函数解析式的几种基本方法及例题

1、求函数解析式的几种基本方法及例题:1、凑配法：已知复合函数fg(x)的表达式，求f(x)的解析式。(注意定义域)例 1、(1)已知 f(x+1)=x 2+2x,求 f(x)及 f(x-2).已知f(x -) x,f (x) x 1 (x 1)f (x 1) (x 1)2 1 x2 2x (x 0)1(2) 设工 t,Mlx 1,代入已知得 f (t)t , f (x) -.xt1 t 1x 11 _t4(x 0),求f(x)的解析式 x x解：(1) f(x+1)=(x+1) 2-1,f (x) =x2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x2-4x+3. TOC o 1-5 h z (2)

2、f(x -) (x -)2 2, x - 2 x xx2_f (x) x 2 (x 2)2、换元法：已知复合函数fg(x)的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。(注意所换元的定义域的变化)例 2 (1)已知 f(Vx 1) x 24rx，求 f(x 1)1 x(2)如果f()-,则当x 0,1时，求f(x).x 1 x2解：(1)令 t Mx 1,则 t 1, x (t 1)f ( . x 1) x 2 x-2_2f (t) (t 1)2(t 1) t 1,3、待定系数法：当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。例 3、已知 f(x)是二次函数，且满足 f(

3、x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x).解：设 f(x)=ax 2+bx+c(a?0), . f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1) 2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2攵-4x,2a 2 a 1则应有 2b 4 b 2 f (x) x2 2x 1.2a 2coe 1四、构造方程组法：已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构 造方程组，通过解方程组求得函数解析式。x,求 f(x)1、例4设f(x)满足f(x) 2 f () x加1解 f(x) 2f (-) x x1显然x 0,将x换成,，得： x,1,1_f

4、(-) 2f(x) xx解 联立的方程组，得：f(x)x _2_3 3x五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解 析式。例5已知：f(0) 1,对于任意实数x、y,等式f(x y) f (x) y(2x y 1)恒成立，求 f(x)解丁对于任意实数x、y,等式f(x y) f (x) y(2x y 1)恒成立，不妨令 x 0,则有 f ( y) f(0) y( y 1) 1 y(y 1) y2 y 1再令 y x得函数解析式为：f(x) x2 x 1课堂练习：1、已知 f(x+1)=x 2-2x,求 f(x

5、)及 f(x-2).2、已知 f (Jx+1) =x+2jx+1,求 f(x)的解析式。3、已知 f(x)为二次函数，f(x+1)+f(x-1)=2x2-2x+4.求 f(x)的解析式。4、已知 f(x)=2x+a,(x)= 1 (x2+3),且 f(x)=x 2+x+1,贝U4a= .5、如果函数f(x)满足方程af(x) f(-) ax,x R且x 0,a为常数，且a x丰1,求f(x)的解析式。解：: af(x)+f( 1)=ax将x换成1,工换成x得， xx xaf( 1)+f(x)=- 由、得xx2 axf(x)=a(ax2 1)(a2 1)x(xRix0).f(mn)=f(m)+f

6、(n)成立，且6、已知函数f(x)对任意正数 m,n均有 f(8)=3,试求 f( J2)的值。函数零点问题典例(含答案)11、(1)求函数f(x) = 2x吩一2的零点；(2)已知a,b是实数，1和一1是函数f(x) = x3+ax2+bx的两个极值点.求实数a和b的值；设函数g(x)的与函数g (x)=f(x)+2,求函数g(x)的极值点.2、(1)判断函数f(x) = 2xlg(x+1)的零点个数；e2(2)已知函数 f(x)=-x2+2ex+11, g(x) = x+-(x0).x 若函数g(x) m有零点，求实数m的取值范围；确定实数t的取值范围，使得关于x的方程g(x) f(x)=

7、0有两个相 异实根3、已知函数f(x)=2x+ln(1x),讨论函数f(x)在定义域内的零点个数.4、已知函数 f(x)=x2+2mx+ 2m+ 1.(1)若函数f(x)的两个零点xi, x2满足xiW(1,0), x2W(1,2),求实数m 的取值范围；(2)若关于x的方程f(x)=0的两根均在区间(0,1)内，求实数m的取值 范围,215、已知函数 f(x) = x+2, h(x)=，k (1)设函数 F(x)=18f(x) x2h(x)2, 求函数F(x)的单调区间与极值；(2)设 aW R,解关于 x 的方程 log4：3f x1 -4 =log2h(a x) log2h(4x).xl

8、n x, x0,6、已知函数f(x)=,八xln x , x0,方程两边同时乘以2x,得(2x)2 2X2x 1 = 0.由一元二次方程的求根公式，得2x= 1线.由 2x0,知 2x=1+V2.函数 f(x) = 2x；2 的零点是 x=log2(1+V2).由题设，知 f (x)=3x2+2ax+b 且 f (1) = 32a+b=0,f (1) = 3+2a+ba = 0, b= 3.由(1),得函数 f(x)=x33x.，f(x)+2=(x1)2(x+2).方程g (x)=0的根是 x1 = x2= 1 , x3= - 2.函数g(x)的极值点只可能是1或一2.当 x 一2 时，g (

9、x)0,当一2x0,，2是极值点.又当一2x1时，g (x)0,故1不是极值点.，函数g(x)的极值点是一2.【点评】含指数式和对数式的方程常用换元法向常规方程转化，解二次方程的常用方法是因式分解和求根公式.注意导数的零点的意义.2、分析(1)直接解方程f(x)=0有困难，可以作由函数 y=2-x及y=lg(x+1)的图象，还 可以用判定定理.(2)画由函数图象，结合最值与交点情况求解.【解析】(1)方法一：令 f(x)=0,得 2-x=lg(x+1),作由函数 y=2-x&y= lg(x+1)的图象(如图2161),可知有一个交点.，函数 f(x)的零点有且只有一个.方法二：首先x 1,在区

10、间(一1, + 8)上2x是减函数，一lg(x+1)也是减函数, ，函数f(x)在区间(一1, + )上为减函数且连续.vf(0) = 2-lg 1 = 1 0, f(9) = 2-9lg 10 = 搂1V0,.f(0)f(9)v0.函数f(x)在区间(1, +8)上有唯一零点._e2(2)0 - x0, /. g(x) = x + 2/e2=2e.x当且仅当x=e时取等号.有两个不同的交点，作由12，1内为减函数.1 ln 20.，函数g(x)的值域是2e, +00 ),要使函数g(x)m有零点，则只需 m2e.若关于x的方程g(x) f(x)= 0有两个互异的实根，即函数 g(x)与f(x

11、)的图象g(x) = x + 2(x0)的图象(如图 2162).x、3、【解析】函数f(x)的定义域为x|x1且函数f(x)在定义域内的图象是连续的.11 2xf (x) = 2 + ； - = -(x1).1 x 1 x1令 f (x)=0，得 x = 2.11当 x0；当2vxv1 时，f (x)01函数f(x)在区间8, 2内为增函数，在区间f 1 ,- 一 , 一 11当x=2时，函数f(x)有最大值f2 =1 + ln =又 f(-2)=- 4+ln 30,1f( 2)f 2 0.一，、1 一八L ，、1 一八一，函数f(x)在区间一2, 2内有唯一零点，即在区间8,内有唯一零点.

12、又 f(1 e- 10)= 2(1 e-10)+ ln(1 - 1 + e- 10)= - 8-2e- 10v 0,1，f(1 e 10)f 2 0.1函数f(x)在区间2, 1e10内有唯一的零点，即在区间 万，1内有唯一零点.，函数f(x)在区间(s, 1)内有且只有两个零点.4、【解析】(1)根据函数f(x)的图象，f 0 =2m+10,f 1 =4m + 20.化简，得一5m0),，F (x) = 3x2+12.令 F (x) = 0,得 x=2(x= 一2 舍去).当 xS (0,2)时，F (x)0;当 x6(2, +8)时，F (x)0.故当xS 0,2)时，函数F(x)为增函数

13、；当xS 2, +oo)时，函数F(x)为减函数. 故x=2为函数F(x)的极大值点且 F(2) = 8+24+9=25.(2)方法一：原方程可化为log4(x 1) = log2、/0二x log2j4 x =log;i且A/4-xxa, 1x4.当aw 1时，方程无意义，即方程无解.当 1aW4 时，1x0, x=- 2= 3 勺5a.此时方程仅有一解 x=3 45二者4a5,则A5时，方程无解；当1va4时，方程有一解x=3-5-a；当4a4 时，1 x0 时,-x0,/ f(x) = xln x, f( x) = xln x, /.f(-x)=-f(x).当 x0,f(x) = xln(x), f( x)= xln( x), /.f(-x)=-f(x). f(x)是奇函数.(2)当 x0 时，f(x) = xln x, 1f (x) = ln x+x .= In x+ 1.z TOC o 1-5 h z 令 f (x)0,得 0c x0,得 x 1;当 x6 1, +0 时，f(x)为增函数. ee又f(x)为奇函数，当x6 1,。时，f(x)为减函数；当x6 s, 1时，f(x)为增函数. ee函数f(x)的单调减区间为 一，0和0,，ee单调增区间为一s, 1和1，+8 (3)原方程等价于f(x)=J,考察函数f(x)的图象变化,e ek由，知当x6。，