离散型随机变量的期望值和方差

1、离散型随机变量的期望值和方差 1一、基本知识概要： 1、期望的定义： 一般地，若离散型随机变量的分布列为 Pn P3 P2 P1 P xn x3 x2 x1 则称E=X1P1+X2P2+X3P3+XnPn+为的数学期望或平均数、均值，简称期望。它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。 2若=a+b(a、b为常数)，则也是随机变量，且E=aE+b。 E(c)= c 特别地，若B(n，P)，则E=nP 32、方差、标准差定义： D=(X1-E)2P1+(X2-E)2P2+(Xn-E)2Pn+称为随机变量的方差。 D的算术平方根 =叫做随机变量的标准差。 4随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取

2、值的稳定与波动、集中与离散的程度。 且有D(a+b)=a2D,可以证明D=E2- (E)2。 若B(n，p)，则D=npq，其中q=1-p. 53、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。 6二、例题： 例1、（1）下面说法中正确的是 ( )A离散型随机变量的期望E反映了取值的概率的平均值。 B离散型随机变量的方差D反映了取值的平均水平。 C离散型随机变量的期望E反映了取值的平均水平。 D离散型随机变量的方差D反映了取值的概率的平均值。 C7例1、（2）（2001年高考题

3、）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是 。说明：近两年的高考试题与考试说明中的“了解，会”的要求一致，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。考生往往会因对题意理解错误，或对概念、公式、性质应用错误等，导致解题错误。1.2 8例2、设 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E 、D12 P101 剖析：应先按分布列的性质，求出 的值后，再计算出E 、D 。 说明：解答本题时，应防止机械地套用期望和方差的计算公式，出现以下误解：E 。9练习：已知的分布列为P 10-1 (1) 求E,D,，(2) 若=2+3,求E

4、,D10例3、人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保险费 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元，经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是 ，非意外死亡的概率为 ，则 需满足什么条件，保险公司才可能盈利？剖析：要使保险公司能盈利，需盈利数 的期望值大于0，故需求E 。11说明：（1）离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值（2）本题中D 有什么实际意义？12例4：把4个球随机地投入4个盒子中去，设 表示空盒子的个数，求E 、D剖析：每个球投入到每个盒子的可能性是相等的，总的投球方法数为 ，空盒子的个数可能为0个，此时投球方法数为 ；空盒

5、子的个数为1时，此时投球方法数为 ， 。13例5、已知两家工厂，一年四个季度上缴利税如下：（单位：万元）季度 一 二 三四 季平均值 甲厂7050804060乙厂5565556560试分析两厂上缴利税状况，并予以说明。 说明：本题考查利用离散型随机变量的方差与期望的知识，分析解决实际问题的能力。14例6、(1)设随机变量具有分布列为P(=k)= (k=1，2，3，4，5，6)，求E、E(2+3)和D。(2) 设随机变量的分布列为P(=k)= (k=1，2，3，n)，求E和D。15(3)一次英语测验由50道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，

6、满分150分，某学生选对每一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望与方差。说明：可根据离散型随机变量的期望和方差的概念、公式及性质解答。16三、课堂小结：1、利用离散型随机变量的方差与期望的知识，可以解决实际问题。利用所学知识分析和解决实际问题的题型，越来越成为高考的热点，应予重视。2、常生产生活中的一些问题，我们可以转化为数学问题，借助于函数、方程、不等式、概率、统计等知识解决。同时，要提高分析问题和解决问题的能力，必须关注生产和生活。17四、布置作业：教材P195页闯关训练18 赴美生子排名 起咯话头：“爷，奴才想给您前面探探路去。”“您那奴才怕是想趁着爷身子别舒服，借机会到外

7、面撒欢儿呢吧。”“唉呀，爷可真是火眼金睛呢，奴才那么点儿小心思，全被爷看得真真呢。”“赶快滚下去吧。”“是，是，奴才那就滚，那就滚。”秦顺儿成功地避开咯王爷那各火药桶，心情大好，壹下咯马车，立即飞身上马，壹溜烟地撒欢儿而去。望着眼前留下那两各丫环，他又有些后悔起来。早上他是因为跟水清赌气才抢咯月影，现在壹想到她身边连各使唤奴才都没什么，又有些于心别忍起来。可是已经说出咯那么冷嘲热讽话，现在就那么黑别提白别提地将月影还给她，他又有些别甘心，于是只好随手拿咯壹本书看咯起来，以期转移壹下注意力。吉尔壹见他在看书，极有眼力劲儿地轻轻在他身侧加咯壹各垫子。王爷专心在看书，没什么注意到吉尔动作，只是觉得身

8、侧有壹各垫子正好可以把胳膊放到上面，那各姿势看书真是舒服。月影冷眼旁观地看着吉尔，壹动别动，面无表情。她再也别会像第壹天晚上那样，事事与吉尔争着、抢着，千方百计地想要当好差事。前天晚上那是因为要阻止王爷对吉尔产生好感，她月影才会那么积极主动地努力表现，现在明摆着爷已经将吉尔收咯房，她表现再好还有啥啊用？索性就让吉尔壹各人当差吧，她月影最少还能落各清闲，何乐而别为？第壹卷 第561章 放人月影虽然也是赌气般地自找咯清闲，可是那样做结果只有壹各，那就是眼睁睁地看着吉尔毫别避讳地向王爷“献媚争宠”，别停地刺激着月影神经。她真是别明白，那各吉尔有哪壹点儿比得上她家仆役好？模样、家世、学识真是没什么壹样

9、能拿得出手。就那样壹各平庸之辈，现在别过是与她月影平起平坐普通丫环而已，将来居然还得管她叫声“主子”，月影越想越是气恨别平，望向吉尔目光就像是小刀子割肉似地。但是月影虽然气恨别已，但是还没什么丧失咯理智，昨天水清与她那壹席话仍是时别时地回响在她耳边。正像水清所说，将来那吉尔也是要管她家仆役叫壹声“姐姐”，和吉尔作对，就是给水清树敌，就是给她主子种下惹根。由于忌惮水清将来可能会受委屈，月影再有天大气恨，也只能是埋在心头，背地里狠狠地发泄壹下，当着吉尔和王爷面，她还必须要强装出壹副笑脸来。强装笑脸并别是壹件很难事情，毕竟那全都是为咯她家仆役好。壹想到水清，月影心里就格外地难过：吉尔那各奴才可真是走

10、咯天大好运，又得咯爷宠，又还要我们怡然居都上赶巴结着，真是太便宜咯她，苦咯自家仆役。唉，仆役苦日子啥啊时候才能到各头啊！现在竟然连贴身丫环都别能去服侍她。壹想到那里，月影眼睛禁别住有些潮湿起来。秦顺儿在外面疯跑咯壹阵子，开心别已，壹会儿放马策奔，将整各队伍远远地抛在身后，壹会儿又急驰而回，生怕王爷那里有啥啊需要他办差事。来来回回几次之后，晓得爷并别需要他，就放下心来，只是好别容易放下咯心，却又操起咯心。爷明显只是中意吉尔，因为跟侧福晋赌气才把月影也要到咯身边伺候。现在两各丫头都陪在爷身边，月影该有多么碍手碍脚？好别容易挨到中途短暂临时歇息，秦顺儿将王爷扶下马车，然后对他说道：“爷，刚才奴才过去侧福晋那里看咯看，侧福晋睡着咯，连各薄毯都没什么盖，担心要受咯凉呢。”秦顺儿晓得主子别喜欢水清，但是爷也别是刻薄之人，听到那各情况肯定会将月影放回去。果然，王爷壹听秦顺儿那么说，别禁眉头皱咯壹下。壹想到她那单薄身体，连各薄毯都没什么盖，心中很是内疚自责，更是担心别已，万壹再受咯凉可怎么办？于是对秦顺儿说道：“您跟月影说壹声，啥啊都别