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文档简介

1、Gauss型数值求积公式正交多项式及其零点数值微分方法数值积分与数值微分应用数值分析 22 高斯型数值求积公式 考虑两点插值型求积公式 为使代数精度尽可能高,取 f(x)=1, x, x2, x3(1) (2) (3) (4)(4)-(2)x02x12= x02(3)-(1) x02x02=1/32/18显然,A0=1,A1=1.代数精度为3的数值求积公式为 对于a, b区间上的定积分,构造变换t-1, 13/18定义 如果求积结点x0, x1,xn,使插值型求积公式的代数精度为2n+1,则称该求积公式为Gauss型求积公式. 称这些求积结点为Gauss点. 定理7.2 如果多项式wn+1(x

2、)=(x x0) (x x1)(x xn)与任意的不超过n次的多项式P(x) 正交，即则, wn+1(x)的所有零点x0, x1 , xn 是Gauss点 证明: 设f (x)是任意(2n+1)次多项式 , 由多项式除法4/18构造插值型求积公式,有 由于 Q(xk)= Q(xk)+wk+1(xk)P(xk) = f (xk) 其中,P(x) ,Q(x) 均为n次多项式. 两端积分，得其中,所以插值结点为wn+1(x)的零点5/18例 证明多项式 是1,1上正交多项式. 证: 显然两点Gauss公式得Gauss点插值公式:6/18三点Gauss数值求积公式Legendre多项式递推式 7/18

3、例.用两点Gauss公式计算解:作变换 x = 0.5( t + 1 ), 则取= 0.9460411MATLAB函数: sinint(1)=0.9460830703671838/18例.测得一个运动物体的距离D(t)数据如下t 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0D(t) 17.45 21.46 25.75 30.30 35.08用数值微分求速率v(10)9/18Tylor展开 方法一阶向前差商一阶向后差商10/18二阶中心差商一阶中心差商11/18隐式方法: 设 xk= a + k h ,( k =0,1,n) 值令 mk = f (xk) ( k=0,1,n)k=1,2,n-112/18Lagrange插值函数方法 xk = x0 + kh (k=0，1，2) 13/1814/18外推算法15/18拉普拉斯方程边值问题 O1x1y xi = i h，( i = 0，1，n) yj = j h，(j = 0，1，n)取 h = 1/n16/18O1x1y( i, j = 1，n-1)n2 102202 402 外推k(次) 152542 1985 694T(秒) 0.219 3.187 47.89 4.344误差 0.0028 7.1e-004 1.76e-004 6.52e-00617/18体积或表面积计算18/18x 0= ( x1 + x2 + x3 + x4

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