北京大学量子力学课件 第23讲

1、 第 二 十 三讲 .自旋 (1) 考虑自旋后，状态和力学量的描述 A.自旋波函数（电子的自旋态） 对于 的本征方程为在其自身表象1 而相应本征态的表示为2 是 的本征值为 的本征态在表象 中的表示 ； 是 的本征值为 的本征态在表象 中的表示 。 显然 正交 对于任何一旋量 在表象 中，其表示为 3而 和 可由 与 标积获得 4 B. 考虑自旋后状态的描述 由于电子除了 之外，还有第四个 动力学变量 ，它的特点仅取二个值，而 。 所以，可在表象 中表示体系波函数。 对处于某状态 的体系可按自旋波函数展开。 5 代表体系处于 而自旋向上的几率密度 代表体系处于 而自旋向下的几率密度 如同一般变

2、量可分离型一样，当 对 和 是变量可分离型的，则其特解为 6则 表象 中的表示为 若 是归一化的态矢量，则7 C考虑自旋后，力学量的表述 在 表象中， 直接由 在 表象中表示来获得表象 中的表示 8 对任一算符的平均值为9（2）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程 A.动能项 在非相对论极限下，电子的动能为 当计及电子的自旋后，波函数是两分量。并注意到10我们有 而置于电磁场中时，则 11 B. 自旋轨道耦合项 由Dirac方程可以证明，当电子在中心力场中运动，哈密顿量（在非相对论极限下）中将出现自旋轨道耦合项（Thomas项）（核提供的库仑屏敝场和自旋的作用导致） ， 12 C电子置于电

3、磁场中的哈密顿量 D.处于中心场中的电子，并置于电磁场中的薛定谔方程为 13 应该注意，在 表象中，这时 是两分量的，即 （1，2，3项是对角矩阵）14. 碱金属的双线结构 引进电子自旋后，我们就能够利用量子力学理论来解释原子光谱中的复杂结构及在外电磁场中的现象 （1）总角动量 A.总角动量引入：当考虑电子具有自旋后， 电子在中心力场中的Hamiltonian为 15 由于自旋轨道耦合项， 和 都不是运动 常数. 16因此，( )不能构成力学量完全集 但 即 引入 而 17由于有心势所以， 彼此对易18 因此 可作为力学量的完全集（如无 ，可选 ） B. 的共同本征矢的表示（在 表象中） 19

4、 1. 它是的本征函数 取 20 2它们是 的本征函数因此 3由 21 在( )表象中矩阵表示22即得 的本征值23 由此可见， 取确定值 ，而 不具有确定值，它们取值为24 事实上，上述就是 基矢以 基矢展开。 25即从 A 表象 B 表象 a,b 就是平常称的幺正变换系数 26 于是在中心势中，考虑了电子的自旋，则其特解 27 例：电四极矩 电四极矩算符 在原子物理和原子核物理中，测量的电四极矩给出的值的定义为（对于一个电荷均匀分布的带电体，其大小，符号，反映了体系的形状） 先看 28 由 29 而注意到 与自旋无关，而 是正交的 30 由此可见， 时， ，这是由于算符 是角动量为2 的算

5、符。 当它作用于 后，态将从当 ，则 将 ,31 所以, 与 正交。因此，这时在带电体外，显示“电荷”是球形分布。 （2）碱金属的双线结构 碱金属原子有一个价电子，它受到来自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场的作用。 所以，价电子的哈密顿量为 32 如选力学量完全集 （运动常数的完全集） 则 33 由于 34 可表为35 因 为吸引势（它为负值， ） 所以 即 。因此， 根据Hellmann-Feynman定理可证 36 能级 这即观测到纳光谱的双线结构。 7.4 两个自旋为 的粒子的自旋波函数，纠缠态 (1) 表象中,两各自旋为 的粒 子的自旋波函数 设：两粒子的自旋分别为 。显然，如 37选

6、 表象，则可能的态为 (2) 表象中两自旋为 的粒子的自旋波函数 如令38则 满足角动量的对易关系并有 可选 为力学量的完全集 由 39 令 是 的本征态 40 ，所以 于是有 41这时有 四个态 42显然而由因此 43当 直接得 44即即所以 是交换算符45因此 它们被称为纠缠态。 纠缠态：体系的态矢量仅能表示为它的各部分态矢量直乘的叠加态46 为自旋三重态 （对称的） 为自旋单态 （反对称的） 当两自旋为 的全同粒子，其相互作用对空间坐标和自旋变量是变量可分离时，则特解为47 但是，这并不是体系可处的状态。微观世界还有一重要规律，使体系波函数不能完全任意选择，这就是微观粒子的全同性问题。 (3) 表象中两自旋为 的粒子的自旋态-Bell基 若取 显然48 于是可选 的共同本征态作为两自旋为 粒子的自旋态49它们也都是纠缠态507.5 全同粒子交换不变性波函数具有确定的 交换对称性 各种微观粒子有一定属性，具有一定质量、电荷、自旋，人们根据它的属性的不同分别称为电子，质子，介子， ， 等等