湘教版 选修第一册 第3章 全章综合检测【含答案】

1、湘教版 选修第一册 第3章 全章综合检测题号一二三四五总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单选题1已知，则“”是“方程表示双曲线”的（）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件2已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，则（）A1B2C4D53已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（）ABCD4设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是ABCD5若用周长为24的矩形截某圆锥，所得截线是椭圆，且与矩形的四边相切设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，若的离心率为，则椭圆的方程为（）ABCD6

2、已知F是抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，且，则（）ABCD7如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（）ABCD8已知抛物线Ey22px(p0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MNy轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7，则E的方程为()Ay2xBy22xCy24xDy28x评卷人得分二、多选题9（多选）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆的方程是（）ABCD10（多选）设动点B，C在抛物线上，点，直线AB，AC的倾斜角互补，BC中点的纵坐标为，则可能为（

3、）A3B4C5D611已知，是椭圆C：的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，则（）A椭圆C的离心率为B不存在点A使得C若，则D面积的最大值为1212泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则（）A点P的轨迹是一条线段B点P的轨迹与直线：是没有交汇的轨迹（即两个轨迹没有交点）C不是“最远距离直线”D是“最远距离直线”评卷人得分三、填空题13已

4、知，则曲线为椭圆的概率是_.14已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得，写出C的一个标准方程：_.15双曲线的焦点在圆上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、四象限分别交于P，Q两点满足（其中O是坐标原点），则的面积是_评卷人得分四、双空题16已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线l与椭圆交于A，B两点（A点在第一象限），则的周长为_；当，直线l的斜率为_评卷人得分五、解答题17已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线 与椭圆交于不同的两点M，N(1)求椭圆的标准方程；(2)当的面积为时，求的值18已知抛物线E：的焦点为F，直线与E

5、相交所得线段的长为(1)求E的方程；(2)若不过点F的直线l与E相交于A，B两点，请从AB中点的纵坐标为3，的重心在直线上，这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19已知圆G:x2+y2-x-y=0,经过椭圆的右焦点F及上顶点B,过圆外一点(m,0)(ma)且倾斜角为的直线l交椭圆于C,D两点.（1）求椭圆的方程;（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求m的取值范围.20双曲线C：（a0，b0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BFAF时，|AF|BF|.(1)求C的离心率；

6、(2)若B在第一象限，证明：BFA2BAF.21已知抛物线上三点，构成直角三角形，.(1)若点在第四象限，且、中点的纵坐标为，求；(2)若，求直线的方程.22设点是椭圆上的点，离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）设，是椭圆上的两点，且（是定值），则线段的垂直平分线是否过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由答案：1B求出表示双曲线对应的的范围，根据集合包含关系即可求出.【详解】若表示双曲线，则，即或，或，“”是“表示双曲线”的充分不必要条件.故选：B.2B【分析】先求出抛物线的准线方程，进而将点到焦点的距离转化为到准线的距离即可求得答案.【详解】由抛物线C：可得，则准线方程为，于是，

7、解得故选：B3D【分析】求出双曲线方程中的即得解.【详解】解：抛物线的焦点是（2，0），所以双曲线的渐近线方程为.故选：D4D【详解】当焦点在x轴时，当焦点在y轴时，所以实数的取值范围是.故选：D.5A【分析】由已知得和，再根据可求得a，b，c，由此求得椭圆的方程.【详解】解：由已知得，即，由及，得，联立，解得，所以椭圆的方程为，故选：A6A【分析】设出交点坐标，将直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理写出，根据抛物线的定义可知，结合已知条件，即可得出正确选项.【详解】设，由，得，则又，即故选：A7D【分析】设，利用椭圆的定义及四边形为矩形，列出方程组求得的值，结合双曲线的定义和离心率的计算公

8、式，即可求解.【详解】设，由点为椭圆上的点，可得且，即，又由四边形为矩形，所以，即，联立方程组，解得，设双曲线的实轴长为，焦距为，则，即，所以双曲线的离心率为.故选：D.8C【分析】联立方程组求出各点的坐标，根据四边形CMNF的面积等于，求得的值，即可得到抛物线的方程，得到答案【详解】由题意知F，则直线AB的方程为yx.如图，四边形CMNF为梯形，且MNFC，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y22pyp20，所以y1y22p，所以x1x2y1y2p3p，所以xM，yMp，因为MCAB，所以kMC1，所以直线MC的方程为yp，即yx，所以xC，所以四边形CMNF的面积为(xM|FC|)

9、yMp7，得p2，所以抛物线E的方程为y24x，故选：C.本题主要考查了抛物线的标准方程及性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中联立方程组，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题9AD【分析】依次检验各选项中的椭圆的离心率是否为，并判断点是否在其上，由此确定正确选项.【详解】椭圆过点，且，离心率为，A正确，椭圆不过点，B错误，椭圆不过点，C错误，椭圆过点，且，离心率为，D正确，故选：AD.10ABD【分析】由题意设直线的方程为，将直线方程和抛物线方程联立消元后得到，借助根与系数的关系可得点的纵坐标，同理可得点的纵坐标，于是得到再根据判别式得到的取

10、值范围，进而可得的取值范围【详解】设，直线的方程为，由消去y整理得，直线和抛物线交于两点，解得且又点，故，以代替上式中的，可得，由且可得且故选：ABD关键点睛：解答本题的关键是求出两点的坐标，进而得到的表达式求解时借助代数运算求解，由于解题过程中要涉及到大量的运算，所以在解题中要注意合理运用代换的方法以达到简化运算的目的，考查转化和计算能力11CD【分析】根据椭圆方程判断出焦点位置，并求出，然后求出离心率判断A；设点，进而根据平面向量数量积为0解出参数判断B；结合椭圆的定义可以判断C；由椭圆的对称性可以判断当点A为左顶点或右顶点时三角形面积最大，进而求出面积判断D.【详解】由C的方程，得，焦点

11、在y轴上，设，对于A，离心率，故A错误；对于B，设，则，若，则，即，解得，故存在点A使得，故B错误；对于C，在中，若，则，故C正确；对于D，当点A为左顶点或右顶点时，的面积取得最大值，为，故D正确故选：CD.12BCD【分析】根据题意可以判断点P的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，然后求出其方程判断AB，进而根据直线与曲线的位置关系判断CD.【详解】由点P到点M的距离比到直线l的距离小1，可得点P到点M的距离等于到直线：的距离，故点P的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，其方程是，故A错误由上述可知点P的轨迹与直线没有交点，即两者是没有交汇的轨迹，故B正确易知“最远距离直线”与抛物线有交

12、点，把代入抛物线方程，消去y并整理得因为，方程无解，所以不是“最远距离直线”，故C正确把代入抛物线方程，消去y并整理得因为，方程有解，所以是“最远距离直线”，故D正确故选：BCD13【分析】根据椭圆的标准方程的形式，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意知，可得共有8种不同情况，其中满足“曲线为椭圆”的有，共3种情况，由古典概型的概率公式可得，所求概率.故答案为.14（答案不唯一）【分析】根据题意和椭圆的定义，求得，进而求得，又由，求得，即可写出一个椭圆的方程.【详解】因为，所以，则，又因为，所以，即.根据题意可设C的方程为，因为椭圆的短轴长为4，则可得，又由，可得，解得，所以其

13、中椭圆的一个标准方程.故（答案不唯一）.15【分析】根据双曲线的焦点在圆上可求出的值，设线段与轴的交点坐标为，进而根据求出的坐标，代入圆中，求出的值，即可求出结果.【详解】因为双曲线的焦点在圆上，所以，设线段与轴的交点坐标为，结合双曲线与圆的对称性可知为线段的中点，又因为，即，且，则，又因为直线的方程为，所以，又因为在圆上，所以，又因为，则，所以，从而，故,故答案为.16 【分析】由椭圆的定义知的周长为，即可求解；由题可设直线方程为，与椭圆联立得，利用韦达定理结合已知条件可求得A，B两点的横坐标，进而求得，又A点在第一象限，知，即可得解.【详解】由椭圆，得，由椭圆的定义知，又，的周长由题知直线

14、的斜率存在，设直线方程为，设联立，整理得其中，由，得，即由解得：，代入解得，此时，又A点在第一象限，故，17(1)(2)【分析】（1）由椭圆的一个顶点为，得到，再由椭圆的离心率为，求得，进而求得椭圆的标准方程；（2）由椭圆的对称性得到，联立方程组求得，根据的面积为，列出方程，即可求解.（1）解：由题意，椭圆的一个顶点为，可得，又由椭圆的离心率为，可得，所以，则，所以椭圆的标准方程为.（2）解：设，且 根据椭圆的对称性得，联立方程组，整理得，解得，因为的面积为，可得，解得.18(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）利用已知可得过点，代入抛物线方程即可求出的值，进而可以求解；（2）先分析出直线的

15、斜率一定存在，设出直线的方程以及，两点的坐标，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理求出点，的纵坐标的和，然后分别选择，根据条件求出对应的解即可（1）解：因为直线与抛物线相交所得线段的长为，所以抛物线过点（由抛物线的对称性得到），则，即，所以的方程为（2）解：当直线l的斜率不存在时，l与E相交于A，B两点，AB中点的纵坐标为0，选或或均不符合题意，故直线的斜率存在设，由（1）知由，得，所以方案一选择条件因为AB中点的纵坐标为3，所以，则，因为，所以，则，所以综上，直线的方程为方案二选择条件因为的重心在直线上，所以，则，即因为，所以，则，即，所以综上，直线的方程为方案三选择条件因为AB中点的纵坐标

16、为3，所以，则因为的重心在直线上，所以，则，即两个条件，都只能得出斜率，无法计算出b的值，因此不能得到直线的方程19（1）. （2）（1）利用圆经过点求出，得到，求出写出椭圆的方程（2）设直线的方程为联立方程组消去，设，利用韦达定理，结合数量积小于0，求解的范围【详解】（1）圆G:x2+y2-x-y=0经过点F,B,所以 c=1,b=,a2=4,故椭圆的方程为（2）易得直线的方程为y=-(x-m)(m2).由消去y,得7x2-8mx+(4m2-12)=0.设C(x1,y1),D(x2,y2),则,y1y2=-(x1-m)-(x2-m)=x1x2-m(x1+x2)+m2.=(x1-1,y1),=

17、(x2-1,y2),=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=2x1x2-(m+1)(x1+x2)+1+m2=.点F在圆E的内部, ,即,解得.由 =64m2-28(4m2-12)0,解得-.又,.本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力属于中档题.20(1)2；(2)证明见解析.【分析】（1）运用代入法，结合双曲线的离心率公式进行求解即可；（2）根据直线斜率公式，结合二倍角的正切公式进行证明即可.（1）设双曲线的离心率为e，焦距为2c，在中令xc，则，解得，若|AF|BF|，则，所以a2acb2c2a2，所以e2e

18、20，解得e2或（舍去），所以e2；（2）因为e2，所以，所以，设B（x，y）（x0，y0），kAB，kBF，设BAF，则tan ，tan2kBFtanBFA，所以BFA2BAF.关键点睛：利用二倍角的正切公式是解题的关键.21(1)；(2).【分析】（1）由题设可得，利用中点公式及在抛物线上求的坐标，令，根据向量垂直有，应用坐标表示列方程求的坐标，最后用两点距离公式求.（2）由题设令且， 则，联立抛物线方程分别求、的坐标，根据求参数k，即可写出直线的方程.（1）由在抛物线上知：，可得，则，设，则，可得，由在抛物线上有，又，构成直角三角形且，令，且，整理得，又、为不同点，故，即，故，即，.（2）由题设，令且， 则，设，