2018高考立体几何复习题型归纳

1、-PAGE . z.2018高考复习立体几何最新题型总结文数题型一：空间几何体的构造、三视图、旋转体、斜二测法了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的构造特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的构造。能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。能用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会画*建筑物的视图与直观图。例1.将正三棱柱截去三个角如图1所示分别是三边的中点得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图或称左视图为 EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBEC

2、BED俯视图例2.由大小一样的正方体木块堆成的几何体的三视图如下图，则该几何体中正方体木块的个数是 正视图 左视图例3.一个正四面体的俯视图如下图，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，则该正四面体的切球的外表积为A6B54C12D48例4：如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的外表积为( )ABC D 主视图 左视图 俯视图例5：四棱锥的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图，则四棱锥的外表积为( ) A. B. C. D. 例6：三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥BAPQC的体积是_例7：如图，斜三

3、棱柱ABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA与底面相邻两边AB、AC都成450角，求此三棱柱的侧面积和体积例8：如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据单位：cm，可知几何体的体积是_22主视图22侧视图211俯视图真题：【2017年卷第6题】*三棱锥的三视图如下图，则该三棱锥的体积为A60 B30C20 D10【2017年卷第13题】由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如右图,则该几何体的体积为.【2017年卷第3题】*几何体的三视图如下图单位：cm，则该几何体的体积单位：是A. B. C. D. 【2017年新课标= 2 * ROMANII第6题】如图，网格纸上小正

4、方形的边长为1，粗实线画出的是*几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一局部后所得，则该几何体的体积为A.90B.63C.42 D.362016年高考一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如下图.则该几何体的体积为ABCD【答案】D3、2016年*高考将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如下图，则该几何体的侧左视图为 【答案】B4、2016年全国I卷高考如图，*几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.假设该几何体的体积是EQ F(28,3)，则它的外表积是A17 B18 C20 D28 【答案】A6、2016年全国II卷高考如

5、图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的外表积为 A20B24C28D32【答案】C7、2016年全国III卷高考如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是*多面体的三视图，则该多面体的外表积为ABC90D81【答案】B1、2016年高考*四棱柱的三视图如下图，则该四棱柱的体积为_.【答案】2、2016年高考*三菱锥的三视图如下图，则该三菱锥的体积。【答案】3、2016年高考*几何体的三视图如下图单位：cm，则该几何体的外表积是_cm2,体积是_cm3.斜二测法：例9：一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 A

6、B C D例10：对于一个底边在轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的 倍 B倍 C倍 D倍例11：如图，四边形ABCD的直观图是直角梯形A1B1C1D1，且A1B1B1C12A1D12，则四边形ABCD的面积为( )A3 B3eq r(2) C6eq r(2) D6例12：用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如以下图的一个正方形，则原来图形的形状是旋转体：例13：以下几何体是旋转体的是 A B C D例14：如图，在四边形中，求四边形绕AD旋转一周所成几何体的外表积及体积.真题：【2015高考，文9】等腰直角三角形的直角边的长为,将该三角形绕其斜边所在的直线

7、旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A QUOTE B QUOTE 题型二：定义考察类题型 例15：直线、,平面，则以下命题中假命题是( )A假设，,则 B假设，,则C假设，,则 D假设，,则例16：给定以下四个命题：假设一条直线与一个平面平行，则过这条直线的平面与这个面相较，则这线平行于交线假设一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面的任一直线假设两个平面平行，则分别在这两个平面的两条直线平行假设两个平面垂直，则分别在这两个平面的两直线垂直其中，为真命题的是( ) A eq oac(,1)和 eq oac(,2) B eq oac(,2)和 eq oac(,3) C eq

8、 oac(,3)和 eq oac(,4) D eq oac(,2)和 eq oac(,4)例17：是两条不同直线，是三个不同平面，以下命题中正确的选项是 A假设，m,则mBC D例18：是两条不同的直线，是两个不同的平面，有以下命题：假设，则； 假设，则；假设，则； 假设，则； 其中真命题的个数是 A1个 B2个 C3个 D4个例19：如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则以下结论中不正确的选项是 A、ACSB B、AB平面SCDC、SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D、AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角例20：为不同的平面，A、B、M、N为不同的点

9、，为直线，以下推理错误的选项是A. B.C. D.且A、B、M不共线重合 真题：【2016年高考】互相垂直的平面交于直线l.假设直线m，n满足m，n，则A.mlB.mnC.nlD.mn【答案】C【2015高考，文4】设，是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，A假设，则B假设，则C假设，则D假设，则【2015高考，文6】假设直线和是异面直线，在平面，在平面，是平面与平面的交线，则以下命题正确的选项是 A至少与，中的一条相交 B与，都相交C至多与，中的一条相交 D与，都不相交【2015高考，文5】表示空间中的两条直线，假设p：是异面直线；q：不相交，则 Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件 B

10、p是q的必要条件，但不是q的充分条件Cp是q的充分必要条件 Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件题型三：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质证明平行的方法：线线平行：相似，全等；平行线判断定理错角相等，同旁角互补等，高中阶段一般不考，只作为转化的一个桥梁。线面平行：1根据定理证明；2通过面面平行的性质定理FABCPDE面面平行：1平面中分别有两条相交线与平面的两条相交线平行 2平面的法向量与平面的法向量平行例21：如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面，且，假设、分别为、的中点.1求证：平面；2求证：平面 平面.例22：如下图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C

11、1C，B1C1的中点，求证：MN平面A1BD.BCAA1B1C1DE例23：如图，直棱柱中，D，E分别是AB，的中点，=AC=CB=AB。证明：/求A到面ACD的距离例24：如下图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ABC=, OA底面ABCD,OA=2,M为OA的中点，N为BC的中点证明：直线MN平面OCD；求异面直线AB与MD所成角的大小； 求点B到平面OCD的距离。例25：如图，矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，求证：平面例26：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP平面A1BD

12、.例27：四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求证：平面MNQ平面PBC. NMPDCQBA题型四：线与面、面与面的垂直的证明方法三垂线定理：如果在平面的一条直线与平面的一条斜线在这个平面的射影垂直，则它也和这条直线垂直。三垂线逆定理：如果：如果在平面的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和这条直线在这个平面的射影垂直。例28：直三棱柱ABC-A1B1C1中，E是A1C的中点，且交AC于D， DEA1CBAC1B1I证明：平面；II证明：平面例29：如下图，四棱锥的底面是菱形；平面,，点为的中点求证

13、：平面；求证面例30：如图，在棱长为的正方体中，分别FGEDCABA1B1D1C1是的中点。1求证：平面平面；2求证：平面例31：如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，,点是棱的中点.ABCC1B1A1D求证：平面；求证：平面；例32：如下图，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM平面PAD；(2)在侧面PAD找一点N，使MN平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。例33：在如下图的几何体中，四边形是正方形，,分别为、的中点，且 求证：平面; 求三棱锥例34：如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC

14、=BC，点D是AB的中点。1求证：2求证：平面平面例35：如下图，矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把ABD折起，使A移到点，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上求证：；求证：平面平面；求三棱锥的体积 真题：【2016年高考】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则以下直线中与直线EF相交的是 (A)直线AA1 (B)直线A1B1 (C)直线A1D1 (D)直线B1C1【2017年新课标= 1 * ROMANI卷第6题】如图，在以下四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ

15、不平行的是 【2017年新课标= 3 * ROMANIII卷第10题】在正方体中，E为棱CD的中点，则ABCD【2015高考，文18】 如图，三棱台中，分别为的中点.I求证：平面；II假设求证：平面平面.题型五：空间中的夹角知识点：夹角的分类：线线夹角、线面夹角、面面夹角三者在计算或证明时的转换关系：面面 线面 线线计算三种夹角的方法：勾股定理、向量、坐标等，对于夹角问题我们一般分为三个步骤：找角，证明所找的角，计算所找角的大小切记不可找出来之后不证明就开场计算异面直线的夹角问题：例36：在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，与底面成301假设为垂足，求证：；2在1的条件下，求异面直

16、线AE与CD所成角的正切值；例37：如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点1求证：MN/平面PAD；2假设，求异面直线PA与MN所成的角的大小例38：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且MD=NB=1，E为BC的中点，求异面直线NE与AM所成角的余弦值例39：如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是_。例40：正四面体中，各边长均为，如下图，分别为的中点，连接，求异面直线所成角的余弦值。例41：S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SASBSC，且ASBBSCCSA，M、N分别是AB和SC的中点求异面直线SM与BN所成的角的余弦

17、值BMANCS例42：三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 A B C (D) 例43：如图,在正方体中，分别是的中点。1假设为的中点，证明：平面平面2求异面直线与所成的角例44：如图，四面体ABCD中，ABBC，ABBD，BCCD，且ABBC6，BD8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值。线面夹角了解：例45：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC=2，PA=AD=2，E是PC上的一点， 设二面角A-PB-C为90，求PD与平面PBC所成角的大小。 例46：如图，直三棱柱中，,D、E分别是，的中点,平面.1

18、证明：AB=AC2设二面角A-BD-C为，求与平面BCD所成的角的大小真题：【2016年全国I卷高考】如平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，,，则m，n所成角的正弦值为ABCD【2015高考，文18】如图，在三棱锥中，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.1证明：； 2求直线和平面所成的角的正弦值.【2014高考，文18】如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，。证明：平面；设二面角为，求与平面所成角的大小。【2015高考，文18】本小题总分值12分如图4，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点。I证明：平面平面；II假设直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积。题

19、型六：距离问题：点线距离定义法、等体积法、向量法、空间坐标法；线面距离；面面距离。例47：正四棱柱的地面边长为1，则棱场为2，点E为的中点，求点到平面BDE的距离。例48：正四棱柱中 ，为的中点，则直线与平面的距离为 A. B. C. D.例49：在中,AB=15，假设所在平面外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到的距离是 A.13 B.11 C.9 D.7例50：如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点证明：直线；求异面直线AB与MD所成角的大小； 求点B到平面OCD的距离。例51：为平面，AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A，B，AA3，BB2.假设二面角

20、的大小为，求，点B到平面的距离为_例52：P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是，则P到A点的距离是 A.1 B.2 C. D.4例53：如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点证明：直线；求异面直线AB与MD所成角的大小；求点B到平面OCD的距离例54：如图,直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AB/CD,ADAB,AB=2,AD= QUOTE ,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3(1)证明:BE平面BB1C1C;(2)求点B1 到平面EA1C1 的距离例55：如图，多面体ABCDEFG中，AB、AC、AD

21、两两互相垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1。1试判断CF是否与平面ABED平行？并说明理由；2求多面体ABCDEFG的体积。例56：如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，I求证：平面BCD；II求点E到平面ACD的距离。例57：如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。求证：PCBC；求点A到平面PBC的距离。题型七：求体积问题例58：如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形。证明直线；求棱锥的体积.例59：如图，

22、三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC= eq f(1,2)AA1，D是棱AA1的中点()证明：平面BDC1平面BDC平面BDC1分此棱柱为两局部，求这两局部体积的比.CBADC1A1真题：【2017年新课标= 1 * ROMANI卷第18题】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且1证明：平面PAB平面PAD；2假设PA=PD=AB=DC,且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积.【2017年新课标= 2 * ROMANII第18题】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD,BAD=ABC=90。证明：直

23、线BC平面PAD;假设PAD面积为2，求四棱锥P-ABCD的体积。【2017年新课标= 3 * ROMANIII卷第19题】如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD1证明：ACBD；2ACD是直角三角形，AB=BD假设E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比【2016年全国I卷高考】如图，正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC的正投影为点D，D在平面PAB的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.I证明：G是AB的中点；II在图中作出点E在平面PAC的正投影F说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积【2016年全

24、国II卷高考】如图，菱形的对角线与交于点，点、分别在，上，交于点，将沿折到的位置.证明：；假设,求五棱锥体积.【2016年全国III卷高考】如图，四棱锥中，平面，为线段上一点，为的中点I证明平面；II求四面体的体积.【2015高考新课标1，文18】本小题总分值12分如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点， = 1 * ROMAN I证明：平面平面； = 2 * ROMAN II假设，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.【2015高考，文18】本小题总分值14分如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为，的中点I求证：平面；II求证：平面平面；III求三棱锥的体积【2015高考，

25、文20】如题20图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF/BC.()证明：AB平面PFE.()假设四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.题型八：翻折与展开问题及探索问题例60：如下图，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积PEDFBCA1求的表达式；2当为何值时，取得最大值？3当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值例61：在直角梯形中图中数字表示线段的长度，将直角梯形沿折起，使平面平面，连结局部线段后围成一个空间几何体，

26、求证：平面；求三棱锥的体积例62：正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连接AE、EF、AF.以AE、EF、FA为折痕，折叠这个正方形，使点B、C、D重合于一点P，得到一个四面体，如图(2)所示(1)求证：APEF；(2)求证：平面APE平面APF.例63：如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.(1) 证明:/平面;(2) 证明:平面;(3) 当时,求三棱锥的体积.例68：如图甲，在直角梯形中，是的中点. 现 沿把平面折起，使得如图乙所示，、分别为、边的中点.1求证：平面；图甲图乙2求证：平面平面；3试

27、探究在上是否存在一点，使得平面,并说明理由. 真题：【2015高考，文18】如图1，在直角梯形中，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.(= 1 * ROMANI)证明：平面；(= 2 * ROMANII)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.【2014高考，文19】如下图：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED/AF且DAF=90。求BD和面BEF所成的角的余弦；2线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，假设存在，求EP与PF的比值；假设不存在，说明理由。【2015高考，文19】如图，三棱锥P-ABC中，P

28、A平面ABC，.求三棱锥P-ABC的体积；证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值.【2015高考，文20】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且假设为线段的中点，求证平面；求三棱锥体积的最大值；假设，点在线段上，求的最小值题型九：球类问题专项练习一：外接球的有关问题棱锥的切、外接球问题例69：正四面体的外接球和切球的半径是多少？例70：设棱锥的底面是正方形，且，如果的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.例71：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的外表积为_例72：各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为

29、16，则这个球的外表积为 A. B. C. D. 例73：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为_例74：正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为_.例75：外表积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A B C D二：球类的截面问题例76：球面上有三点、组成这个球的一个截面的接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的外表积例77：过球外表上一点引三条长度相等的弦、，且两两夹角都为，假设球半径为，求弦的长度例78：球的面上四点A、B、

30、C、D，则球的体积等于_.例79：点A、B、C、D在同一个球面上，假设，则球的体积是_.例80：球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长为，求这个球的半径例81：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 A B C D例82：直三棱柱的各顶点都在同一球面上，假设,，则此球的外表积等于例83：正三棱柱接于半径为的球，假设两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为例84：用两个平行平面去截半径为的球面，两个截面圆的半径为，两截面间的距离为，求球的外表积三：球面距离例85： 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是A有且只有一个 B一个或无穷多个 C无数个 D以上均不正确例86：、是半径为的球的球面上两点，它们的球面距离为，求过、的平面中，与球心的最大距离是多少？例87：在球心同侧有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和求球的外表积例88：如图球O的半径为2，圆是一小圆，A、B是圆上两点，假设A，B两点间的球面距离为，则=例89：在半径为3