利用定积分证明数列和型不等式

1、12利用定积分证明数列和型不等式我们把形如（亡为常数）或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果下面举例说明供参考.一、9为常数）型11125+.+例1（2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题）已知正整数，求证农十1左十2加36.分析这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式111251+.+c卞十1起十22鬼玄4总十1,这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过

2、程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解_1_1证明构造函数并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函数图象可知，在区间虬2列上的怎个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，11+即h+1n+22用因为O世用+2n-l2n兀2m1必:=lnx2520.6931,0,69443611125+.+所以旳十1科十22旳361+例2求证证明=In2卑-ln=In21-3戸二飞二忙构造函数兀而函数尸在血）上是凹函数，由图象知，在区諾2间上的芒-2个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积,O12n-1nxpr+p：|dx=jT涿=-可=-可即扌年H22屮282/d1119115151+T+y+T-（y

3、）=y：所以1十亠十亠十十一例3证明/（忑）=r-i-i证明构造函数，因，又其函数是凹函数，由图3可知，在区间上个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，111+C-即沁二一2丄一1）二23j233丸&2Z孑的vg仞).t-1例4若处职止，求证：？31+2+丄小汀1+1+1+123证明不等式链的左边是通项为尬的数列的前芒一1项之和，右边通项为沟一1的数列的前左一1项之和，中间的由吃ln-ln（?2-1）可当作是某数列的前芒一1项之和故只要证当吃工时这三个数列的通项不等式成立即可.y=-(nx)f=-y=1构造函数，因为的图象，由图4知，在区间胃-1严仪巴2）上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长

4、，以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间，即耳1rndx1-c，而7i二丸=ln?s-lii(-1)x=-1cIn-In-1)0）例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数的图象在点处的切线方程为尹二工T.（I）用血表示出眈；(II)若/王山忑在1，+)内恒成立，求出的取值范围;.111.n.1斗二1-|-lii-|-11亠I唸仝1I(III)证明：本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.证明(III)不等式1十一十一十十一+1)+232(+1)血工1)_,左边是通项为世的数列的前川项之和，我们也可把右边当作是通项为1拧拧一J兔=品一_=血(疋41)+1垃占一1110+1)+-一-一艸2池2崔+1),时,此式适合，故只要证当心时，即冲时,的数列的前用项之和盘，则当旳三2时.十ln(+1)-In也就是要证1y-由此构造函数，并作其图象如图5所示.由图知，