高一第一学期知识点梳理

1、第一章 集合与命题一、集合1、集合的概念及表示法集合元素的三条特性：确定性，无序性，互异性。【例一】1、已知集合，求实数的取值范围。2、已知集合，且，求集合。元素与集合的从属关系，常见数集的表示。注意空集“”集合的常用表示方法：列举法，描述法，图示法，区间表示（限数集）。注意描述法的表达格式以及代表元的表征模式。集合的分类：点集、数集2、集合的关系子集、真子集、集合相等的概念及其判别，集合与集合的（真）包含关系。注意空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。【例二】1、若，则、与的关系分别是什么？2、已知集合，集合，且，求实数的值所形成的集合。3、已知集合，其中，若，求的值。4、已知

2、集合，集合。若，求实数的取值范围。（真）子集个数问题：n元集合的子集个数为，真子集及非空子集个数为，非空真子集个数为M是m元集合，N是n元集合，（mn）则满足下列条件的集合X个数为：(1)：；(2)： (3)：；(4)： 3、集合的运算非连续数集题型： 【例三】1、已知集合，求.注意点集求交：联立求交点2、已知全集，则=_， =_. 利用文氏图求解3、已知，且，则x=_。不仅要检验是否满足互异性，还要验证已知条件4、设，若，试用列举法表示.由，得出两个方程有且仅有一个公共根连续数集的题型：利用数轴利用等价关系将集合运算问题转化为集合包含关系的讨论：；.【例四】1、已知集合，求2、已知集合，集合

3、，集合，求，。3、已知，若，试求、的值4、设, ,若，求的值5、已知关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为_.6、设，若，求实数k的取值范围.7、设，若，求实数k的取值范围.二、四种命题形式1、命题与推出关系命题真假的判断，推出关系的传递性2、四种命题形式与等价命题四种命题形式，否命题与命题的否定形式的区别，等价命题，逆否命题的等价性常用逻辑判断词的否定形式：原式否定式原式否定式是不是=任意存在全/都没有一个不不全/都至少一个不全/都不没有一个是至多0个至少一个不包含于= 或不真包含于至多n个至少n+1个一定不可能 【例五】1、已知命题p的逆命题为“若实数a、b满足a=1且b=2，则a+b

4、4”.试写出命题p的否命题，并判断命题p的真假.2、判断命题“若，则或”的真假.3、设命题p：不等式的解集为，命题q：不等式的解集为，若p和q中只有一个为真命题，试求a的值的取值范围三、充分必要条件1、充分必要条件充分、必要条件的判定：（注意语序）本质上转化为对于推出关系的判定2、充要条件充要条件的充分、必要性证明3、子集与推出关系命题间的推出关系，充分必要条件，转化为集合间包含关系；【例六】1、若，则成立的一个充要条件是 ( ) (A)； (B)； (C)； (D).2、命题“”是命题“”的_条件.3、已知是的充分条件而不是必要条件，是的必要条件，是的充分条件， 是的必要条件。现有下列命题：

5、是的充要条件； 是的充分条件而不是必要条件；是的必要条件而不是充分条件； 的必要条件而不是充分条件；是的充分条件而不是必要条件； 则正确命题序号是 4、已知“且”，则与此命题等价的是（ ）“”； “”；“”； “”5、若均为非负实数，不等式与的解集分别为、，则“”是“”的( )条件.(A)充分非必要； (B)必要非充分； (C)充要； (D)既非充分又非必要.6、设，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是 .7、“不等式成立”的充分条件是“或”，则实数、的取值范围分别是 .第二章 不等式1、不等式的基本性质1）传递性质：，；2）加法性质：； 3）乘法性质：；4）倒数性质：；5）同向加法：；6

6、）同向乘法：；7）乘方性质：；8）开方性质：.减法与除法都应先转化为加法和乘法，再进行进一步运算，同时应关注到性质试使用的前提。【例一】1、若，则下列命题中正确的是（ ）若，则 若，则若且，则 若且，则2、已知三个不等式：、，以其中的两个不等式作为条件，另一个作为结论，则能得到的真命题的个数是 .3、若，求的取值范围.4、若，求不等式的解集.作差比较法的基本步骤：1作差 2. 变形 3. 定号 4. 结论注意：必须指出等号成立条件.【例二】1、已知， ，则下列不等式中恒成立的是（ ） 2、已知，比较与的大小3、若，设，试比较、的大小2、不等式的解法一元二次不等式：二次项系数化正，整理成标准形式

7、，避免错误.可以化为一元二次不等式：通法换元法对于不等式，其中，等等解不等式组：本质数集的取交运算高次不等式：数轴标根法，奇穿偶回，注意轴上端点取值分式不等式：移项通分，分式化整式，转化为一元二次或高次不等式求解，注意分母不为零含绝对值不等式：基本方法根据绝对值的意义求解：；.含两个或两个以上绝对值：分段讨论去绝对值，最后的结论要取并无理不等式：两边乘方，注意偶次方根式的非负性，以及被开方式的非负性含字母不等式的求解注意点：最高次项系数是否为零；二次不等式两根大小的比较；原始问题的隐含意义；讨论要不重不漏，最终结论不取并集【例三】1、解关于的不等式：，其中2、解关于的不等式：，其中.3、解关于

8、的不等式：，其中.4、已知关于的方程的解为非正数，则实数的取值范围是 .韦达定理，解集逆用利用方程与不等式的联系解题：不等式解集的端点，即为对应方程的根，或无意义点。结论：若一元二次方程的两根分别为和，则一元二次方程的两根分别为和；一元二次方程的两根分别为和；一元二次方程的两根分别为和.需要结合解集的特征（两根之间或两根之外，端点的正负）得出二次项系数与常数项的正负【例四】1、已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是 .2、若不等式的解集为，则= 。3、已知不等式（1）若不等式的解是x-3或x-2，求k的值；（2） 若不等式的解是，求k的值4、已知关于的不等式的解集为其中，则关于的不等

9、式的解集是 .5、已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是 .恒成立问题结论：“恒成立，即解集为R”“恒不成立，即解集为”则；“恒成立，即解集为R”“恒不成立，即解集为”则；“恒成立，即解集为R”“恒不成立，即解集为”则；“恒成立，即解集为R”“恒不成立，即解集为”则；注意：一定要注意讨论二次项系数为零是的情况【例五】1、已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是_.2、不等式对任意均成立，求实数a的取值范围.3、若对于任意实数x,，不等式恒成立，求实数a的取值范围。4、已知对于任意实数，不等式恒成立，则的值为_.3、基本不等式及其应用基本不等式一：对于任意实数和，有，当且仅当时等号成立。基本不等式二：对于任意正数，有，当且仅当时等号成立。注：（1）：算术平均数，：几何平均数；（2）推广：对于任意正数，有，当且仅当时等号成立；（3）不等式可以变为；（4）均值不等式链：对于任意正数，有，当且仅当时等号成立.利用基本不等式求函数最值：一正二定三相等【例六】1、若，则当时， 取得最_值，其值为_.2、若，则当时，取得最_值，其值为_.3、若，则当时