力为FEy。图 2-14b为分离体图。由平衡条件5mEA5mD(a)10kN5kNFA

24、xFEyFAy(b)10kN5kNFBCBFGCFCDAEFGDFAxDmA (F ) 0FEyFAy，(d)(c)图 2-14FEy20m 5kN 4.33m 10kN 12.5m 0 , Fx Fy 0 ， 0 ， 5kN 0 , 7.33kN 10kN 0 ，FAxFAy得到29 7.33kN ， FAx 5kN ， FA y 2.67kNFEy（2）求 BC 杆的轴力。截取如图 2-6c 所示部分为分离体。这样的截面涉及到三根杆，有三个未知力。因为有两根杆的轴力都通过节点 G，通过对 G 点取矩来建立平衡方程，这样可以避免另两个未知力的出现，即由mG (F ) 0 ，FBC 4.33k

25、N 5kN 0 ，FAy 3.08kNFBC同理，为求 CD 杆轴力，取图 2-6d 所示部分为分离体。 Fy 0 ， FCD cos 30 FEy 10kN 0 ，得到FCD = 3.08 kN。实际中，经常遇到杆段上作用有分布载荷的情况。如例 1-1 中所述，分离体上作用有分布载荷，在求支座反力时，需要将分布载荷等效为集中载荷来处理。这就需要预先计算等效合力的大小和作用位置。为方便应用，这里给出任意分布载荷的等效计算方法。如图 2-15 所示，AB 梁上作用有沿 x 轴向任意分布的载荷q(x)，现求q(x)的合力FR及FRy合力的作用位置xc。因为在坐标x处梁的微分长度dx上的作用力为q(

26、x)dx，则其合力FR的值等于这些微分长度上力的积分：q(x)xlF q(x)dx（2-7）BACR0 xc另外，根据合力矩定理，这些微段上的力对 A点的力矩之和等于其合力FR对A点之矩，所以lllF x x q(x)dx q(x)xdx图 2-15Rc00由此可以确定是合力作用点的坐标xc：lq(x)xdxSx y0(2-8)clFq(x)dxR0l其中称 S q(x)xdx 为图形q(x) 对y轴的面积矩。事实上xc 就是载荷图q(x)所围面积形心y0的位置。对均匀分布载荷，显然，合力作用位置在分布范围的中心处。q x AB 上作用有沿 x 轴向线性分布的载荷 q(x) ，o例2-4如图

27、2-16a 所示，l试计算 1-1 横截面上的内力。解： (1) 取全分离体，按式（2-7）和（2-8），分布载荷合力的大小30yyFRqoqoq(x)xxAABBFByC2l/3FAyll图 2-16(a)(b)x dx 1 q ll q(x)dx lqFR00yl200F1R合力作用点在载荷图下面积的形心处，即qo/22xc 3 l ，如图 2-16b所示。用合力FR代替分布力 q(x)，容易求出支座反力q(x)xRAMl/3 FR q0l ， 2FR q0l FFFFsAyByAy3633l/2(2) 沿 1-1 截面假想截开，取左段为分离体，如图 2-16c 所示。同理，其上分布载荷合

28、力的大小(c)图 2-16 1 q0l q0lF1R2 228合力作用点在距左端 l/3 处。假设杆的 1-1 截面上的内力为Fs和M。对截面形心取力矩，合力矩等于零，以及垂直方向合力等于零，得到 ( ll ) F l2m (F ) 0 ，M F 0o1RAy23 Fy 0 ， 0Ay截面上的内力为1241 q l ， M q l 2 。Fs001624 内力方程，内力图一般情况下，随杆横截面位置的不同，其上的内力也不相同。内力沿杆件的轴线按一定的规律变化，或者讲内力是杆轴线坐标 x 的函数，称此函数为杆件的内力方程。用截面法可以方便地确定内力方程，从而可以确定最大内力产生的位置。另外，在后面

29、章节中，311q(x)l/21C内力方程也将用于求杆件的变形。内力沿杆轴线 x 的分布了杆的内力图（轴力图，剪力图，弯矩图和扭矩图）。在规定的（x内力）坐标系中，按内力方程可绘制出内力图，从图上可以更直观地了解内力的变化及其最大值所在截面的位置，内力最大的截面往往是构件受力最大，最容易发生破坏的地方，通常称为截面（critical cross section）。，右端为动铰支座，支承在 45o的斜面上。在离左端距例 25 如图 217a所示的离为a的地方作用有垂直向下的集中力F。求梁的剪力，弯矩和轴力方程，并作内力图。解：1，计算支座反力先将整个梁作为分离体，选取坐标系如图 2-17b所示。直

30、于斜面。左端的支座反力为FAx和FAy。根据平衡条件：端的支座反力FB的方向垂mA 0 ，F a + FB sin45 l = 0 ，FAx FB cos 45 0 ，FB sin 45 0 ， Fx Fy 0 ， 0 ，解得yFFBFAxx45oFBACablFAx(a)FNxF-aF/lAx)FSaF/lxFAyMFBx-bF/lFNMFSabF/llxFBy(e)x(f)图 217F a F ，b F 。l2a F ，F BAxll（2）求内力方程32FAy xM45o(b)N(c)MFN(dFSFFAyFSFx在集中力作用处，用截面法求得其左侧和右侧截面上的内力（剪力），会发现具有一差

31、值，其大小等于该集中力的值，即剪力在该截面上产生突变。因而内力方程在其左侧段和右侧段不能用同一规律表达。同理，集中力偶作用处的左侧段和右侧段、分布载荷作用段和没有分布载荷作用段的内力方程也不同。如此，在求内力方程时，要分段分别考虑。AC段（ 0 x a ）：如图 2-17c所示，在距A为x处作截面，取左边部分杆件为分离体。在截面上假设内力分量FN、FS和力矩M，利用力平衡条件：Fx 0 ， FN FAx 0 ，Fy 0 ，及对截面中心 o 取力矩， mo 0求得FS FAy 0 ，FAy x M 0 ，F ， M (x) F x b Fx 。F ，Ayl结果表明轴力FN和剪力FS在AC段为常数

32、。而弯矩M（x）是x的线性函数。CB 段（ a x l ）：当 x a 时，可以截取图 2-17d 所示的分离体。CB 段的内力方程可以通过这个分离体的平衡条件求出：Fx 0 ，Fy 0 ， mo 0 ，FN FAx 0 ，F 0 ，FAy x F (x a) M 0 ，得到 a F ， M (x) F x F (x a) l x aFF ，AyAyllCB 段的内力也可以从 B 端起截取长度为 lx 的分离体来计算。从右端截取的分离体不包含外力 F，计算较为简单。如图 2-17e 所示，由分离体的三个平衡条件得到Fx 0 ， FN FBx 0 ，Fy 0 ，FS FBy 0 ， mo 0 ，

33、 M (x) FBy (l x) 0 ，求得与上面相同结果:(l x) l x aF 。M (x) FF ，F ，Byl从以上结果可见，沿梁全长轴力FN为常数，它是由B端 45o斜支承的水力引起的。垂直方向的两个支承反力 FAy bF / l ， FBy aF / l 是按杠杆原理分配的与F相平衡的力。33弯矩最大值在C点，该处截面是截面。（3）作轴力，剪力和弯矩图。选取平行轴线的横坐标轴 x 及表示内力的纵坐标轴，按所求得的方程绘制各段内力图，如图 2-17f 所示。上面用截面法来建立杆件的内力方程。事实上，可以用更直接的方法来写出内力方程。分离体截面另一侧材料对分离体的作用相当于固支端的作

34、用，因为它在截面上给分离体提供了三个约束力（限于平面平衡力系）：轴力、剪力和弯矩。因此，可以将分离体看作是在截面处固支的物体，求出其反力，即为其内力。qFM= -q2/2M= -FyM*M = M*FS = FFS= qxFS = -FM*FS = -qqM= FyM= q2/2M = -M*F图 218x如图 2-18 所示，分离体截面左侧段上，向下的集中力F在截面上引起正的剪力FSF和负的弯矩MF，其中 为力F的作用点到截面的距离；向上的集中力F引起q负的剪力FSF，正的弯矩MF 。一段集度为q的均布力，分布长度为 ，其作用等效于作用于分布区间中点、大小为BAFAylFByq 的集中力，所

35、以向用的均布力在lx qx q截面上引起正的剪力FS= q，和负弯矩M= q 2/2，向上作用的均布力在截面上引MM起负的剪力FS = q，正的弯矩M= qFS2/2；一个顺时针方向的力偶矩M*在截面上引起正的弯矩MM*，而一个逆时针方向的力偶矩M*将引起负的弯矩MFSql/2ql/2ql/2FSxM*。当截取的分离于截面右侧时可以用类似的办法求截面上的内力。-ql/2ql2/8M例 2-6 受均布载荷 q 作用的（图 2-19），长度为 l，不计梁自重，求剪力和弯矩沿轴线分布的表达式，并作剪力图，弯矩图。x图 21934By=ql/2。从左端到坐标为x的截面处截取的分离体表明，解：易见梁的支

36、座反力x截面上的内力由左端支座反力FAy程如下布力q产生。应用上面所述规律，可直接写出内力方F (x) F qx ql qxSAy2qx2qxM (x) FAx x (l x)22FS(x)是一直线方程，M(x)是一抛物线方程，它们的图形如图 2-19 所示。弯矩的最大值产生在梁的中点x = l/2 处，其大小为 M max ql /8 。2同理，也可以取截面右侧部分为分离体，直接写出内力方程F (x) F q(l x) ql qxSBy2 qx (l x)M (x) F (l x)Ay22得到与取左侧段为分离体相同的结果。25 内力与载荷集度间的微分关系内力与载荷集度之间存在着一定的微分关系

37、。内力沿杆轴线的分布规律可以通过对载荷集度进行积分求出。如此，提供了求解内力的内力图或校核所作内力图的正确性。法。这种微分关系也可以用于绘制一、轴力与轴向分布力间的微分关系图 2-20 所示的等截面杆件，沿其轴线受轴向分布力 f (x)dx 的微单元作为分离体，对应位置为FN dFN 。由 x 方向的力的平衡条件FN (x) dFN (x) f (x) dx FN (x) 0可以得到轴力与轴向分布力间的微分关系如下：作用。沿轴线取出长度为截面上轴力为dFN (x) f (x)（2-9）dx在分布力作用段上，对上式进行积分，并利用端部的力的边界条件确定积分常数，可以确f(x)t(x)xxf(x)

38、t(x)FNFN+dFNMxMx +dMxdxdx图 2-20图 2-2135定该段内任意截面上的轴力 FN (x) 。二扭矩与分布扭矩间的微分关系如果等截面杆仅受扭矩作用，如图 2-21 所示，设杆上受分布扭矩为t(x) 。同样，取出长度为 dx 的微单元作为分离体，其截面上的内力如图中所示，根据对 x 轴取矩的平衡条件M x (x) dM) 0得到dM x (x) t(x)（2-10）dx此即扭矩与分布力间的微分关系。通过对它的积分并利用力的边界条件，可以得到分布力段内扭矩沿 x 轴的分布规律。三、 剪力，弯矩和分布力之间的微分关系假设上有分布力q（x）作用（图 2-16，规定向上的q（x

39、）为正）。现取长度为dx的梁单元作为分离体。设单元左侧截面上有剪力 FS和弯矩M，则单元右侧截面上的剪力和弯矩在此基础上有一增量，即为FSdFS和M dM。假设dx足够小，分布力的作用可以用通过作用于单元中点o的合力q(x)dx代替。则单元体的平衡条件为 Fy 0 ，Fs (x) dFs (x) q(x)dx Fs (x) 0 mo 0 ，yxq(x)xdxdxoMzMz+dMzFSFS+dFS图 2-22q(x)M (x) dM(x) F (x) dF (x) dx F (x) dx M (x) 0sss22，整理得到：忽略二阶微分量dFs (x) dx q(dFs (x) q(x)(2-1

40、1)dxdM (x) F(x)（2-12）sdx这就是将载荷集度q(x) 与剪力FS (x)、弯矩M (x)联系起来的微分关系。式（2-11）和（2-12）表明：剪力沿轴线的变化率在某截面处的值与该截面处分布力之负值相等；而弯矩沿轴线36的变化率在某截面处的值与该截面处的剪力之负值相等。通过对上述方程积分并利用力的边界条件，可以解出FS (x) 和M (x)。例 2-7用平衡微分关系求解例 2-6（图 2-19）。受均布载荷作用，由于载荷方向向下，以q 代替式（2-11）中的 q，得到解：dFS dx (q) 0进行积分得到FS qx C1其中C1为待定的积分常数。将上式代入式（2-12），得

41、到dMqx C 01dx积分上式得到1M (x) qx C x C2122同理，C2为另一待定的积分常数。利用梁A、B两端面弯矩为零的边界条件，即M (x) |x0 0 ，M (x) |xl 0得到 ql2C 0 ，C21如此得到与前例相同的结果：F (x) qx ql ,M (x) ql x 1 qx2 。S222现在是，假如梁上有集中力或力偶矩作用，如何进行积分？后面一节讲了奇异函数后就可以解决了。四、 利用微分关系绘制内力图对给定q(x) 的杆段（一端坐标值为 a ，另一端为b ，假设 a b ），沿杆段对方程（2-11）积分bF (b) F (a) q(x)dx(a b)（2-13）s

42、sa可见杆上任意两截面之间剪力的增量等于两截面之间的分布力之积分的负值。如果两截面之间之间没有分布力，则剪力保持为常数。如果有一个集中力 F（规定向上为正），那么剪力在集中力作用处产生突变，其突变值等于F。实际上，集中力 F 是微小杆段上分布载荷的等效合力，若设微小杆段为x （ x 0 ），则可认为其上的分布载荷是均匀的，即q F / x ，如此，在式（2-5）中，积分上、下限分别取 a 和 a x （相当于从截面的37一侧到另一侧），就得到剪力突变的结果。同理，沿杆段对方程（2-12）积分bM (b) M (a) F (x)dx(a b)（2-14）Sa可见杆上任意两截面之间弯矩的增量等于两

43、截面之间的剪力之积分的负值。如果两截面之间有一个集中力偶矩Mo作用（规定逆时针方向为正），则在该处弯矩图有一个突变，其增量为Mo。在剪力为零的区段，弯矩保持为常数。剪力为常数的区段，弯矩是线性变化的。如果剪力是坐标x的线性函数，则弯矩是x的二次函数。假如杆件的端部是铰支座或是端，并且没有力偶矩作用，则端点的弯矩必为零。如果杆件的中间有铰连接，则在连接铰处弯矩也必须为零。q将式（2-11）代入式（2-12）得到d 2 M q(x)（2-15）dx2q由此可知，在 q 为正值的区段，弯矩图线的曲率为正，弯矩图线呈凹形。在 q 为负值的区段，弯矩图线的曲率为负，弯矩图线呈凸形（见图 2-23）。为了

44、便于利用上述规律作剪力、弯矩图，将其归纳如下：MMxx图 2-23q0， FSC为常数，FS图为水平线； M图为斜直线，FSC0 时，M图的斜率为负，FSC0 时，FS图的斜率为负，M图为凹的抛物线。qC0 时，FS图的斜率为正，M图为凸的抛物线。（3）从集中力F作用处的左侧到右侧截面，FS图有突变，突变量为持连续，但其斜率发生间断。F，此处M图保从集中力偶矩Mo作用处的左侧到右侧截面，FS图无变化，M图有突变，突变量为 Mo。如果在某截面处FS0，则在该处M图的斜率为零，也就是弯矩取极值。由于集中力和集中力偶矩作用处，截面上的弯矩图分别产生拐折和突变，弯矩在该截面处也可能取极值。如此，作内力

45、图时，可先将每一段两端面的内力值确定，再利用上述规律将区间内内力图线画出。BAM0lFBy dxFAydxMBMFAy0FAyFSFBy端点 A端点 BFByxM例 2-8 如图 2-24 所示的AB，梁x长度为l，在B端受集中力偶矩M0作用，试画梁的剪力图与弯矩图。解：(1) 求支座反力：图 2-2438 M0lm 0 ,FABy M0 F 0 ,FAyyl（2）作剪力、弯矩图：利用截面法，首先求出端部 A、B 内侧截面的内力值。通过截取图示长度为d（x dx 0 ）的分离体，由其平衡条件可知A 内侧截面上： FS FAy Mo / l ， M 0B 内侧截面上： FS FAy Mo / l

46、 ， M M 0 x / l由于AB梁上的分布力为零，所以剪力图为一水平线，弯矩图为斜率等于Mo/l的直线。由此及求得的端面的内力，连线即得到全梁的剪力和弯矩图，见图 2-24。由图可知，最大弯矩产生在集中力偶矩作用处，即B截面上。最大弯矩值为| M |max M 0 x / l 。例 2-9 根据内力的微分关系，分析例 2-6（图 2-19）的与弯矩。受均布载荷时梁的剪力解：梁的左端面和右端面内侧上的剪力分别为ql / 2 和 ql / 2 。根据微分关系（2-11）可知，FS是斜率为q的直线，在梁的中点处剪力为零。因为分布力为负值，所以弯矩图为向上凸的抛物线。梁两端的弯矩为零，（剪力为零处

47、）弯矩达最大值：q lql 2qll () ( ) 222M max2 28例 210 外伸梁的尺寸及所受载荷如图 225 所示，试根据内力的微分关系画出剪力图与弯矩图。解：1，求支座反力（详细式子略）M=2.5kNmF=2kNq=1kN/mmB 0 ， Fy 0 ，AFAy3 kNBCDFBy2 kN3m3m2mFByFS2kN2，分段作剪力图C 截面内侧的剪力为2kN1mxF F 2kN ， CA 段段上无分布力，SCM剪力图为水平线。A 截面上剪力突变，2kNm即从其左侧到右侧，剪力由 F 2kNSAx 1 kN ，AD 段突变到Ay1kNm上无分布力，剪力图也为水平线。DB段载荷均匀分

48、布，剪力图为斜直线，其斜率为(q) 1kN 。D 点无集中力，所4kNm图 22539FAy1kN1.5kNm以此处剪力连续。由 F 1kN 及 F F 2kN 确定两点。直线连接这两点得到该段DSBBy剪力图。3，分段作弯矩图CA 段和 AD 段由于剪力为常数，M 图线性变化。C 端为端，弯矩为零。A 截面矩M A F 2m 4kN m上弯。D左侧截面的弯矩M F 5m F 3m 1kN m ，直线连接由此三个值确定的点，获得该两段的弯矩D图。AyDB段弯矩图为上凸的抛物线，D截面上作用有集中力偶矩，弯矩将产生突变，其右侧截面上弯矩 M M M 1.5kN m 。该段内对应于FS0 处弯矩达

49、到极大值，由剪力DD图可知该值产生在距离B点 2m处，其大小为 M1 FBy 2m q (2m)2 / 2 2kN m 。支座B处弯矩为零。曲线连接由此三个值确定的点，获得该段的弯矩图。由所作内力图可知，最大弯矩产生在 A 截面上，其值为| M |max 4kN m 。例 211 图 226 所示组合梁，由悬臂梁 AD 与DB 通过中间铰连接而成。铰 D 上有集中力 F2kN 作用，梁 AD 的中点 C 有力偶矩 M*10kNm 作用，梁 DB 上有均布力q1kN/m 作用。试作剪力图和弯矩图。解：1，求支座反力将 AD 梁，DB 梁和铰 D 分别作为分离体考虑它们的平衡。(1)梁 DB 与均

50、布载荷作用的F=2kNM*=10kNmq=1kN/mA受MAB力情况相同，在 D 端和 B 端分别受向上的 1kN 力支承。(2)D 铰受梁 DB 传来的力（1kN ）和F 力（2kN ）向下的作用，所以梁 ADDFAy1m1m2mFBy2kN1kN在 D向铰提供 3kN 向上的力来平衡3kN4kNm这两个力。(3)梁 AD 的 D 端受铰 D 传来的向下的3kN 力的作用。其固支端 A 的剪力和弯矩通过平衡关系确定为10kNm1kN/m3kN1kN1kNFS1kNADxFSA 3kN ，2，作剪力、弯矩图M A 4kN m-1kN-3kNBMC梁AD上分布力为零，所以剪力为常7kNm0.5k

51、Nmx数，其值F = 3kN。D点有集中力F=D4kNmSA2kN 作用，所以剪力图向上跳跃了 2kN。梁DB有分布力q = 1kN/m，所以剪力图是斜率为 1kN/m的直线，B端的剪力是 FSB = FBy1kN。-3kNm图 226403kNC由 AD 的剪力为常数（3kN），所以 AD 段的弯矩是斜率为 3kNm/m 的斜直线，但是在 C 点有集中力矩 M*= 10kNm 的作用，所以弯矩图在 C 点向下跳跃 10kNm。在 D点弯矩为零，这与铰连接的条件一致。DB 段弯矩图为向上突起的抛物线，这一段弯矩的最大值为 0.5kNm，位于 DB 段的中点。从图中可以看出，全梁上最大弯矩产生在

52、 C 的左侧截面上，大小为 M max 7kN m*26 奇异函数由前面一节知，上仅有 q（x）作用，可以通过对微分关系（2-11）和（2-12）积分求出其剪力和弯矩方程。但是，当梁上有集中载荷或力偶矩作用时，对全梁进行积分将会遇到，一般要以集中载荷作用处为分段点进行分段积分。为避免分段带来的繁琐，这里将引进一个数学工具，使这类问题同样可以简便地在全梁上求积分。用符号定义如下的函数- x aa x x an 0(216)(x a)n其中 n = 0, 1, 2, .。尖括号表达式的值，在 x a 时为零，当 x a 时，其值为 (x a)n 。规定幂次数n 0 时，可将函数式(2-8)视为通常

53、函数来进行积分运算，即， x a n dx 1 x a n1xn 0(217)n 1定义 n 0 时，0为阶跃函数（Heaviside- x a函数）。即 x a0 0（218） 1a x 脉冲函数，物理上称为Dirac定义n = 1 时 x a 1 为 函数。定义n = 2 时 x a 2 为偶极函数（unit doublet）。这三个函数之间的关系可以表示为：x x a 2 dx x a 1x x a 1dx x a 0（219）（220）满足如上规定的这一族函数称为奇异函数（singularity function）。图 2-27 中左边一列所示为 n 2 至 n 2 按幂次数上升的次序

54、排列的奇异函数的图形。若视 q(x) 为广义载荷，可将集中力偶矩、集中力和均布力作为 q(x) 的特殊形式，分别用偶极函数、脉冲函数和阶跃函数来表示。图 2-27 中右边一列是用奇异函数表示的广义载荷，图中载荷方向均假设为正的方向。如此，将梁上的各类载荷用广义载荷写成的一个表达式，按上述积分规则便可在全梁上进行简单的积分运算，从而获得其内力方程。值得注意，在图中选定的坐标系下，a 表示载荷(集中力偶矩、集中力和均布力始、终点)作用位置坐标，从梁的一端起建立广义载荷的表达式，而梁另一端的载荷不计入其中。412q(x)=M2xM axaoo偶极函数力偶矩q(x)=F1F1x脉冲函数xoo集中力aa

55、q(x)=q00 x阶跃函数oxo均布力aa1xoa2xo图 227a例 212 图 228 所示的左半边受均布y载荷 q 的作用。试用奇异函数表示梁上的载荷，并通过积分求剪力、弯矩方程。解：1, 很明显，支座反力为qxF 3 ql ,F 1 qlFAyAyByl/288FlBy2，利用奇异函数将载荷用广义分布力表示为q(x) F x q x 0FS 1 8ql1Ay q x l 0 3 ql x 28（a）1 3 qll q x q x 0082注意上述表达式中，第一项表示集中力FAy作用在x=0 处；第二项表示均布力从x=0 处开始作用， q向下为负；然而，从 x l /2 开始均布力中止

56、， 9 ql 2M21 ql12816图 228所以加上第三项q x l 0 ，表示从 x l /2 开2始有向上的均布力q作用，与第二项的作用相抵，使得实际上右半段梁上的分布力为零。42将上式积分可以得到剪力的表达式3l2F (x) q(x)dx ql x q x 01q x 1（b）S8注意这里不必加积分常数，因为 A 端的剪力已作为已知值代入，剪力的左端边界条件已满足。上式再积分可以得到弯矩的表达式M (x) F (x)dx 3 ql q2l22（c）S8作为检验，将 x l 代入式（b）和（c），F (l) 3 ql ql ql ql FSBy828ql 2ql 23M (l) ql

57、02828可见它们满足右端力的边界条件。按奇异函数的取值规定，上述结果也可用写成常规函数形式l2F (x) 3 ql qxM (x) 3 qlx q x20 x ：S882l2F (x) 1 qlM (x) 1 ql(l x) x l ：S88事实上，利用奇异函数的表达形式，剪力和弯矩方程式（b）和式（c）也可直接写出来。又如，例题 210（图 225）的剪力、弯矩可以写成F (x) F x 0 0 F x 2 0 q x 5 1SAyM (x) F x 0 1 F x 2 1 M x 5 0 q x 5 2Ay2 2-7 刚架和曲杆的内力在工程实际中，常常需要将一些直杆刚性地连接起来，形成刚架（frame）。杆件之间的刚性连接处称为刚节点（rigid jo ）。当刚架受力而变形时，认为节点处杆件之间的夹角保持不变。这种节点与铰节点不同，它既可以传递力，又可以传递力矩（铰节点不能传递力矩）。当刚架的所有杆件都在同一平面内，载荷也作用在此面内时称为平面刚架(plane frame)。刚架杆横截面上可能存在轴力、扭矩、剪力和弯矩，对于轴力、扭矩和剪力，仍按前述方定其正负号（即轴力、扭矩矢量方向与截面外法线方向一致为正，反之为负；剪力使