数学物理方法第二章1new

1、第二章 分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论 二重积分化二次积分：回顾：多元（维）问题转化为一元（维）问题举例 常微分方程分离变量法： 基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由初值条件或其余边界条件确定叠加系数。 适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等 特点：a. 物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b. 把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。令代入方程(1a)：令代入边界条件1

2、. 求解两端固定的弦自由振动问题一. 有界弦的自由振动特征（固有）值问题：含有待定参数的常微分方程在一定 条件下的求解问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解1）2）3） 令 ， 为非零实数 特征值和函数：(1) 分离变量(2)求特征值和 特征函数(4)线性叠加并确定常数(3) 确定另一个函数形式解2. 分离变量法的说明：(4) 分离变量法也称为驻波法（见解的物理性质）。(1) 解 只是方程(1a)-(1c)的形式解，尚不明确该解是否收敛。如果 三次连续可微， 二次连续可微，且 =0，则方程(1a)-(1c)解存在，且由（6）确定；(2) 分离变量法求

3、解的关键是确定本证函数和运用叠加原理，适用于齐次边界条件的线性偏微分方程；(3) 特征值的取值决定了级数形式解中的起始下标；（5）本书不讨论所求形式解是古典解需加的条件，只要求 得了形式解，就认为定解问题得到了解决。3. 解的物理性质：（1）x=x0时：表明弦上x0点以角频率 作简谐振动，振幅随x0位置不同而变化；其中：弦上任意一点做周期运动(2) t=t0时：综合（1）和（2），弦上各点以角频率 作简谐振动，且初始相位相同，各振动点的外形呈正弦分布。表明任意时刻弦上各点的空间分布呈正弦图形，振幅因时间不同而变化；弦上各点在某一时刻的分布状态弦上各点随时间的周期运动分离变量法求得的解是由一系列

4、驻波叠加而成，每列驻波的波形由其特征函数确定，频率由其特征值决定。(3) 对于 ，当xm=ml/n (0 m n)时， 例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。解：(1)(2)(3)(4)(4)弦的振动（驻波叠加）N=1时的驻波N=3时的驻波N=5时的驻波解：例2：求下列定解问题(1)(2)特征值和函数：(3)(4)初始条件：(4)弦的振动（驻波叠加）N=1时的驻波N=2时的驻波N=3时的驻波例3：求下列定解问题解：(1)(2)(3)(4)例4： 求下列定解问题令代入方程，得解：(1)(2)特征值和函数：(3)(4)(4)正交性证明：弦的振

5、动（驻波叠加）N=1时的基波N=2时的驻波N=3时的驻波分离变量流程图二. 有限长杆上的热传导令代入方程，得解：(1)(2)特征值和函数：(3)(4)令一端具有热交换时有界杆上热传导的动画演示杆上温度的初始分布杆上热传导过程令代入方程，有令例5: 求下列定解问题解：(1)(2)特征值和函数：(3)(4)两端恒温时有界杆上热传导的动画演示杆上温度的初始分布杆上热传导过程例6: 求下列定解问题解：(1)(2)特征值和函数：(3)(4)若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考(4)两端绝热时有界杆上热传导的动画演示杆上温度的初始分布杆上热传导过程分离变量流程图三、拉普拉斯方程的定解问题1. 直角坐标系下的拉普拉斯问题解：(1)(2)特征值和函数：(3)(4)(4)例7: 求下列定解问题解：(1)(2)特征值和函数：(3)(4)(4)例8: 求下列定解问题解：(1)(2)特征值和函数：(3)(4)2. 圆域内的拉普拉斯问题欧拉方程例9: 求下列定解问题解：欧拉方程 令例10: 求下列定解问题解：欧拉方程 令