华东师范数学系数学分析考点讲义

1、目录!绪 论 第 一 部 分一 元 数 学 分 析! 第 一 篇极 限 论 第 章第 章第 章第 章!数 列 的 极 限 函 数 的 极 限 !函 数 的 连 续 性 实 数 的 完 备 性 !极 限 论 的 总 结 !第 二 篇微 分 论 第 章第 章第 章!微 分 和 导 数 !微 分 中 值 定 理 !函 数 的 几 何 性 质 !微 分 论 的 总 结 !第 三 篇积 分 论 第 章第 章第 章第 章第 章 !不 定 积 分 !定 积 分 !可 积 性 理 论 !定 积 分 的 应 用 !反 常 积 分 !积 分 论 的 总 结 !第 四 篇级 数 论 第 章第 章第 章第 章!数 项

2、 级 数 !函 数 项 级 数 !幂 级 数 !傅 里 叶 级 数 !级 数 论 的 总 结 第 二 部 分多 元 数 学 分 析! 第 五 篇多 元 函 数 极 限 论 第 章第 章第 章!平 面 点 集 知 识 !多 元 函 数 的 极 限 !多 元 函 数 的 连 续 性 !多 元 函 数 极 限 论 的 总 结 !第 六 篇多 元 函 数 微 分 论 第 章第 章第 章第 章!多 元 函 数 可 微 性 !泰 勒 公 式 和 极 限 问 题 !可 微 性 在 几 何 方 面 的 应 用 !含 参 变 量 的 积 分 !多 元 函 数 微 分 论 的 总 结 !第 七 篇多 元 函 数

3、积 分 论 第 章第 章第 章第 章!二 重 积 分 三 重 积 分 曲 线 积 分 曲 面 积 分 !多 元 函 数 积 分 论 的 总 结 绪 、 数 学 分 析 在 数 学 系 本 科 中 的 地 位 论 数 学 分 析 系 本 科 生 的 三 高 拓 扑 学 几 何 、 高 等 代 数 俗 称 为 数 学、 泛 函 分 析 、 抽 象 代 数 俗 称 的 三 高 数 学 分 析为 数 学 系 你 考 上 学 习 得 好 与 不 好 ， 不 但 决 定 了 其 它 数 学 课 学 得 好 与 不 好 ， 也 确 定 了后 起 跑 线 的 前 后 因此复 习 好 数 学 分析， 不 仅 仅

4、 是 要 考 上 ， 更 重 要 的 是 考 阶 段 的 学 习 上后， 能 够 胜 任 数 学 分 析 几 何 这 是 的 分 布 也 可 以） ， 高 等 代 数 左 右 （ 三 学 期 ）左 右 （ 一 学 期 左 右 （ 二 学 期 ） ， 其 它 课 程 也 就 是 一 学 期 个学 安 排 是 长 期 教 学 实 践 的 结 果 从 这 个地 位 和 影 响 安 排 不 是 一 个 院 系 或 某 个 人 的 教 的看 出 数 学 分 析 在 整 个 数 学 系 本 科 教 育 中 的 正 因 为 以 上 所 述 ， 数 学 分 析 成 为机 会 进 一 步 深 造 的 可 能 性

5、 二 、 数 学 分 析 的 主 要 内 容 之 一 换 句 话 说 ， 数 学 分 析 决 定 了 你 是 否 有 的 两 门 基 础 课一 元 数 学 分 析 数 学 分 析 多 元 数 学 分 析 极 限 论 微 分 论 一 元 数 学 分 析 积 分 论 级 数 论 多 元 极 限 论 多 元 数 学 分 析多 元 微 分 论 多 元 积 分 论 元 数 学 分 析 为 基 础 体 辅 导 的 指 导 七 大 块 之 间 相 互 有 关 系 多 元 数 学 分 析 以形 成 一 个 有 机 的 ， 一 元 数 学 分 析 以 极 限 论 为 基 础 ，三 、 数 学 分 析 基 础 分

6、 占 到 左 右 ， 技 能 分 左 右 在 保 证 基 础 分 的 情 况 下 ， 提 高 技 能 分 辅 导 的 指 导：对 定 义 有 感 性 的 认 识 （ 即 几 何 直 观 ） ；深 刻 理 解 不 同 定 义 间 的 主 要 联 系 （ 即 定 理 ） ；掌 握 分 析 问 题 的 方 法 （ 即 解 题 思 路 ） 四和 课 程 设 计 关 于 ： 数 学 分 析 第 四 版 编 者 ： 华 东 师 范 大 学 数 学 系 ： 高 等 教 育 课 程 设 计 整 个 课 程 由 三 个 阶 段 组 成 ：第 一 阶 段 ： 考 点 精 讲 及 复 习 思 路 （ 左 右 ）目

7、标 ： 力 保 百 分 之 到 的 基 本 分 方 法 ： 按 考 点 之 间 的 联 系 展 开 ， 以 高 频 考 点 为 精 讲 对 象 ， 通 过 典 型 例 题 深 入 提 及 典 型 题 精 讲 精 练 （ 第 二 阶 段 ： 名 校 左 右 ）目 标 ： 百 分 之 到 的 技 能 分 方 法 ： 通 过 近 几 年 名 校 经 典 试 题 的 分 析 ， 加 深 对 重 要 定 理 的 理 解 ， 熟 练 地 掌 握 典 型 问 题 中 的一些常 规 的 技 能 和 技 巧 第 三 阶 段 ： 冲 刺 大 串 讲 及 模 拟 四 套 卷 精 讲 （ 左 右 ）目 标 ： 稳 固

8、 第 一 阶 段 和 第 二 阶 段 的 成 果 中 取 得 高 分 ， 从 整 体 上 把 握 数 学 分 析 的 基 本 和 解 题 技 能 ， 力争在方 法 ： 以 极 限 为 主 线 ， 提 炼 数 学 分 析 七 大 部 分 的 精 决 问 题 的 典 型 方 法 五 、 授 课 对 象 过 四 套 模 拟 卷 的 精讲 ， 再 现 典 型 问 题中解 准 备 报 考 数 学 专 业 的 同 学 准 备 报 考 数 学 一 类 且 想 取 得 高 分 的 同 学 寄 语 数 学 分 析 ， 对 老 师 和 学 生 来 说 ， 都 是 数 学 系 中 最 具 我 将 尽 我 最 大 的

9、 努 性 的 一 门 基 础 专 业 课 中 希 望 通 过 本 课 程 三 个 阶 段 这 个 阶 段 学 习 ，力 ， 把 近 三 十 年 对 数 学 分 析 的 理 解 贯 穿 在 整 个 的 教 学 之让从 害 怕 数 学 分 析 到 喜 欢 数 学 分 析 ， 从 支 离 破 碎 的 概 念 到 从 整 体 上 把 握 数 学 分 析 的 基 本 和 基 本 内 容 ， 从 做 题 无 处 下 手 到 遇 题 不 慌 ， 沉 着 迎 战 的 良 好 心 理 状 态 我 相 信 ， 在的 成 绩 共 同 努 力 下一 定 会 在 数 学 分 析 方 面 取 得 长 足 的 进 步 ，

10、在中 取 得 理 想第一篇极限论 章 章 章 章第第第第数 列 的 极 限 函 数 的 极 限 函 数 的 连 续 性 实 数 的 完 备 性 极 限 论 的 总 结 第 章数 列 的 极 限 、 本 章 考 情 分 析 极 限 分 为 数 列 极 限 和 函 数 极 限 数 列 极 限 从 形 式 来 看 要 比 函 数 极 限 简 单 于 掌 握 它 是 学 习 函 ， 便数 极 限 的 基 础 这 章 是 的 热 点 之 一 从 形 式 上 看 有 选 择 题 分 值 从 的 理 、 填 空 题 、 计 算 题 和 证 明 题几 分 （ 选 择 题 和 填 空 题 ） 到 多 分 （ 计

11、 算 题 和 证 明 题 对） 不 等 ， 题 的 难 度 从 低 到 高 都 有 极限解 和 几 何 直 观 是 本 章 的 难 点 要 求 ： 会 应 用 本 章 的 四 种 方 法 求 极 限 或 证 明 极 限 等 式 会 应 用 数 列 极 限 的 基 本 性 质 做 证 明 题 二 、 本 章 基 本 内 容 数 列 的 极 限 上 （ 下 ） 确 界 相 关 定 理 三 、 本 章 要 点 精 讲 （ 一 ） 基 本 定 义 和 概 念 ：要 点 ： 数 列 及 子 列 的 概 念 ；要 点 ： 数 列 极 限 的 分 析 定 义 及 几 何 定 义 ；要 点 ： 数 集 的 上

12、 （ 下 ） 确 界 ；（ ） 上 确 界 的 定 义 设 为 一 个 非 空 数 集 若 数 满 足 条 件 ：（ ） 对 一 切 ， 有 ， 即 是 的 一 个 上 界 ；） 对 任 何 ， 存 ， 使 ， 即 又 是 的 最 小 上 界 ， 则 称 上 确 界 ， 记 为 数 集 的 （在得 作（ ） 下 确 界 的 定 义 设 为 一 个 非 空 数 集 若 数 满 足 条 件 ：（ ） 对 一 切 ， 有 ， 即 是 的 一 个 下 界 ；（ ） 对 任 何 ， 存 ， 使 ， 即 又 是 的 最 大 下 界 ， 则 下 确 界 为 数 集 的 在得称， 记 作上 确 界 和 下 确

13、 界 统 称 为 确 界 （ ） 确 界 的 基 本 性 质 ；确 界 是 唯 一 的 ；最 大 （ 小 ） 值 是 上 （ 下 ） 确 界 ， 反 之 不 成 立 ； ， （ ） 确 界 原 理 设 是 非 空 的 数 集 ， 若 有 上 界 ， 则 有 上 确 界 ； 若 有 下 界 ， 则 有 下 确 界 确 界 原 理 是 实 数 完 备 性 七 个 等 价 定 理 之 一 其 他 六 个 都 可 以 由 它 直 接 或 间 接 推 出 因 为 确 界 原 理 来 源 于 分 析 学 的 基 础 ， 即 实 数 理 论 本是 讲 数 学 分 析 的 ， 所 以 没 有 要 求 知 道

14、它 的 证 明 过 程 字 定 理 是 需 要 证 明 的 故 给 它 起 名 确 界 原 理 而 没 有 用 定 理 二， 而 原 理 是 可 以 不 给 予 证 明 的 ， 只 需 要 承认 它 就 可 以 了 ： 有 上 （ 下 ） 界 的 非 空 数 集 不 一 定 有 最 大 （ 小 ） 值 ， 但 一 定 有 上 （ 下 ） 确 界 确 界 实 确 界 原 理 告 诉 质 上 是 最 （ 大 ， 小 ） 值 的 推 广 规 定 ： 若 没 有 上 界 ， 则将 确 界 原 理 推 广 为 ： ； 若 没 有 下 界 在 这 样 的 规 定 下 ， 则可 以 （ ） 广 义 确 界

15、原 理 若 是 非 空 的 数 集 ， 则 有 上 、 下 确 界 要 点 ： 唯 一 性 定 理 若 数 列 收 敛 ， 则 它 只 有 一 个 极 限 要 点 ： 有 界 性 定 理 若 数 列 收 敛 ， 则 它 为 有 界 数 列 要 点 ： 保 号 性 定 理 若 ! （ 或 ） ， 则 对 任 意 的 （ ， ） （ 或 （ ， ） ） ， 存 在 正 整 数 ， 使 得 当 时 ，有 （ 或 ） 要 点 ： 保 号 性 定 理 的 推 论 若 ! ， ! ， 且 ， 则 存 在 正 整 数 ， 使 得 当 时要 点 ： 保 不 等 式 性 ， 有 设 和 为 收 敛 的 数 列

16、若 存 在 正 整 数 ， 使 得 当 时要 点 ： 迫 敛 性 ， 又 名 夹 击 法 设 数 列 和 数 列 均 收 敛 于 ， 数 列 满 足 条 件 ： 存 在 正 整 ， 且 ! ! 则 数 列 收 敛 ， 且 ! ， 则 ! ! ， 有数 ， 当 时 ， 有注 ： 这 是 求 极 限 的 重 要 方 法 之 一 ， 是 求 极 限 的 第 三 种 方 法 （ 前 两 个 分 别 是 按 极 限 的 定式 ） 重 点 是 考 生 要 对 常 见 的 数 列 极 限 （ 对 应 定 理 中 的 和 ） 熟 悉 要 点 ： 数 列 和 子 列 收 敛 的 关 系 数 列 收 敛 于 的

17、充 分 必 要 条 件 是 ： 它 的 任 意 子 列 也 收 敛 于 注 ： 此 定 理 经 常 用 来 证 明 数 列 的 极 限 不 存 在 上 述 定 理 的 变 形 义 ， 按 运 算 公数 列 收 敛 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 它 的 任 意 子 列 也 收 敛 分 析 ： 这 只 需 要 证 明 所 有 的 子 列 均 收 敛 于 同 一 个 值 即 可 和 是 两 个 子 列 子 列 ， 故 和 的 极 限 相 同 要 点 ： 单 调 有 界 定 理 可 以 将 他 们 拼 成 一 个 新 子 列 和 是 的单 调 有 界 的 数 列 必 有 极 限 知 道 （ ）

18、存（ ） 作 为 应 用 作 （ ） 反 例 在 ， 将 此 极 限 记 为 ， 以 其 为 底 的 对 数 称 作 自 然 对 数 ， 记!要 点 ： 致 密 性 定 理 有 界 的 数 列 必 有 收 敛 的 子 列 致 密 性 定 理 是 单 调 有 界 定 理 的 弱 化 ， 即 条 件 减 弱 ， 结 论 也 减 弱 要 点 ： 柯 西 条 件 的 定 义 设 是 一 个 数 列 如 果 对 任 意 的 则 称 数 列 满 足 柯 西 条 件 要 点 ： 柯 西 收 敛 准 则 ， 存 在 正 整 数 ， 使 得 当 ， 时 ， ， 有数 列 收 敛 的 充 要 条 件 是 满 足

19、柯 西 条 件 是 什 么 尽 管 注 ： 单 调 有 界 定 理 和 柯 西 收 敛 准 则 均 是 用 来 证 明 极 限 存 在 的 定 理 ， 并 没 有 告 诉 极 限如 此 ， 它 也 蕴 含 着 第 四 种 求 极 限 的 方 法 ： 先 证 明 极 限 的 存 在 ， 再 求 极 限 （ 二 ） 总 结 求 极 限 的 方 法 ：方 法 ： 按 定 义 证 明 极 限 等 式 已 知 极 限 ! 证 明 ! 下 面 的 道 题 是 书 上 ， 的 例 题 它 们式 希 望 是 这 一 类 题 的 标准模能 认 真 研 读 它 们 ， 并 将 结 果 当 定 理 记 下 来 ）

20、证 明 ， 这 是 正 数 ! 里） 证 明 ， 这 里!） 证 明 ， 其 中 ! 槡） 证 明 ! ！） 证 明 ! 槡 利 用 证 明 下 列 等 式 ： ； ；! 槡槡槡! 若 （ ） ， 则 ! !利 用 的也 可 以 证 明 ： 已 知 极 限 ! 且 （ ， ， ） 证 明 槡!此 题 留 给 做 课 后 练 习 会 在 后 继 课 程 中 给 予 方 法 ： 根 据 极 限 运 算 公 式 求 极 限 求 极 限 ! 求 极 限 !槡 槡 槡槡方 法 ： 利 用 夹 击 法 求 极 限 证 明 （ ） （ ）!槡 槡 证 明 槡 !设 ， ， ， 为 个 正 数 ， 证 明 ：

21、 ， ， ， 槡!留 给 同 学 做 练 习 ， 将 在 后 继 课 程 中 给 予 方 法 ： 先 证 明 极 限 存 在 ， 再 求 极 限 设 槡 ， 槡 ， ， ， ， 求 极 限 ! 给 定 两 正 数 和 （ ） ， 做 出 等 差 中 项 槡 ， ， ， 与 等 比 中 项 槡 一 般 地 令 ： ! 和， 证 明 ! 皆 存 在 且 相 等 与 上 道 题 类 似 的 是 下 边 的 ， 留 给 在 以 后 的 后 继 课 程 中 给 出思 考 设 ， 记 ， ， ， ， 证 明 和 的 极 限 ，都 存 在 且 等 于槡 讲 一 讲 怎 样 证 明 数 列 极 限 不 存 在

22、 这类 题 一 般 用 （ ） 柯 西 收 敛 准 则 （ ） 数 列 收 敛 的 最 后 ； 或充 分 必 要 条 件 ： 每 个 子 列 都 收 敛 （ 且 收 敛 于 同 一 个 值 ） （ ） 发 散 证 明 数 列 证 明 数 列 发 散 ， 这 里 ， ， ， 四 、 本 章 名 校 经 典 试 题 回 顾 （ 华 东 师 范 大 学 ， 年 ， 二 ， （ ） ， 分判 别 题 （ 正 确 的 说 明 理 由 ， 错 误 的 举 出 反 例 ）若 ， 则 ! 槡! （ 华 中 师 范 大 学 ， 年 ， 一 ， （ ） ， 分） （ ，） ， 证 明 设!， 一 ， （ ） ，

23、分 ） （ 首 都 师 范 大 学 ， 年求 极 限 !（ 槡 槡 槡） （ 书 本 上 的 习 题 ， 首 都 师 范 大 学 ， 年 ， 四， 分 ）若 且 证 明 ! ! （ 复 旦 大 学 ， 年 ， 三 ， 分 ） （ ）! （ ）求 极 限 五 、 本 章 小 结 截 至 目 前 介 绍 了 求 极 限 的 四 种 方 法 随 着 课 程 的 进 行 ， 还 会 有 别 的 求 极 限 的 方 法 ； 要 记 住 一 些 常 见 的 求 和 公 式 这 些 公 式 在 求 极 限 时 起 着 非 常 重 要 的 作 用 例 如 ：（ ）（ ） （ ）（ ） 要 记 住 一 些 常

24、见 的 数 列 极 限 这 些 极 限 在 求 别 的 极 限 时 会 用 到 的 ； 对 极 限 的 基 本 性 质 要 几 何 直 观 ， 不 能 死 记 硬 背 在 下 一 章 中 会 看 到 数 列 极 限 的 性 质 在 函 数 极 限 中 都 有 对 应 的 定 理 因 此 对 数 列 极 限 的 理 解 和 掌 握 直 接 影 响 对 函 数 极 限 的 学 习 第 章函 数 的 极 限 、 本 章 考 情 分 析 可 以 把 一 个 数 列 因 此 数 列 极 限 可 以 看 成 是 看 成 是 一 个 定 义 域 为 全 体 正 整 数 集 合 上 的 函 数 特 殊 的 函

25、 数 极 限 反 之 ， 通 从 形 式 上 看 过 海 涅 定 理 ， 函 数 的 极 限 问 题 可 以 转 换 为 数 列 的 极 限 问 题 ， 函数 极 限 要 比 数 列 极 限 复 杂 但 本 质 是 一 样 的 ： 它 们 都 是 ， 和当 自 变 量 趋 于 某 值 （ 包 含， 函 数 随 自 变 量 的 趋 近 状 态 ） 时的 热 点 之 一 题 型 从 填 空 题 考求 函 数 极 限 或 证 明 函 数 极 限 存 在 是 分 从 几 分 到 十 几 分 都 可 能 出 现 要 求 ：、 选 择 题 、 计 算 题 到 证 明 题 会 用 定 义 或 公 式 求 函

26、 数 极 限 或 证 明 函 数 极 限 存 在 ； 根 据 极 限 （ 或 左 、 右 侧 极 限 ） 存 在 求 参 数 ； 利 用 两 个 重 要 极 限 求 函 数 极 限 （ 即 求 极 限 的 第 五 种 方 法 ） ； 利 用 等 价 无 穷 小 量 求 极 限 （ 即 求 极 限 的 第 六 种 方 法 ） ； 掌 握 相 关 的 基 本 定 理 ， 注 意 函 数 极 限 定 理 和 和 数 列 极 限 定 理 之 间 的 对 应 关 系 二 、 本 章 基 本 内 容 函 数 极 限 的 六 种 形 式 ； 函 数 极 限 的 基 本 性 质 ； 两 个 重 要 极 限 ；

27、 无 穷 小 量 和 无 穷 大 量 ；三 、 本 章 要 点 精 讲 要 点 函 数 极 限 的 六 种 形 式 ） 自 变 量 趋 于 某 实 数 时 （ ） ； （ ） ， （ ） ） 自 变 量 趋 于 无 穷 大 时 ! （ ） ； !（ ） ， !（ ） 数 学 分 析 语 言 熟 练 地 刻 画 上 边 六 注 ： 能 用 种 极 限 是 数 学 分 析 的 基 本 功应 该 把 它 们 作 为 课 后 练 习 做 一 做 六 种 极 限 间 的 关 系 ：（ ）! （ ） 要 点 存 在 的 充 要 条 件 是 （ ） 和 （ ） 存 在 且 相 等 存 在 的 充 要 条 件

28、 是 !（ ） 和 !（ ） 存 在 且 相 等 函 数 （ ） 在 时， 极 限 或 左 、 右 侧 极 限 函 数 极 限 的 基 本 性 质 知 道 函 数 的 极 限 有 六 种 形 式 因 只 要 大 家 此每 个 函 数 极 限 的 性 质 或 者 定 理 都 有 六 种 形 式 不 会 成 为 学 习 中 的 拦 路 虎 下 边 以 为 例 ，掌 握 函 数 极 限 的 几 何 直 观 ， 这 些 形 式 上 阐 述 函 数 极 限 的 基 本 性 质 和 定 理 ） 海 涅 定 理 设 在 （ ， ） 内 有 定 义 （） ， ） 且 以 存 在 的 充 分 必 要 条 件 是

29、 ： 对 任 何 含 于（ 为 极 限 的 数 列 ， 极 限 !（ ） 都 存 在 （ 且 相 等 ） 注 ： 海 涅 定 理 是 数 列 极 限 和 函 数 极 限 之 间 的 桥 梁 此 定 理 蕴 含 着 函 数 极 限 均 可 转 换 为 数 这 也 是一 再 强 调 数 列 极 限 重 要 性 的 原 因 之 一 列 极 限 注 ： 海 涅 定 理 对 应 数 列 极 限 定 理 中 的 “ 数 列 和 子 列 收 敛 的 关 系 ” 定 理 注 ： 利 用 海 涅 定 理 可 以 证 明 函 数 极 限 不 存 在 ， 见 下 边 的 例 题 证 明 ! 不 存 在 证 明 ：

30、若 为 周 期 函 数 ， 且 !（ ） ， 则 对 任 意 的 取 值 为 ） 唯 一 性 定 理 若 （ ） 存 在 ， 则 此 极 限 是 唯 一 的 ） 局 部 有 界 性 ，（ ） ， 即 为 常 值 函 数 且 若 （ ） 存 在 ， 则 在 的 某 空 心 领 域 （ ） 内 有 界 ） 局 部 保 号 性 若 （ ） （ ） ， 则 对 任 意 的 （ ， ） （ ， ） ， 存 在 （ 或的 某 空 心 领 域 （ ） ， 使 得 对 一 切 （ ）， 有 （ ） （ 或 （ ） ） 注 ： 类 似 与 数 列 极 限 ， 这 里 也 有 一 个 推 论 ， 书 中 没 有

31、提 到 。） 保 不 等 式 性 设 （ ） 和 （ ） 都 存 在 ， 且 在 的 某 空 心 领 域 （ ） 内 有 （ ）（ ）， 则 （ ）（ ） ） 迫 敛 法 ， 又 名 夹 击 法 设 （ ） （ ） ， 且 在 的 某 空 心 领 域 （ ） 内 有 （ ）（ ） （ ）， 则 （ ） ） 单 调 有 界 定 理 若 在（ ） 上 单 调 有 界 ， 则 （ ）存 在 ） 柯 西 收 敛 准 则 设 在 （ ， ） 上 有 界 ， 则 （ ） 存 在 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 任 给 ， 存 ， 使 得 对 任 在 意 的 ， （ ， ） （ ） （ ）， 有注 ：

32、上 述 这 些 定 理 除 过 书 上 给 出 的 证 明 外 ， 还 可 以 海 涅 定 理 给 予 证 明 数 列 极 限 性 质 和 函 数 极 限 性 质 的 对 比 图 唯 一 性 唯 一 性 有 界 性 局 部 有 界 性 保 号 性 局 部 保 号 性 保 不 等 式 性 保 不 等 式 性 夹 击 性 夹 击 法 四 则 运 算 四 则 运 算 数 列 的 单 调 有 界 定 理 单 侧 极 限 的 单 调 有 界 定 理 柯 西 收 敛 准 则 柯 西 收 敛 准 则 需 要 强 调 的 是 关 于 数 列 求 极 限 的 四 种 方 法 ， 即 根 据 定 义 ， 根 据

33、公 式 ， 夹 击 法同 样 也 适 用 于 求 函 数 极 限 ， 已知极 限 存 在 求 极 限 求 出 满 足 下 述 条 件 的 常 数 与 ，要 点 两 个 重 要 的 极 限 !） 变 形 ： ） 变 形 ： （ ） !的 热 点 之 一 通 只 要 大 家 掌 握 规 利 用 两 个 重 要 极 限 求 极 限 是 常 以 选 择 题 和 填 空 题 形 式 出 现 律 ， 会 转 换 形 式 ， 这 种 分 是 容 易 拿 到 手 的 这 也 是 求 极 限 的 第 五 种 方 式 求 极 限 分 析 ： 只 要 是 分 式 ， 有 和 出 现 ， 待 定 型 ， 一 般 都

34、可 以 使 用 重 要 极 限 方 法 求 极 限 !极 限 式 ， 大 部 分 情 况 下 都 可 以 使 用 两 个 重 要 极 限 中 的 第 二 个 分 析 ： 只 要 是 形 如 的 !要 点 无 穷 大 量 和 无 穷 小 量 约 定 （ ） 代 表 六 种 极 限 中 的 任 意 一 种 为 说 话 方 便 数 列 极 限 函 数 极 限 数 列 和 子 列 的 收 敛 关 系 海 涅 定 理 当 （ ） 时 例 如 ： 如 果 !（ ）就 说 是 在 自 变 量 趋 近 某 值 时 的 无 穷 小 量 就 说 是 !时 的 无 穷 小 量 注 意 无 穷 小 量 是 一 个 变

35、 量 ， 而 非 一 个 非 常 小 的 值 当 （ ） !， （ !， !） 时就 说 是 在 自 变 量 趋 近 某 值 时 的 （ 正 ， 负 ） 无 穷 大 量 就 说 是 !时 的 正 无 穷 大 量 注 意 无 穷 大 量 是 一 个 变 量 ， 而 非例 如 ： 如 果 ! （ ） !一 个 非 常 大 的 值 为 了 比 较 同 一 状 态 下 （ 即 自 变 量 趋 近 同 一 个 值 ） 两 个 无 穷 小 量 收 敛 于 零 的 速 度 大 小引 进 下列 概 念 为 方 便 起 见 以 为 例 （ ） ， 则 称 当 时 ， 为设 （ ） ， （ ） 如 果 的 高 阶

36、 无 穷 小 量 ， 或 为 的 低 阶 无 穷 小 量 （ ）， 记 作 （ ） （ （ ） ） （ ） 如 果 存 在 正 数 和； ， 使 得 在 （ ） 上 有 （ ） ， 则称 和 为 当 时 的 同 阶 无 穷 （ ） （ ）小 量 特 别 当 时， 和 为 当 时 的 同 阶 无 穷 小 量 ； （ ） （ ） 如 果 ， 则 称 当 时 ， 为 的 等 价 无 穷 小 量 ， 记 作 （ ）可 以 用 来 替 换 求 极 限 ， 即 第 六 个 求 极 限 的 方 法 （ ） （ ） （ ）对 等 价 无 穷 小 量 乘 除 替 换 定 理 设 函 数 ， ， 在 （ ） 上

37、有 定 义 ， 且 （ ） （ ） （ ） ， 则） 若 （ ） （ ） ， 则 （ ） （ ） ； （ ） （ ） 若 ， 则 ；（ ） （ ）慎 重 使 用 注 ： 此 方 法 只 对 乘 、 除 运 算 起 作 用 ， 对 加 、 减 失 效 ， 希 望 求 极 限 ! 分 析 ： （ !）四 、 名 校 经 典 试 题 回 顾 上 的 习 题 ， 华 东 师 大 ， ， 一 ， （ ） ）判 断 下 列 说 法 是 否 正 确 ： （ ） ， （ ） ， 此 处 ， ， 均 为 实 数 ， 则 （ （ ） ） 函 数 极 限 定 义 的 分 析 ： 这 道 题 是 用 来 大 学 年

38、年 ）上 的 习 题 设 函 数 在 （ ， !） 上 满 足 条 件 （ ） （ ）， 且 ! （ ） ， 证 明 （ ） ， （ ， !） 的 证 明 题 不 会 简 单 到 直 接 使 用 定 理 就 可 以 得 出 证 明 你 一 定 要 分 析 分 析 ： 目 标 ， 条 件 ， 目 标 和 条 件 之 间 的 联 系 （ 即 定 理 ） （ 华 东 师 大 ， 年 ， 一 ， ， 分 ）求 极 限 （ ） 五 、 本 章 小 结 函 数 极 限 有 六 种 形 式 ， 因 此 每 一 个 定 理 也 有 六 种 变 形 ； 同 理 无 穷 大 量 有 十 八 种 形 式 ， 每 一

39、 个 定理 都 有 十 八 种 变 形 应 用 数 学 分 析 语 言 （ 即 语 言 ） 描 述 上 述 定 义 和 定 理 是 学 好 数 学 分 析 的 基 本 功 海 涅 定 理 是 连 接 数 列 极 限 和 函 数 极 限的 桥 梁 它 可 以 使 数 列 极 限 的 基 本 性 质 和 定 理 很 容 易 地转 换 为 函 数 极 限 的 定 理 正 因 为 如 此 ， 数 列 极 限 性 质 和 函 数 极 限 的 性 质 有 着 天 然 的 对 应 关 系 截 止 目 前 已 总 结 了 六 种 求 极 限 的 方 法 ： 定 义 ， 公 式 ， 夹 击 法 ， 极 限 方

40、程 ， 两 个 重 要 的 极 限 ，等 价 无 穷 小 量 替 换 随 着 课 程 的 进 行 ， 还 会 有 新 的 方 法 出 现 第 一 章 和 第 二 章 重 要 概 念 和 定 义 的 联 络 图 随 着 课 程 的 进 行 的 联 络 图 将 会 逐 渐 丰 富 起 来 同 一 章 ， 同 一 篇 ， 同 一 部 分 及 整 个 数 学 分 析 的 重 要 概 念 最 终 要 在 同 一 个 联 络 图 中 体 现 出 来 一 本 书 只 有 学 到 一 页 纸 时 ， 才 是 自 家 的 学 问 ！第 章函 数 的 连 续 性 、 本 章 考 情 分 析 连 续 函 数 是 数

41、 学 分 析 的 主 要 研 究 对 象 初 等 函 数 均 为 连 续 函 数 本 章 的考 点 是 判 断 连 续 点 、 间 断 点 及 间 断 点 的 分 类 ， 证 明 函 数 的 一 致 连 续 性 题 型 以 证 明 题 见 多 二 、 本 章 基 本 内 容 连 续 点 及 连 续 函 数 ； 间 断 点 及 其 分 类 ； 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 三 、 本 章 要 点 精 讲 要 点 连 续 点 ） 若） 若） 若（ ） （ ） （ 即 极 限 号 和 函 数 符 号 可 以 交 换 顺 序 ） ， 则 称 在 处 连 续 （ ） （ ）， 则 称 在

42、处 右 连 续 ， 则 称 在 处 左 连 续 （ ） （ ） 在 处 连 续 当 且 仅 当 在 处 左 、 右 连 续 若 在 定 义 域 中 的 每 一 点 处 连 续 ， 则 称 为 连 续 函 数 初 等 函 数 为 连 续 函 数 ， 所 以 让 你 证 明 一 个 函 数 是 连 续 函 数 ， 这 个 函 数 绝 对 不 会 是 初 等 函 数 ， 而 是一 些 很 特 殊 的 函 数 ， 例 如 分 段 函 数 （ 像 狄 利 克 莱 函 数 ， 黎 曼 函 数 ） 等 等 ， ）设 为 上 的 连 续 函 数 ， 常 数 记 ，若 （ ） （ ） （ ） ，（ ）若，若 （

43、 ） 证 明 在 上 连 续 要 点 间 断 点 及 其 分 类 ） 非 连 续 点 称 作 间 断 点 ；） 若 （ ） （ ） 存 在 ， 但 （ ） 没 有 定 义 ， 或 有 定 义 ， 但 与 极 限 值 不 相 等 ， 则 称 为 的 可 去 间 断 点 ） 若 （ ） （ ） ， 则 称 为 的 跳 跃 间 断 点 ） 可 去 间 断 点 和 跳 跃 间 断 点 统 称 为 第 一 类 间 断 点 ， 其 他 的 间 断 点 （ 即 左 、 右 侧 极存 在 ） 统 称 为 第 二 类 间 断 点 限至少有一个不 ， ）下 列 函 数 的 间 断 点 并 说 明 类 型 ：（ ）

44、 （ ）（ ）（ ）；（ ） ； （ ）要 点 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 基 本 性 质 ） 有 界 性 定 理 若 函 数 （ ） 在 闭 区 间 ， ） 最 大 值 和 最 小 值 定 理 若 函 数 （ ） 在 闭 区 间 ， 上 连 续 ， 则 （ ）在 闭 区 间 上 有 界 上 连 续 ， 则 （ ）在 闭 区 间 上 有 最 大 值 和 最 小 值 ） 介 值 定 理 若 函 数 （ ） 在 闭 区 间 ， 上 连 续 ， 是（ ）和 （ ）之 间 的 一 个 值 （ 不 包 含 （ ） 和（ ） ， 则 （ ， ）， 使 得 （ ） 存 在 ） 反 函 数 的 连 续

45、 性 若 函 数 （ ） 在 闭 区 间 ， 上 严 格 单 调 且 连 续 ， 则 反 函 数 在 （ ） ， （ ） 或 （ ） ， （ ） 上 连 续 ） 一 致 连 续 性 若 函 数 （ ） 在 闭 区 间 ， 上 连 续 ， 则 （ ） 是 一 致 连 续 函 数 关 于 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 基 本 性 质 的 考 点 往 往 是 去 掉 闭 性 ， 加 上 一 些 条 件 ， 证 明 上 述 定 理 仍立 例 如 下 边 的 例 子 ：然 成 ， ）若 （ ） 在 ， !）上 连 续 ， 且 !（ ）存 在 ， 证 明 （ ） 在 ， !）上 有 界 能 否 取

46、到 最 大 值 和 最 小 值 ？ 是 否 是 一 致 连 续 函 数 ？四 、 名 校 经 典 试 题 回 顾 （ 华 中 师 大 ）设 （ ） 在 （ ， ） 上 有 定 义 ：（ ） 用 的 方 法 叙 述 （ ） 在 （ ， ） 上 一 致 连 续 的 概 念 ；（ ） 设 ， 证 明 在 （ ， ） 上 一 致 连 续 ；（ ） 证 明 在 （ ， ） 上 非 一 致 连 续 大 学 ， 山 东 大 学 ）在 有 限 开 区 间 （ ， ） 设 （ ）上 连 续 ， 证 明 （ ） 在 （ ， ） 上 一 致 连 续 的 充 分 必 要 条 件 是 （ ）和 （ ） 存 在 （ 北

47、师 大 ）设 （ ） 在 （ ，五 、 本 章 小 结 !）上 连 续 ， 且 !（ （ ） ） 证 明 （ ） 在 （ ， !）上 一 致 连 续 连 续 是 局 部 性 质 ， 而 一 致 连 续 是 整 体 性 质 证 明 定 义 域 为 非 有 界 闭 区 间 上 的 连 续 函 数 是 一 致 连 续 函 数 或 有 界 函 数 是 基 本 概 念 联 络 图 （ 极 限 ， 确 界 ， 连 续 ， 一 致 连 续 性 ） 的 重 点 第 章实 数 的 完 备 性 、 本 章 考 情 分 析 实 数 完 备 性 的 七 个 等 价 定 理 是 数 学 分 析 的 理 论 基 础 ，

48、也 是 整 个 数 学 分 析 的 难点 之 一 因 为 这 七 个 等 价 定 理 与 实 数 的 完 备 性 等 价 ， 故 称 作 完 备 性 的 七 个 等 价 定 理 证 明 七 个 定 理 之 间 的 等 价 性 及 七 个 等 的 重 点 题 型 以 证 明 题 的 形 式 出 现 价 定 理 的 应 用 是 二 、 本 章 基 本 内 容 完 备 性 的 七 个 等 价 定 理 及 应 用 ； 数 列 的 上 极 限 和 下 极 限 三 、 本 章 要 点 精 讲 要 点 完 备 性 的 七 个 等 价 定 理 ） 确 界 原 理 任 意 非 空 有 上 （ 下 ） 界 数 集

49、 必 有 上 （ 下） 单 调 有 界 定 理 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 ） 致 密 性 定 理 ） 确 界 任 意 有 界 的 数 列 必 有 收 敛 的 子 列 ） 柯 西 收 敛 准 则 数 列 收 敛 当 且 仅 当 它 满 足 柯 西 条 件 ） 区 间 套 定 理 若 ， 是 一 个 区 间 套 ， 则 其 交 ， 为 单 点 集 ! ） 有 限 覆 盖 定 理 若 是 闭 区 间 ， 的 一 个 开 覆 盖 ， 则 可 以 由 中 选 出 有 限 个 开 区 间 覆 盖 ， ） 聚 点 定 理 实 轴 上 任 意 有 界 的 无 限 点 集 必 有 聚 点 （ ，

50、书 上 的 例 题 ）试 用 有 限 覆 盖 定 理 证 明 聚 点 定 理 （ ， 书 上 的 例 题 ）试 用 聚 点 定 理 证 明 柯 西 收 敛 准 则 要 点 数 列 的 上 、 下 极 限 称 ! ! 为 数 列 为 数 列 的 上 极 限 上 极 限 的 下 极 限 下 极 限 存 在 存 在 称 ! !） 上 下 极 限存 在 ， 正 如 上 下 确 界 存 在 这 是 数 学 发 展 的 动 力 之 一 ） 数 列 的 极 限 存 在 当 且 仅 当 它 的 上 下 极 限 相 等 （ 求 极 限 的 第 七 个 方 法 ） ） 数 列 的 上 极 限 是 所 有 收 敛

51、子 列 极 限 的 最 大 者 ； 数 列 的 下 极 限 是 所 有 收 敛 子 列 极 限 的 最 小 者 ） 收 敛 子 列 的 极 限 数 列 的 聚 点 （ ， 书 上 的 例 题 ）!证 明 ： 若 （ ， ， （ ， 书 上 的 例 题 ）证 明 ： 若 （ ， ， 四 、 名 校 经 典 试 题 回 顾 ， 则 ）， 且! ， 则 数 列 收 敛 ）， 且 （ 首 都 师 大 ， 年 ， 六， 分 ）利 用 实 数 完 备 性 定 理 证 明 ： 闭 区 间 上 的 连 续 函 数 有 界 （ 华 中 师 大 ， ）利 用 闭 区 间 套 定 理 证 明 ： 闭 区 间 上 的

52、 连 续 函 数 有 界 科 技 大 学 ）： 若 一 组 开 区 间 覆 盖 闭 区 间 ， ， 中 任 意 两 点 ， ， 使 得 对 证 ， 满明， 则 存 在 一 个 正 数 时， 必 属 于 某 区 间 足五 、 本 章 小 结 完 备 性 的 七 个 等 价 定 理 之 间 的 相 互 证 明 及 其 应 用 是 的 热 点 对 书 本 中 定 理 的 证 明 要 研 读 这 些 定 理 完 全 可 能 以 题 的 形 式 出 现 基 本 概 念 联 络 图 （ 极 限 ， 确 界 ， 连 续 ， 一 致 连 续 性 ， 上 下 极 限 ， 数 列 的 聚 点 ） 极 限 论 的

53、总 结 ： 极 限 论 ， 微 分 论 ， 积 分 论 和 级 数 论 极 限 论 是 其 它 三 部 分 的 基 础 一 元 数 学 分 析 由 四 大 部 分 其 它 三 部 分 可 以 看 成 特 殊 的 极 限大 门 极 限 论 由 以 下 四 节： 数 列 的 极 限 ； 函 数 的 极 限 ； 函 数 的 连 续 性 ； 实 数 的 完 备 性 其 基 本 定 义 有 数 列 的 极 限 ； 函 数 的 极 限 ； 上 （ 下 ） 确 界 ； 数 列 （ 集 合 ） 的 聚 点 ； 函 数 的 连 续 点 和 间 断 点 ； 一 致 连 续 性 其 高 频 考 点 为 ：；论 因此

54、掌握好一元函 数 的 极 限 论 ， 就 等 于 打 开 了 数 学 分 析 的 求 极 限 ， 证 明 极 限 存 在 ； 闭 区 间 上 连 续 函 数 基 本 性 质 及 应 用 ； 实 数 完 备 性 七 个 等 价 定 理 的 相 互 推 导 及 应 用 第二篇微分论微 分 和 导 数 微 分 中 值 定 理 函 数 的 几 何 性 质 第 章第 章第 章微 分 论 的 总 结 第 章微 分 和 导 数 、 本 章 考 情 分 析 对 一 元 函 数 而 言 ， 导 数 和 微 分 是 相 互 存 在 的 它 们 之 间 的 关 系 为 ： 导 数 是 特 殊 的 极 限 它 反 映

55、 了 函 数 关 于 自 变 量 平 均 变 化 率 的 极 限 导 数 在 几 何 上 就 是 切 线 的 斜 率 在 物 理 上 就 是 速 度 的 热 点 之 一 题 型 多 为 选 择 题 ， 填 空 题 和 计 算 题 求 导 数 ， 证 明 导 数 存 在 或 不 存 在 ， 是二 、 本 章 基 本 内 容 导 数 及 求 导 法 则 ； 高 阶 导 数 及 求 导 法 则 ； 微 分 ， 一 阶 微 分 形 式 不 变 性 ； 高 阶 微 分 ， 高 阶 微 分 不 具 有 形 式 不 变 性 三 、 本 章 要 点 精 讲 要 点 ： 导 数 及 求 导 法 则 导 数 （

56、） 及 几 何 意 义 ； 单 侧 导 数 （ ） 和 （ ） ； 单 侧 可 导 与 可 导 的 关 系 ； 可 导 和 连 续 的 关 系 设 ， （ ），试 确 定 和 的 值 ， 使 在 处 可 导 导 函 数 ； 求 导 法 则 ； 四 则 运 算 ； 链 式 法 则 ； 参 变 量 函 数 的 导 数 ； 导 数 和 反 函 数 导 数 的 关 系 ； 基 本 初 等 函 数 导 数 表 ；（ ） （ ） 对 数 求 导 法 ： 例 如 ；（ ） （ ） 隐 函 数 求 导 法 ： 例 如 已 知 为 可 导 函 数 ， 求 （ ） （ （ ） ） 的 导 数 要 点 ： 高 阶

57、导 数 及 求 导 法 则 ） 高 阶 导 数 ； ） 莱 布 尼 兹 公 式 ： （ ） （ ） ； （ ） （ ） ） 参 数 函 数 的 高 阶 导 数 设 （ ）则 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 要 点 ： 微 分） 微 分 及 几 何 意 义 ；） 利 用 微 分 进 行 近 似 计 算 （ ） 原 理 ： 因 为 ， 故 计 算 槡） 高 阶 微 分 ；） 一 阶 微 分 形 式 不 变 性 ；） 高 阶 微 分 不 具 有 形 式 不 变 性 四 、 名 校 经 典 试 题 回 顾 大 学 ）（ ） （ ）设 在 为 可 导 函 数 证 明 ： 若 （ 复 旦

58、大 学 ） 时 ， 有， 则 必 有 （ ） 或 （ ） 已 知 （ ） （ ） （ ）（ ）在 点 的 某 邻 域 内 连 续 ， 求 （ ） ， 其 中 （ 厦 门 大 学 ）已 知 （ ） ， 为 常 数 求 （ ） 的 反 函 数 的 二 阶 导 数 （ 西学 ）设 ， 求 （ ） （ ） 槡 五 、 本 章 小 结 会 通 过 各 种 方 法 求 导 数 ： 按 定 义 ， 按 公 式 ， 链 式 法 则 ， 参 变 量 函 数 求 导 法 ， 对 数 求 导 法 会 利 用 微 分 进 行 近 似 计 算 几 何 直 观 上 理 解 导 数 ， 微 分 的 定 义 第 章微 分 中

59、 值 定 理 、 本 章 考 情 分 析 微 分 中 值 定 理 是 微 分 部 分 的 精 华 ， 是 下 一 章 利 用 导 数 和 微 分 研研 的 热 点 题 型 为 证 明 题 抓 住 几 何 本 质 ， 是 学 好 和 用 好 微 分 中 值 定 理 的 关 键 二 、 本 章 基 本 内 容 费 马 定 理 ； 中 值 定 理 的 三 种 形 式 ； 应 用 ： 洛 必 达 法 则 （ 求 极 限 的 第 八 种 方 法 ， 本 论 的 第 一 种 ） ； 导 数 的 极 限 定 理 （ 用 于 分 段 函 数 求 导 数 ） ； 导 数 的 介 值 定 理 （ 达 布 定 理

60、） ； 利 用 中 值 定 理 证 明 不 等 式 ； 泰 勒 公 式 （ 求 极 限 的 第 九 种 方 法 ， 本 论 的 第 二 种 ） 三 、 本 章 要 点 精 讲 要 点 ： 费 马 定 理 究函数几何性质的基础， 是考设 函 数 在 的 某 邻 域 上 有 定 义 ， 且 在 可 导 若 点 为要 点 ： 中 值 定 理 罗 尔 中 值 定 理 若 函 数 满 足 如 下 条 件 ： 的 极 值 点 ， 则 必 有 （ ） （ ）（ ） 在 闭 区 间 ， 上 连 续 ； 在 （ ， ） 上 可 导 ；（ ）（ ） （ ） ；则 在 （ ， ） 上 至 少 存 在 一 点 ， 使