行列式理论小结

1、行列式理论小结一、排列1.全排列定义1.1.1： 将n个不同的元素排成一列，不论排的次序如何，均统称为n 个元素的全排列，或称一个n级排列，简称排列.如：12345678，75632184，等均为8个元素的全排列，或称8级排列。问题一一n个元素的全排列有多少个？一一n个元素的全排列的个数=n!.逆序与逆序数a.标准排序按数字从小到大的顺序构成的n级排列123 - n称为一个标准排列，标准排列的元素之 间的顺序为标准顺序。除了标准排列外，其他的全排列都至少有一个以上的大小次序的颠倒 的情况出现。这种颠倒次序的多少与排列的性质有关，是一个很重要的概念。逆序定义1.1.2在任一排列中，若某两个元素的

2、顺序与标准顺序不同，就称这两个元素构 成了一个逆序。即前面的元素按标准次序应该是小数，但在这个排列中它却比它后边某数大 了，则称这二个数构成了一个逆序。那么一个排列的逆序，当然不会是固定的某个公式能算， 有时候只有一个逆序，有时候有若干个，应该怎么计算呢？这个知识很重要，这关系到你后 边要理解行列式展开的那些项前的正负号问题，所以大家要学会计算逆序数。c、逆序数及其求法逆序数：在一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数通常排列j jA 7；的 逆序数用符号t(7 7 A j )表示。1 2 n(2)逆序数的求法：从第二个元素起开始数，该元素前有几个数比它大，这个元素的 逆序就是几，将一个排列

3、所有元素的逆序相加，即得到这个排列的逆序数例如：213的逆序数为1，321的逆序数为3.请计算t(589624317)= ?0+0+0+2+4+4+5+7+2=24再计算T(586924317)= ?0+0+1+0+4+4+5+7+2=23请观察改变一对数字的位置后，逆序数的变化情况。3、排列的奇偶性定义1.1.3逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。对换与排列的奇偶性关系对换的定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列 的手续叫做一次对换；将相邻两个元素对调，叫做相邻对换，简称邻换。对换与排列的奇偶性的关系引理1.1.1：一次邻换改变排列的奇偶性.

4、定理1.1.1 一次对换必改变排列的奇偶性推论：奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶 数.二、二阶和三阶行列式(一)二阶行列式1、引入用消元法解二元一次方程组 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark33 o Current Document I a x + a x = b(1) 11 112 21 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document a x + a x = b(2)=ba 一a b1 2212 221 122 22由 a22 X (1) - a12 消去 x2 得(ana22 - a1

5、2气由 a21 Xa11 X (2) 消 去x1得(a a 一 a a )x = b a 一 a b = -(a b 一 b a )21 1211 2221 2111 211 21 21当a11a22 - a12a21 *。时，求得方程组的解为_ b a 一 a bx 1 2212 21(a a 一 a a )11 2212 21_ b a 一 a bx =-112142(a a 一 a a )11 2212 21(3)分析：显然求出来的解都是和方程组的系数及等号后边的常数项有关，而 且分母刚好仅与未知量前的系数相关，而与等号后边的常数项无关。分子 与等号后的常数及另外一个未知量的系数有关。人

6、们为了方便计算，引进 了一种行列式符号，精确地表示出这样的一种解式中的分子和分母：引入符号a11a21a12表示分母，即定义a22a11a21a12a22=a a 一 a a11 2212 21a a u 人.行人 / -r 卜-i-u / r. a a a a a a a a 1112为一个二阶仃列式，其值=11 2212 21。11 2212 21正好等a a设有方程组aaba1112D 112aa1ba21221222aiia21则当D o0时，方程组有解为_ Dd2例1：I 3x _ 2x 1, 求解二元线性方程组2气+ %3.解：Q3-21-2D 213 x 1 2 x (-2) 7

7、 o 0,131于对角线上两个元素乘积之差。这个行列式，也称上述方程组的系数行列 式。其中称数aij为行列式的元素，元素的第一个下标i表示这个元素所在的 行数，称为行标，第二个下标j表示这个元素所在的列数，称为列标.注:二阶行列式的计算可用对角线法帮助记忆:主对角线上元素的乘积-次 对角线上元素的乘积.2、用二阶行列式解二元一次方程组a x + a x b11 112 21a x + a x b21 122 22x1 D 71,（二） 三阶行列式定义:三阶行列式:aaa111213aaa212223aaa31323311 22 a33a a + a a a - a12 23 3113 21 3211a 23 a 3212 a21 33a -弓的a22 a3112-4-221-34-2例2：求D 解12-4D -221-34-21x 2 x (-2) + 2 x 1 x(3)+(-2) x 4 x 2 - (-4)x 2 x (-3) -1 x 1 x 4 - 2 x (-2) x (-2) T4