北师大版九年级数学（上）正方形相关常考模型

1、 北师大版九年级数学（上）正方形相关常考模型模型1正方形中相交垂线段问题教材P21例1的变式与应用【教材母题变式】(教材北师9上P21例1变式)如图，在正方形ABCD中，E，F分别在BC，CD上，BECF.AE与BF之间有怎样的关系？请说明理由.解：AEBF且AEBF.理由：四边形ABCD是正方形，ABBC，ABEC.又BECF，ABEBCF(SAS).BAECBF，AEBF.又BAEAEB90，CBFAEB90.BOE90.AEBF.【变式】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，AOF90.求证：BECF.证明：四边形ABCD是正方形，ABBC，ABEB

2、CF90.AOB180AOF90，BAEOBA90.又ABECBFOBA90，BAECBF.在ABE和BCF中，eq blc(avs4alco1(ABEBCF，,ABBC，,BAECBF，)ABEBCF(ASA).BECF.【归纳】正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段AF与EG，图3中的线段HF与EG)满足：若垂直，则相等.模型2正方形中过对角线交点的直角问题教材北师9上P25习题T4的变式与应用【教材母题变式】(教材P25习题T4变式)如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB

3、于点E，OC1交BC于点F.(1)求证：AOEBOF；(2)如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？解：(1)证明：在正方形ABCD中，AOBO，AOBA1OC190，OABOBC45.AOEEOB90，BOFEOB90.AOEBOF.在AOE和BOF中，eq blc(avs4alco1(OAEOBF，,OAOB，,AOEBOF，)AOEBOF(ASA).(2)两个正方形重叠部分的面积等于eq f(1,4)a2.理由如下：AOEBOF，S四边形OEBFSEOBSBOFSEOBSAOESAOBeq f(1,4)S正方形ABCDeq

4、 f(1,4)a2.【变式】如图，在等腰RtABC中，C90，点O是AB的中点，且AC1，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC，BC相交，交点分别为D，E，则两个三角形重叠部分的面积为eq f(1,4).【归纳】ABC是等腰直角三角形，O为斜边AB的中点.连接OC，则DOCEOB，ADOCEO.在正方形ABCD中，O为对角线的交点，直角EOF绕点O旋转，若OE，OF分别与DA，AB延长线交于点G，H，则AGOBHO，OGH是等腰直角三角形.模型3正方形中的“外角平分线”模型3.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上任意一点，AEF90，且EF交正

5、方形外角的平分线CF于点F.求证：AEEF.证明：在AB上截取BMBE，连接ME.B90，BMEBEM45.AMEECF135.AEF90，AEBFEC90，AEBMAE90，MAEFEC.ABBC，BMBE，AMEC.在AME和ECF中，eq blc(avs4alco1(MAECEF，,AMEC，,AMEECF，)AMEECF(ASA).AEEF.【变式】在上题的前提下，若题中结论“AEEF”与条件“CF是正方形外角的平分线”互换，则命题是否还成立？请给出证明.解：命题仍然成立.证明：过点F作FHBC，交BC的延长线于点H，AEF90，AEBFEH90.ABE90，AEBBAE90.BAEH

6、EF.在ABE和EHF中，eq blc(avs4alco1(BAEHEF，,ABEEHF，,AEEF，)ABEEHF(AAS).BEHF，ABEHBC.BCECEHEC，即BECH.HFCH.HCFHFC45，DCF45.CF是正方形外角的平分线.模型4正方形中的半角模型4.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE.(1)求证：CECF；(2)若点G在AD上，且GCE45，则GEBEGD成立吗？为什么？解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，BCCD，BCDF.又BEDF，CBECDF(SAS).CECF.(2)GEBEGD成立.理由：由(1)得，CBECDF

7、，BCEDCF.BCEECDDCFECD，即BCDECF90.又GCE45，GCFGCE45.CECF，GCEGCF，GCGC，ECGFCG(SAS).GEGF.GEDFGDBEGD.【变式】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上一点，且EAF45，AE，AF分别交对角线BD于点M，N.求证：MN2BM2DN2.解：过点A作GAAN，使GANA，连接GB，GM.GABBAF90，DANBAF90，GABDAN.在GAB和NAD中，eq blc(avs4alco1(GANA，,GABDAN，,BADA，)GABNAD(SAS).ABGADN45，BGDN.GBM90.EAF45，GAN90，GAM45.在GAM和NAM中，eq blc(avs4alco1(GANA，,GAMNAM，,AMAM，)GAMNAM(SAS).GMMN.在RtGBM中，GM2GB2BM2，MN2BM2DN2.【归纳】(1)如图1，在正