《复合函数的导数》参考教案

1、课 题：复合函数的导数(1)教学目的：1.理解，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律.教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用.教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教 具：多媒体、实物投影仪.内容分析：复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点.要弄清每一步的求导是哪个变 量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生 对求导法则有一个直观的了解 .教学过程：一、复习引入：.常见函数的导数公式：C = 0; (xn) = nxn： (sin x)= cosx; (cosx)=-sin x.法则 1u(x) 士v(x)=

2、 u (x) 士v(x).法则 2u(x)v(x) = u(x)v(x) u(x)v(x), Cu(x) = Cu(x).法则 3 u =*uv (v = 0) . v v二、讲解新课：.复合函数：由几个函数复合而成的函数，叫复合函数.由函数 y=f(u)与 u =?(x)复合而成的函数一般形式是y = fp(x),其中u称为中间变量.求函数y =(3x-2)2的导数的两种方法与思路：2 ,2方法一：yx=(3x-2) =(9x -12x+4) =18x-12；方法二：将函数y =(3x-2)2看作是函数y = u2和函数u =3x-2复合函数，并分别求对应变量的导数如下：，2、yu =(u

3、) =2u , Ux =(3x-2) =3两个导数相乘，得y；uX=2u3= 2X3 J2)3x8,从而有yx = yu ux对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求yX时，就可以转化为求yu和uX 乘乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.复合函数的导数：设函数u=*(x)在点x处有导数uX=* x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu=fu),则复合函数y=f(平(x)在点x处也有导数，且yx = yu ux 或 Y (x)=fu)中 x).证明：(教师参考不需要给学生讲)设x有增量A务则对应的u, y分别有增量Ag Ay因为u=(|(x)在点x可导，所以u=

4、* (x)在点x处连续.因此当A户0时，Al0.当a。时，由巴=巴,也且1而勺;1而篁 x u x iJu u：x.y y u y u y u.lim = lim 二lim lim =lim -lim J0 二 x - J0 二 uLx - J0 二 uXi 二 x J。二 uJjBx x即yx = yu ux (当A尸0时，也成立).复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对 自变量的导数.复合函数求导的基本步骤是：分解一一求导一一相乘一一回代.三、讲解范例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？y =(2 -x2)3 ；(2) y =sin x2

5、； y=cos(x); y = ln sin(3x-1).4解：函数y =(2 x2)3由函数y =u3和u =2 x2复合而成；函数y = cos(函数y = sin x2由函数y = sin u和u = x2复合而成；-x)由函数y =cosu和u =- -x复合而成；4函数y = ln sin(3x -1)由函数y = In u、u = sin v和v = 3x 1复合而成.说明：讨论复合函数的构成时，内层“、外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等.例2写出由下列函数复合而成的函数：2y = cosu , u=i+x ; y = ln u ,

6、 u = In x .解： y = cos(1 + x2); y = ln(ln x).例3求y = (2x +1)5的导数.解：设 y = u5 , u =2x +1,贝1yx = yu ux=(u5)x(2x 1)= 5u4 2 =5(2x+1)3 2 =10(2x+1)4 . TOC o 1-5 h z 注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄 清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整 体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f(x)=sinx2的导数

7、. 27-122解：令 y=f(x)=sinu; u=x222yx = yu ux=(sinu) u (x )x =cus2x=cosx 2x=2xcosx f x)=2xcosx2例5求y=sin(2x+ 5)的导数.分析：设u=sin(2x+&)时，求ux,但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+.解：令 y=u2, u=sin(2x+ ),再令 u=sinv, 3JTv=2x+一3yx = yu ux=yu(uV vl)-yx=yUuVv x=(u2)U(sinv)V (2x+i) x=2u cosv 2=2sin(2x+ )cos(2x+-3-) 2=4sin(2x+ )cos(2x

8、+ )=2sin(4x+ -)一，2 二即 y x=2sin(4x+ -)例6求y = 3/ax2+bx + c的导数.解：令y= Vu, u=ax2+bx+c:yx = yu ux=(Vu )u (ax2+bx+c) x=1u323 (2ax+b)1/23 /=3 (ax +bx+c) (2ax+b)=2ax b33 (ax2bx c)2即y X=2ax b33. (ax2 bx c)2例7求y=匕的导数.解：令 y =5 u ,u =1一x-uMu)u(F)xi4u 55(1 -x) X (1 x)x一45 xX 一(1 - x) TOC o 1-5 h z -111x255 (1 -x)

9、4 x65x5 (x -x2)41即 y x= j5x5 (x - x2)4例8求y=sin2 -的导数. x解： 令 y=u2, u=sin, 再令 u=sinv, v= xx1:yx = yu ux vx=(u2)J (sinv)v () x0-111-112=2u cosv-2- =2sin x cosx = x2 sin x xx12 y x= - x2 sin x xx例9求函数y=(2x2-3)J1+x2的导数.分析：y可看成两个函数的乘积，2x2 3可求导，一 + x2是复合函数，可以先 算出。1 + x2对x的导数.解：令 y=uv, u=2x2-3, v=%1+x2 ,令 v

10、=x* ,=1+x2Vx =v., -x =( , ). 1 (1+x2)x TOC o 1-5 h z ,1-22xx=-2(2x);二2 1 x21 x2 y x=( uv) x=u xv+uv x二(2x2 3)x 71+x2 +(2x2 3)1 x2 2x3 -3x=4x 1 x：1 x26x3_x1 x2即y x=36x x,1 x2四、课堂练习：1.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y=(5x 3)4 (2)y=(2+3x)5(3)y=(2x2)3(4)y=(2x3+x)2解：(1)令 y=u4, u=5x3,4333. yx = yu ux=(u)u(5x 3)x=

11、4u 5=4(5x 3) 5=20(5x 3)(2)令 y=u5, u=2+3x:yx = yu ux=(u5) u (2+3x) x=5u4 3=5(2+3x)4 3=15(2+3x)4令 y=u3, u=2 x2yx = yu ux=(u3)u(2x2)；=3u2 (2x)=3(2 x2)2(2x)= 6x(2 x2)2(4)令 y=u2, u=2x3+x yx = yu ux=(u2) u (2x3+x) x=2u (2 3x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(nCN*)(1)y=sinnx (2)y=cosnx (3)y=tannx (4)y=cotnx解：(1)令 y=sinu, u=nxyx = yu ux=(sinu) u (nx) x=cosu n=ncosnx(2)令 y=cosu, u=nxyx= yu ux=(cosu) u (nx) x= sinu n= nsinnx(3)令 y=tanu, u=nxyx 二 yuux=(tanu) u (nx) x=(sinucosu)u ncosu cosu-sin u(-sinu)(cosu)21n=cos un2n =2=n sec nxcos nx(4)令 y=cotu, u=nx-sin u sinu -cosu cosu 1，、2 n