2022年2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学

1、2022 年一般高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学 二 第一卷 一、挑选题：本大题共 12 个小题 , 每道题 5 分,在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要 求的 . 1. 已知集合B. C. ,D. , 就（）A. 【答案】 D 【解析】【分析】先解指数不等式得到集合,然后再求出即可,【详解】由题意得应选 D【点睛】此题考查指数函数单调性的应用以及集合交集的求法,解题的关键是正确求出集合,属于简洁题2. 设 为虚数单位 , 复数 满意,就共轭复数 的虚部为（）A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】【分析】依据条件求出复数,然后再求出共轭复数,从而可得其虚部【详解】 ,

2、复数 的虚部为应选 C【点睛】 此题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念,其中正确求出复数是解题的关键, 对于复数的运算,解题时肯定要依据相关的运算法就求解,特殊是在乘除运算中肯定不要忘了3. 同学李明上学要经过 个路口 , 前三个路口遇到红灯的概率均为 , 第四个路口遇到红灯的概率为 , 设在各个路口是否遇到红灯互不影响 , 就李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为（）A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】【分析】分两种情形求解： 前三个路口恰有一次红灯,第四个路口为绿灯；前三个路口都是绿灯,第四个路口为红灯分别求出概率后再依据互斥大事的概率求解即可【详解】分两种情形求解：前三个路

3、口恰有一次红灯,且第四个路口为绿灯的概率为；前三个路口都是绿灯,第四个路口为红灯的概率为由互斥大事的概率加法公式可得所求概率为应选 A【点睛】求解概率问题时,第一要分清所求概率的类型,然后再依据每种类型的概率公式求解对于一些比较复杂的大事的概率,可依据条件将其分解为简洁大事的概率求解,再结合互斥大事的概率加法公式求解即可4. 已知双曲线方程为,为双曲线的左、右焦点,为渐近线上一点且在第一象限, 且满意, 如, 就双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】【分析】由可得为直角三角形,又得；由于,所以,故得为正三角形,所以得到直线的倾斜角为,即,由此可得离心率【详解】设为坐

4、标原点,为直角三角形,又的中点,为正三角形,直线的倾斜角为离心率应选 B【点睛】求双曲线的离心率时,将供应的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 的方程或不等式,利用和 转化为关于 e 的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范畴5. 已知 为锐角 , , 就 的值为（）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】由题意可求得,进而可得,然后再依据两角和的正弦公式求解即可【详解】 又 为锐角,应选 D【点睛】对于给值求值的三角变换问题,在解题时要留意依据条件及所求敏捷应用公式,将所给的条件进行变形,逐步达到求解的目的,同时在解题过程中仍要留意三角函数值符号的处理,防止显

5、现错误6. 执行如下列图的程序框图, 就输出的的值为（）A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】【分析】逐次运行框图中的程序可得所求的结果【详解】逐步运行程序框图中的程序,可得：第一次：,不满意条件,连续运行；其次次：,不满意条件,连续运行；第三次：,不满意条件,连续运行；第四次：,不满意条件,连续运行；第五次：,不满意条件,连续运行；第六次：,不满意条件,连续运行；第七次：,不满意条件,连续运行；所以输出的 的值周期显现,且周期为 6,因此当 时,应选 B【点睛】解答程序框图输出结果的问题时要留意两点：一是要搞清程序框图能实现的功能；二是要搞清程序框图的结构,如是条件结构,就要分清条件

6、及程序的流向；如是循环结构,就要分清循环体以及终止条件然后依次运行程序框图中的程序,逐步得到输出的结果7. B. C. D. ,就的值为（）A. 【答案】 C 【解析】【分析】运用赋值法求解,令和令,得即可,【详解】在绽开式中,令令,得,应选 C【点睛】由于二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时依据题意,给字母赋值,是求解二项绽开式各项系数和的一种重要方法8. 某几何体三视图如下列图, 就该几何体的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】【分析】由三视图得到几何体,然后依据几何体的特点求出其表面积即可【详解】由三视图可得几何体如下,可得该几何体是正方体被切去了个球故几

7、何体的表面积为应选 C【点睛】以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中发觉几何体中各元素间的位置关系及数量关系,然后再依据所求进行解题即可9. 已知B. , 就不行能满意的关系是（）A. D. C. 【答案】 D 【解析】【分析】由 可得,从而可得,故,然后对给出的四个选项分别进行判定即可得到结论【详解】 ,整理得对于 A,由于,解得,所以 A 成立对于 B,由于,解得,所以 B 成立对于 C,所以 C 成立对于 D,由于,所以,因此 D 不成立应选 D【点睛】此题考查对数、指数的转化及基本不定式的变形及其应用,解题时留意不等式10. 如函数D. 的

8、应用,同时也要留意不等式所需的条件,即“ 一正、二定、三相等”在区间内没有最值 , 就的取值范畴是（）A. B. C. 【答案】 B 【解析】【分析】依据题意可得函数 在区间 内单调,故可先求出函数的单调区间,再依据区间 为单调区间的子集得到关于 的不等式组,解不等式组可得所求【详解】函数 的单调区间为,由,得函数 在区间 内没有最值,函数 在区间 内单调,解得由,得当时,得；,又,故当时,得综上得的取值范畴是应选 B【点睛】解答此题的关键有两个：一是对“函数 在区间 内没有最值” 的懂得,由此可得函数在该区间内单调；二是求出函数 的单调区间后将问题转化为两个集合间的包含关系处理,并将问题再转

9、化为不等式组求解,根据集合的包含关系得到不等式组时要留意不等号中要含有等号11. 过抛物线B. 上两点分别作抛物线的切线, 如两切线垂直且交于点, 就直线的方程为（）C. D. A. 【答案】 B 【解析】【分析】设,依据导数的几何意义求得过 A ,B 两点的切线方程,然后解方程组得到交点坐标,并结合点的坐标求得再依据两切线垂直可得抛物线的方程为,设出直线 的方程, 联立消元后依据二次方程根与系数的关系可求得直线的斜率及截距,于是可得直线方程【详解】由,得,点,就设抛物线在点处的切线方程为,处的切线方程为由解得又两切线交于点,故得过 两点的切线垂直,故,故得抛物线的方程为由题意得直线 的斜率存

10、在,可设直线方程为,由 消去 y 整理得,由 和 可得 且,直线 的方程为应选 B【点睛】解决与抛物线有关的综合问题时,要留意学问间的敏捷利用,如在此题中求切线方程时可依据导数的学问求解；同时也要留意抛物线本身学问的敏捷应用,如利用定义可实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转 化12. 在正三棱锥 底面是正三角形, 顶点在底面的射影是底面三角形的中心的三棱锥中,与三条侧棱两两垂直, 正三菱锥的内切球与三个侧面切点分别为, 与底面切于点, 就三棱锥的体积之比为（）A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】【分析】设正三棱锥的棱长为,内切球半径为,内切球的球心为,由题意可得然后再依据几何

11、学问求得三棱锥的体积,进而可得所求【详解】如图,设正三棱锥的棱长为,内切球半径为,内切球的球心为,就有,又,解得把面单独拿出来分析,如图是的中心,于,就过 D 作,明显为等边三角形,应选 B【点睛】解答此题时留意：（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径,同时要作一圆面起衬托作用（2）解决立体几何问题时要留意平面几何学问的运用,对于问题中的运算问题在求解是要留意运算的合理性和准确性 第二卷 二、填空题 : 此题共 4 小题, 每道题 5 分. 13. 在中, 就与的夹角为 _【答案】【解析】【分析】设,将与分别用表示,通过求可求出两向量的夹角【

12、详解】设,就,与的夹角为【点睛】求向量夹角时,可先由坐标运算或定义运算出这两个向量的数量积,并求得两向量的模,然后依据公式求出两向量夹角的余弦值,最终依据向量夹角的范畴求出两向量的夹角, 点 和点分别为区域和内的14. 由不等式组, 组成的区域为, 作关于直线的对称区域任一点 , 就的最小值为 _【答案】【解析】【分析】作出不等式组表示的区域,求出区域内的点到直线的最小距离,由题意得的最小值为,由此可得所求【详解】画出不等式组表示的区域,如下图阴影部分所示由题意得三个交点的坐标分别为结合图形可得区域内的点到直线的距离最小,且最小值为二是将区域和由题意得的最小值为,并依据数形结合解题；因此所求的

13、最小值为【点睛】 解答此题的关键有两个：一是正确画出不等式组表示的平面区域,内的两点间的距离的最小值转化为点到直线的距离处理,表达了转化思想方法在解题中的运用15. 函数满意, 当时, 过点且斜率为的直线与在区间上的图象恰好有个交点 , 就 的取值范畴为 _【答案】【解析】【分析】由题意得函数为偶函数且图象的对称轴为,由此得到函数的周期为,由此可画出函数的图象,然后结合图象求解的取值范畴即可,【详解】 ,即,函数的周期为由时,就当时,故因此当时,图象如下图所示结合函数的周期性,画出函数又过点且斜率为的直线方程为结合图象可得：当时,与联立消去整理得,由,得或 舍去 ,此时直线与有两个交点,又此时

14、,故不行能有三个交点；当时,点与点连线的斜率为如同相切,将两式联立消去y 整理得由,得或 舍去 ,此时,所以当时有三个交点综上可得 的取值范畴为【点睛】已知函数有零点 方程有根 求参数值 取值范畴 常用的方法1 直接法：直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范畴；2 分别参数法：先将参数分别,转化成求函数的值域问题加以解决；3 数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解16. 在中,是边上的一点 , 就_【答案】【解析】【分析】在中由题意可得,且,故得过点作,交的延长线于点,依据平行线的性质可得就,然后在中,由正弦定理得【详解】在中,可得,过

15、点作,交的延长线于点,如下图,就,在中,由正弦定理得【点睛】此题考查正弦定理在几何中的应用,同时也考查三角变换的应用,解题时要留意平面几何学问的利用,并 由此寻求解三角形所需要的条件,然后再依据正弦（余弦）定理求解三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在数列中, 已知,. 1 如是等比数列 , 求 的值；2 求数列的通项公式 . 【答案】 1或 2 2【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为,可得,由题意知,于是得到关于的方程组, 解方程组可得所求（2）结合（1）中的结论, 可得,即为所求和,由以上两式消去可求得【详解】 1 设等比数列的公比为,就,整理得,又,解得或,

16、此时数列为等比数列, 2 由（ 1）得,当时, 当时,此时数列为等比数列,- 得,【点睛】此题考查定比数列的定义及其通项公式的求法,解题时要依据所给出的条件并结合等比数列的有关学问求解,求解过程中要结合方程（组）等学问的运用,需要仔细运算,敏捷处理已知条件,18. 如下列图 ,平面, 平面平面, 四边形为正方形, 点 在棱上 . ；1 如 为的中点为的中点 , 证明 : 平面平面2 设, 是否存在, 使得平面平面平面.如存在 , 求出 的值 ; 如不存在 , 说明理由 . 【答案】 1 见解析 2 不存在, 使得平面【解析】【分析】（1）由平面平面可得平面,从而有平面,结合条件可得四边形为平行

17、四边形,于是,可得平面又可依据条件得到,然后依据面面平行的判定定理可得结论（2）在中,由余弦定理得,于是,所以,又依据题意可得两两垂直,故可建立空间直角坐标系,依据空间向量的学问求解【详解】 1 平面平面,平面平面,平面. 又平面,又,四边形为平行四边形,又平面平面平面,又平面平面,平面平面又平面平面平面（2）在中,由余弦定理得,为直角三角形,且,由平面可得,两两垂直 . 以点为坐标原点,依次为轴正方向,建立空间直角坐标系,如下图所示,就设面的一个法向量为,就即令,解得设平面,得的一个法向量为,就即令如平面平面,. 就化简得,平面由于,故此方程无解,所以不存在实数,使得平面【点睛】立体几何中,

18、对于“ 是否存在” 型问题的解答方式有两种：一种是依据条件作出判定,再进一步论证；另一种是利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再依据条件求该点的坐标,即找到“ 存在点” ,如该点坐标不能求出,或有冲突,就判定“ 不存在” 19. 中国高校先修课程 , 是在高中开设的具有高校水平的课程 , 旨在让学有余力的高中生早接受高校思维方式、学习方法的训练 , 为高校学习乃至将来的职业生涯做好预备,某高中每年招收同学 1000 人 , 开设高校先修课程已有两年 ,共有 300 人参与学习先修课程,两年全校共有优等生 200 人, 学习先修课程的优等生有 50 人,这两年学习先修课程的同学都参与了考试 ,

19、 并且都参与了某高校的自主招生考试 满分 100 分 ,结果如下表所示 : 1 填写列联表 , 并画出列联表的等高条形图, 并通过图形判定学习先修课程与优等生是否有关系,依据列联表的独立性体验,能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为学习先修课程与优等生有关系 . （2）已知今年有 150 名同学报名学习高校先修课程 , 以前两年参与高校先修课程学习成果的频率作为今年参与高校先修课程学习成果的概率 . 在今年参与高校先修课程的同学中任取一人 , 求他获得某高校自主招生通过的概率 ; 某班有 4 名同学参与了高校先修课程的学习 , 设获得某高校自主招生通过的人数为 , 求 的分布列 ,

20、并求今年全校参与高校先修课程的同学获得高校自主招生通过的人数 . 参考数据 : 参考公式 :,期中,【答案】 1 在犯错误的概率不超过 的前提下认为学习先修课程与优等生有关系2 ,见解析【解析】【分析】（1）由题意可得列联表和等高条形图,并可作出判定,然后求出 后与临界值表对比可得结论（2）依据题中的统计数据可得所求概率为；设获得某高校自主招生通过的人数为,就,由此可得 的分布列 结合 可得通过的人数为 人【详解】 1 列联表如下：等高条形图如下图,通过图形可判定学习先修课程与优等生有关系 . 又由列联表可得,. 因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系2 由题意得所求概

21、率为设获得某高校自主招生通过的人数为,就, 的分布列为今年全校参与高校生先修课程的同学获得高校自主招生通过的人数为【点睛】 1独立性检验的一般步骤：依据样本数据制成22 列联表；依据公式运算的值；比较与临界值的大小关系作出统计推断2的值可以确定在多大程度上认为“ 两个分类变量有关系” ；的值越大, 认为“ 两个分类变量有关系” 的把握越大20. 已知椭圆的方程为, 其离心率, 且短轴的个端点与两焦点组成的三角形面积为, 求, 过椭圆上的点作 轴的垂线 , 垂足为, 点 满意, 设点的轨迹为曲线. 的最1 求曲线的方程 ; 两点 , 记的面积为,的面积为（2）如直线 与曲线相切 , 且交椭圆于大

22、值 . 【答案】 1 2【解析】【分析】（1）依据题意可得椭圆的方程为,设的方程为,的由,得,依据代入法可得曲线（2）由题知直线的斜率存在,设直线方程为, 由 与圆相切可得将与联立可得二次方程,然后由根与系数的关系及弦长公式可得,从而得到,求得后再依据基本不等式求解即可得到所求【详解】 1 依题意可得,. ,由,解得,椭圆方程为设由,得,代人椭圆方程得曲线的方程为2 由题知直线的斜率存在,设直线的方程为由 与圆相切可得,即. 由消 整理得又直线 与椭圆交于,两点,故得所以设就,. 就,. ,当且仅当,即时,等号成立所以的最大值为【点睛】求解解析几何中的范畴（最值）问题时,可先建立目标函数,再求

23、这个函数的最值,在利用代数法解题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范畴；利用已知参数的范畴,求新参数的范畴,解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；利用基本不等式求出参数的取值范畴；利用函数的值域的求法,确定参数的取值范畴21. 知函数, 2,与在交点处的切线相互垂直. 1 求的解析式；有两个零点 , 求 的取值范畴 . 2 已知, 如函数【答案】 1或【解析】分析：（1）分别求出 与 在交点 处切线的斜率,从而得到答案；（2）对 求导,分类争论即可 . 详解： 1 ,又,与 在交点 处的切线相互垂直, . 又 在 上, ,故 . 2 由题知. , 即时

24、, 令, 得; 上单调递增 , 故存在使,令, 得或,在区间上单调递增 , 在区间上单调递减 , 在区间. 又,在区间上有一个零点 , 在区间上有一个零点 , 在区间上有一个零点 , 共 个零点 , 不符合题意 , 舍去 . 时, 令 , 得,令 , 得 或,在区间 上单调递增 , 在区间 上单调递减 , 在区间 上单调递增,又 , , 有两个零点 , 符合题意 . , 即 时, 令 , 得 , 令 , 得 或,在区间 上单调递增 , 在区间 上单调递减 , 在区间 上单调递增,在区间 上存在一个零点 , 如要 有两个零点 , 必有 , 解得 . , 即 时 , 令 , 得,令 , 得 或,在区间 上单调递增 , 在区间 上单调递减 , 在区间 上单调递增, 在区间 上存在一个零点,又,在区间上不存在零点, 即只有一个零点 , 不符合题意 . 综上所述 , 或. 点睛：函数零点或函数图象交点问题的求解,一般利用导数争论函数的单调性、极值等性质,并借助函数图象,根据零点或图象的交点情形,建立含参数的方程 或不等式 组求解,实现形与数的和谐统一请考生在 22、23 两题中任选一题作答,假如多做,就按所做的第一题记分 . 22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中, 圆