苏教版高一数学选择性必修一第1章1.5.1《平面上两点间的距离》教案

1、本资料分享自千人教师QQ群483122854 期待你的加入与分享 300G资源等你来本资料分享自千人教师QQ群483122854 期待你的加入与分享 300G资源等你来1.5平面上的距离15.1平面上两点间的距离学习目标1.掌握两点间的距离公式并会应用.2.会用坐标法证明简单的平面几何问题导语在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？一、两点之间的距离公式问题1在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？提示AB|xAxB|.问题2已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，

2、怎样求这两点间的距离？提示(1)当P1P2与x轴平行时，P1P2|x2x1|；(2)当P1P2与y轴平行时，P1P2|y2y1|；(3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在RtP1QP2中，P1Peq oal(2,2)P1Q2QPeq oal(2,2)，所以P1P2eq r(x2x12y2y12).即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离P1P2eq r(x2x12y2y12).知识梳理1平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2eq r(x2x12y2y12).2原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离OPeq r(x2y2).注意点：(1)此公式与两

3、点的先后顺序无关(2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得P1P2eq r(x2x12y2y12)eq r(1k2)|x2x1|，或P1P2eq r(1f(1,k2)|y2y1|.例1已知ABC的三个顶点A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，试判断ABC的形状解方法一ABeq r(332312)eq r(52)2eq r(13)，ACeq r(132712)eq r(52)2eq r(13)，又BCeq r(132732)eq r(104)2eq r(26)，AB2AC2BC2，且ABAC，ABC是等腰直角三角形方法二kACeq f(71

4、,13)eq f(3,2)，kABeq f(31,33)eq f(2,3)，kACkAB1，ACAB.又ACeq r(132712)eq r(52)2eq r(13)，ABeq r(332312)eq r(52)2eq r(13)，ACAB，ABC是等腰直角三角形反思感悟计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则P1P2eq r(x2x12y2y12).(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解跟踪训练1若点M到x轴和到点N(4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为_答案(2,10)或(10,10)解析由点M到x轴的距离等于

5、10可知，其纵坐标为10.设点M的坐标为(xM，10)由两点间距离公式，得MNeq r(xM421022)10或MNeq r(xM421022)10，解得xM10或xM2，所以点M的坐标为(2,10)或(10,10)二、由两点间距离求参数值例2在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xya0与点A(2,0)，若直线l上存在点M满足MA2MO(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是_答案eq blcrc(avs4alco1(f(24r(2),3)，f(24r(2),3)解析设M(x，xa)，由MA2MO，得(x2)2(xa)24x24(xa)2，整理，得6x2(6a4)x3a240，由0得9a212

6、a280，解得eq f(24r(2),3)aeq f(24r(2),3)，故a的取值范围为eq blcrc(avs4alco1(f(24r(2),3)，f(24r(2),3).反思感悟将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解跟踪训练2在直线2x3y50上求点P，使点P到A(2,3)的距离为eq r(13)，则点P的坐标是()A(5,5) B(1,1)C(5,5)或(1,1) D(5,5)或(1，1)答案C解析设点P(x，y)，则yeq f(2x5,3).由PAeq r(13)，得(x2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2x5,3)3)213，即(x2)29，解得x

7、1或x5.当x1时，y1；当x5时，y5，点P的坐标为(1,1)或(5,5)三、坐标法的应用例3求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半证明如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则AB|c|.又由中点坐标公式，得Deq blc(rc)(avs4alco1(f(m,2)，f(n,2)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(cm,2)，f(n,2)，DEeq blc|rc|(avs4alco1(f(cm,2)f(m,2)eq blc|rc|(avs4alco1(f(c,2)，DEeq f

8、(1,2)AB，即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半反思感悟(1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤建立坐标系，用坐标表示有关的量进行有关代数运算把代数运算的结果“翻译”成几何结论跟踪训练3已知在等腰梯形ABCD中，ABDC，对角线为AC和BD.求证：ACBD.证明如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(ab，c)ACeq r(b02c02)eq r(b2c2)，BDeq r(

9、aba2c02)eq r(b2c2).故ACBD.1知识清单：(1)两点间的距离(2)由两点间距离求参数(3)坐标法的应用2方法归纳：待定系数法、坐标法3常见误区：已知距离求参数问题易漏解1已知点A(2，1)，B(a,3)，且AB5，则a的值为()A1 B5C1或5 D1,5答案C解析由两点间距离公式得eq r(a22312)5.解得a1或a5，故选C.2直线yx上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则PQ等于()A4 B4eq r(2) C2 D2eq r(2)答案B解析P(1,1)，Q(5,5)，PQeq r(4242)4eq r(2).3(多选)直线xy10上与点P(2,3)的距离等于eq

10、 r(2)的点的坐标是()A(4,5) B(3,4) C(1,2) D(0,1)答案BC解析设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0y010，且eq r(x022y032)eq r(2)，两式联立解得eq blcrc (avs4alco1(x03，,y04)或eq blcrc (avs4alco1(x01，,y02.)4在平面直角坐标系xOy中，点A(3,3)，B(1,1)，若直线xym0上存在点P使得PAeq r(3)PB，则实数m的取值范围是_. 答案2eq r(3)，2eq r(3)解析设P(x，xm)，因为PAeq r(3)PB，所以PA23PB2，所以(3x)2(3xm)23(1x)2

11、3(1xm)2，化简得2x22mxm260，则4m242(m26)0，解得2eq r(3)m2eq r(3)，即实数m的取值范围是2eq r(3)，2eq r(3)课时对点练1若A(1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则eq f(AC,CB)等于()A.eq f(1,3) B.eq f(1,2) C3 D2答案D解析AC4eq r(2)，CB2eq r(2)，故eq f(AC,CB)2.2(多选)对于eq r(x22x5)，下列说法正确的是()A可看作点(x,0)与点(1,2)的距离B可看作点(x,0)与点(1，2)的距离C可看作点(x,0)与点(1,2)的距离D可看作点(x，1)与点(1,

12、1)的距离答案BCD解析eq r(x22x5)eq r(x124)eq r(x12022)eq r(x12112)，可看作点(x,0)与点(1，2)的距离，可看作点(x,0)与点(1,2)的距离，可看作点(x，1)与点(1,1)的距离，故选项A不正确3点P(2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1,0)，那么点M到原点O的距离为()A41 B.eq r(41) C.eq r(39) D39答案B解析设M(x，y)，由中点坐标公式得eq f(x2,2)1，eq f(y5,2)0，解得x4，y5.所以点M(4，5)，则OMeq r(4252)eq r(41).4在ABC中，已知A(4,

13、1)，B(7,5)，C(4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是()A2eq r(5) B3eq r(5) C.eq f(5r(5),2) D.eq f(7r(5),2)答案C解析由中点坐标公式可得，BC边的中点Deq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，6).由两点间的距离公式得ADeq r(blc(rc)(avs4alco1(4f(3,2)2162)eq f(5r(5),2).5两直线3axy20和(2a1)x5ay10分别过定点A，B，则AB的值为()A.eq f(r(89),5) B.eq f(17,5) C.eq f(13,5) D.eq f(11,5)答案C解析直

14、线3axy20过定点A(0，2)，直线(2a1)x5ay10过定点Beq blc(rc)(avs4alco1(1，f(2,5)，由两点间的距离公式，得ABeq f(13,5).6已知A(5,2a1)，B(a1，a4)，当AB取最小值时，实数a的值是()Aeq f(7,2) Beq f(1,2) C.eq f(1,2) D.eq f(7,2)答案C解析A(5,2a1)，B(a1，a4)，ABeq r(a152a42a12)eq r(a42a32)eq r(2a22a25)eq r(2blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)2f(49,2)，当aeq f(1,2)时，AB取得最小值7过点

15、A(4，a)和B(5，b)的直线和直线yxm平行，则AB_.答案eq r(2)解析由题意知kABeq f(ba,54)ba1，所以ABeq r(542ba2)eq r(2).8若动点P的坐标为(x,1x)，xR，则动点P到原点的最小值是_答案eq f(r(2),2)解析由两点间的距离公式得P到原点的距离为eq r(x21x2)eq r(2x22x1)eq r(2blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2f(1,2)，最小值为eq r(f(1,2)eq f(r(2),2).9已知直线ax2y10和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为eq f(r(2),4)，求a

16、的值解由题易知a0，直线ax2y10中，令y0，有xeq f(1,a)，则Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，0)，令x0，有yeq f(1,2)，则Beq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，故AB的中点为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2a)，f(1,4)，线段AB的中点到原点的距离为eq f(r(2),4)，eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2a)0)2blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)0)2)eq f(r(2),4)，解得a2.10已知直线l1：2xy60和点A(1，1)，过A点作直线l与已知直

17、线l1相交于B点，且使AB5，求直线l的方程解当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1k(x1)，解方程组eq blcrc (avs4alco1(2xy60，,ykxk1，)得eq blcrc (avs4alco1(xf(7k,k2)，,yf(4k2,k2)，)即Beq blc(rc)(avs4alco1(f(7k,k2)，f(4k2,k2).由ABeq r(blc(rc)(avs4alco1(f(7k,k2)1)2blc(rc)(avs4alco1(f(4k2,k2)1)2)5，解得keq f(3,4)，所以直线l的方程为y1eq f(3,4)(x1)，即3x4y10.当过A点的直线的斜率

18、不存在时，方程为x1.此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意综上所述，直线l的方程为3x4y10或x1.11已知A(2,4)，B(1,0)，动点P在直线x1上，当PAPB取最小值时，点P的坐标为()A.eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(8,5) B.eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(21,5)C(1,2) D(1,1)答案A解析点B关于直线x1对称的点为B1(3,0)，由图形知，当A，P，B1三点共线时，PAPB1(PAPB)min，此时，直线AB1的方程为yeq f(4,5)(x3)，令x1，得yeq f(8,5)，故选A.12已知x，yR，Seq r(x

19、12y2)eq r(x12y2)，则S的最小值是()A0 B2 C4 D.eq r(2)答案B解析Seq r(x12y2)eq r(x12y2)可以看作是点(x，y)到点(1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.13已知ABC的三顶点A(3,8)，B(11,3)，C(8，2)，则BC边上的高AD的长度为_答案eq f(5r(34),2)解析由两点间距离公式得ABeq r(221)，BCeq r(34)，ACeq r(221).ABAC，ABC是等腰三角形，D为BC的中点，由中点坐标公式易得Deq blc(rc)(avs4alco1(f(19,2)，f(1,2)，ADe

20、q r(blc(rc)(avs4alco1(f(19,2)3)2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)8)2)eq f(5r(34),2).14在RtABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则eq f(PA2PB2,PC2)_.答案10解析以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设A(4a,0)，B(0,4b)，则D(2a,2b)，P(a，b)，所以PA29a2b2，PB2a29b2，PC2a2b2，于是PA2PB210(a2b2)10PC2，即eq f(PA2PB2,PC2)10.15已知两点A(2,3)，B(4,1)，P为直线l：x2y20上一动点，则PAPB的最小值为_，PAPB的最大值