数字电路课件第2章逻辑代数基础2

1、 由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的。公式可推广：2.4 逻辑函数的性质逻辑函数表达式与逻辑图有直接关系 表达式越简单，实现该逻辑函数所需的逻辑关系就越少，这样即节省集成电路数目，焊接点又少，大大提高电路的可靠性需要对逻辑函数进行化简 与非逻辑 它是“与”和“非”的复合逻辑，表达式为： F=ABA B F0 0 10 1 1 0 11 1 0 ABFABF与非门逻辑符号用单一的与非门可以实现三种基本逻辑运算：2.4.1 复合逻辑 ABF1 与运算非运算或运算 ABF3 AF22. 或非逻辑 或非逻辑是“

2、或”和“非”的符复合逻辑，它与“与非”逻辑互为对偶，它的逻辑表达式为：A B F0 0 10 1 0 0 01 1 01ABFAB或非门逻辑符号F 或非门可以有多个输入端，其逻辑功能是：只要输入端有一个为 1 时，输出必为 0 ；只有输入端全为 0 时，输出才为 1 。 同样，或非门也能实现三种基本运算：1ABF311AF2111ABF1与运算非运算或运算3. 与或非逻辑 与或非逻辑是“与”、“或”、“非”的复合逻辑，其表达式为：1ABCDFCDABF与或非门逻辑符号4. 异或逻辑 对于二输入变量问题，当二输入值相异时，输出为 1 ；当二输入值相同时，输出为 0 。二输入变量的异或表达式：式中

3、符号 表示异或运算。它的逻辑功能可用下列真值表说明。A B F0 0 00 1 1 0 11 1 0= 1A BA BFF异或逻辑有下列等式：5. 同或逻辑 对于二输入变量问题，当二输入值相同时，输出为 1 ；当二输入值相异时，输出为 0 。二输入变量的同或表达式：它的逻辑功能可用下列真值表说明。A B F0 0 10 1 0 0 01 1 1式中符号表示同或运算。= 1A BA BFF6. 异或运算与同或运算之间的关系： 互补关系 对偶关系当 n 为偶数个变量时，有当 n 为奇数个变量时，有即：（偶数）异或运算和同或运算的基本代数性质01律 (a) A0 =A A1 =A (b) A0 =A

4、 A1 =A交换律 (a) AB =BA (b) AB =BA分配律 (a) A(BC) =ABAC (b) A(BC) =(AB)(AC)结合律 (a) A(BC) = (AB)C (b) A(BC) =(A B )C调换律 (a)若 AB = C 则 AC = B ， CB = A (b) 若AB = C 则 AC = B ， CB = A 一个逻辑命题可以用多种形式的逻辑函数来描述，这些逻辑函数的真值表都是相同的，如果以函数式中所含的变量乘项的特点以及乘积项之间的逻辑关系来分类，逻辑表达式可以分成与或、或与、与非、或非、与或非、或与非等形式。2.4.2 逻辑函数的基本表达式F=AB+AB

5、 与或式 =（A+B）（A+B） 或与式 =A B AB 与非式 =（A+B）+（A+B） 或非式 =AB+AB 与或非式2.4.2 逻辑函数的基本表达式2.4.3 逻辑函数的标准形式 一个逻辑命题的三种表示法：真值表 逻辑表达式 卡诺图真值表是逻辑函数最基本的表达方式，具有唯一性；由真值表可以导出逻辑表达式和卡诺图；由真值表导出逻辑表达式的两种标准形式：最小项之和最大项之积最小项：n个变量有2n个最小项，记作mi3个变量有23（8）个最小项m0m100000101m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567在逻辑函数中，有n个变量为A1An，m是这n个变量的与项，

6、若与项m是包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。一、最小项和最大项最小项二进制数十进制数编号最小项编号i，各输入变量取值看成二进制数，用1代表原变量，0代表反变量对应的十进制数。2.4.3 逻辑函数的标准形式乘积项和项2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）为了区别不同变量数n的相同最小项符号，可以给最小项符号mi加上一个上角标n，如刚才的可以写成 0 0 1A B C0 0 0m0m1m2m3m4m5m6m71000000001000000110 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100000000000010000001000000

7、1000000100000010000001111111三变量的最小项： 最小项的性质2 同一组变量取值任意两个不同最小项的乘积为0，即： mi mj = 0 (ij)3 全部最小项之和为1，即：1 在输入变量的任意取值下，必有一个且只有一 个最小项的值为1，其它最小项的值均为0。2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）性质4：若干个最小项之和等于其余最小项和之反例m3+m2=m0+m1， m0=m1+m2+m3A B m3 m2 m1 m00 0 0 0 0 10 1 0 0 1 01 0 0 1 0 01 1 1 0 0 0n个变量有2n个最大项，记作i。在逻辑函数中，有n个变量为A1An，M

8、是这n个变量的或项，若和项M包括全部n个变量（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。最大项最大项编号i：把或项中的原变量记做“0”，反变量记做“1”，此二进制数所对应的十进制数就是其值。三变量的最大项 M0M100000101 M2M3M4M5M6M7010011100101110111234567 同一组变量取值，任意两个不同最大项的和为1，即Mi + Mj = 1 (ij) 全部最大项之积为0，即 在输入变量的任意取值下，必有一个且只有一个最大项的值为0，其它最大项的值均为1;最大项的性质 最小项与最大项的关系 相同编号的最小项和最大项存在互补关系最小项的反是最大项；最大项

9、的反是最小项即: mi =Mi Mi =mi如： 最小项与最大项的关系 例：m1m3m5m7= 若干个最小项之和表示的表达式 F，其反函数F可 用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。即：可推出：= m0 + m2 + m4 +m62.4.3 逻辑函数的标准形式（续）性质： 最小项的性质和最大项的性质之间具有对偶性，例如，全部最小项之和恒等于“1”；那么，全部最大项之积恒等于“0”，其他性质可以类推。2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）二、积之和表达式（与或表达式） 逻辑函数被表达成一系列乘积项之和，则称之为积之和表达式，也叫与或表达式。逻辑函数的标准形式 最小项标准式（标准积之和表达式）

10、F(A、B、C、D)例：求函数F(A、B、C)的标准积之和表达式解：F(A、B、C)利用反演律利用互补律，补上所缺变量C解:式中的每一个乘积项均为最小项最小项标准式（标准积之和表达式）A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1mi01234567FMi0123456700010111例：已知函数的真值表，写出该函数的最小项标准式 从真值表找出F为1的对应最小项0 1 1 3 3 1 1 1 0 6 6 1 1 1 1 7 7 1 然后将这些项逻辑加F(A、B、C)逻辑函数的标准形式2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）函数的最小项标准式例：写出函数

11、Y（ABC）=AB+BC+CA的最小项表达式。 解：这是一个包含ABC三个变量的逻辑函数表达式，乘积项AB中缺少C，利用（C+C）乘以AB，同理（A+A）乘以BC，（B+B）乘以ACY=AB （C+C） +BC （A+A） +CA （B+B） =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC =ABC+ABC+ABC+ABC =m7+m6+m3+m5 =m3（3，5，6 ，7 ）利用了重叠律A+A=A2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）函数的最小项标准式练习：写出函数Y（ABC）=A+BC的最小项表达式。 2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）函数的最小项标准式例：写出函数Y（ABC）=A+BC

12、的最小项表达式。 解：Y=A（B+B）（C+C）+BC （A+A） =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC =ABC+ABC+A BC+A B C+ABC =m3+m2+m1+m0+m7 =m3（0，1，2 ，3 ，7 ）2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）函数的最小项标准式例：函数Y=AB+BC的真值表如下，求函数Y的最小项表达式。 由表可知，使Y=1的输入变量 ABC的取值组合有001、010、011 、101四组，相应的最小项为四项，所以，最小项表达式为Y=ABC+ABC+ABC+ABC Y=m1+m2+m3+m5 =m3（1，2，3，5） A B C Y 0 0 0 0 0

13、0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 02.4.3 逻辑函数的标准形式（续）反函数的最小项标准式如果将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式例：写出上一函数Y（ABC）=AB+BC的反函数Y最小项表达式。 解：Y =m0+m4+m6+m7 =m3（0，4，6 ，7 ）2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）三、函数的最大项标准式逻辑函数被表达成一系列和项这积，则称为和之积表达式，也称为函数的或与表达式，如果构成函数的或与表达式中的每一个项均为最大项，则称这种表达式为最大项标准式如F=（A+B+C）（A+B+

14、C） （A+B+C）逻辑函数最大项表达式可由真值表直接写出，并且和真傎表一样，也具有唯一性用逻辑代数的基本定律和公式，也可将逻辑函数的其他表达式展开或变换成最大项表达式2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）三、函数的最大项标准式例：写出函数Y（ABC）=（A+C）（A+B）的最大项表达式。 解：Y=(A+C)+(BB)(A+B)+(CC) =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =M0M2M4M5 =M3（0，2 ，4 ，5 ） 如果给定的逻辑函数的真值表，如是该行的函数值是0，则函数的最大项表达式中应包含该行对应的最大项。 三、函数的最大项标准式 某个最大项不是包含在F中，

15、就是包含在F中。函数的简化依据 逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作降低成本提高电路的工作速度和可靠性2.5 逻辑函数的化简最简式的标准 首先是式中乘积项最少 乘积项中含的变量少 与或表达式的简化与门的输入端个数少方法： 并项：利用将两项并为一项，且消去一个变量B 消项： 利用A + AB = A消去多余的项AB 配项：利用和互补律、 重叠律先增添项，再消去多余项BC 消元：利用消去多余变量A2.5.1 代数化简法 实现电路的与门少 下级或门输入端个数少例 用并项法化简 下列逻辑函数 F1=ABCD+ABCDF2=AB+ACD+A B+AC

16、D 解：F1=A(BCD+BCD)=A F2=A(B+CD)+A(B+CD) =（B+CD ）（A+A） =（B+CD）2. 吸收法 利用定理：A+AB=A可将AB项消去。A和B同样也可以是任何一个复杂的逻辑式。例:用吸收法化简下列逻辑函数F1=(AB+C)ABD+ADF2=AB+AB C+ABD+AB(C+D)解： F1=(A B + C)BAD+AD = AD F2=AB+AB C+D+（C+D)= AB 3. 消项法 利用定理5： AB+AC+BC=AB+AC 及 AB+AC+BCD=AB+AC将BC或BCD消去。其中A、B、C、D都可以是任何复杂的逻辑式。例 用消项法化简下列逻辑函数

17、F1=AC+AB+B+C = AC+BC F2=ABCD+ABE+ACDE =(AB)CD+(AB)E + (CD)EA=ABCD+ABE 4. 消因子法 利用定理2：A+AB=A+B可将AB中的A消去。A、B均可以是任何复杂的逻辑式。例 利用消因子法化简下列逻辑函数F1=B+ABC F2=AB+B+AB解： F1=B+ABC=B+AC F2=AB+B+AB=A+B+AB=A+B 5. 配项法 (1) 根据基本公式中的A+A=A可以在逻辑函数式中重复写入某一项，有时能获得更加简单的化简结果。例 化简逻辑函数F=ABC+ABC+ABC。解：若在式中重复写入ABC，则可得到 F =(ABC + A

18、BC)+(ABC+ABC) =AB(C+C)+BC(A+A) =AB+BC代数法化简函数例：试简化函数解：利用反演律配项加AB消因律消项AB 或与表达式的简化F（或与式）求对偶式 F（与或式）简化 F（最简与或式）求对偶式 F（最简或与式）化简利用逻辑代数的基本公式和常用公式对逻辑代数式进行运算，消去式中多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子。 例：Y=A+AB(A+CD)+ABCD代数法化简函数例：试简化函数解：消项DEF消因律 或与表达式的简化F（或与式）求对偶式 F（与或式）简化 F（最简与或式）求对偶式 F（最简或与式） 卡诺图（K图）A B0 00 11 01 1 m0 m1 m2 m

19、3BBAAABABBA1010 m0 m2 m1 m3 miCAB01000111100001111000011110 m0 m2 m4 m6 m1 m3 m5 m7 m0 m4 m8 m12 m1 m5 m9 m13 m3 m7 m11 m15 m2 m6 m10 m14CDAB二变量K图三变量K图四变量K图2.5.2 卡诺图化简法图中的一小格对应真值表中的一行，即对应一个最小项，又称真值图。ABABK图的特点图形法化简函数 k图为方形图。n个变量的函数k图有2n个小方格，分别对应2n个最小项； k图中行、列两组变量取值按格雷码规律排列，使变量各最小项之间具有逻辑相邻性。上下左右几何相邻的方

20、格内，只有一个因子不同。 有三种相邻：几何、相对（行列两端）和对称相邻（图中以0、1分割线为对称轴）方格均属相邻。P350001111000011110 m0 m4 m8 m12 m1 m5 m9 m13 m3 m7 m11 m15 m2 m6 m10 m14CDAB四变量K图图形法化简函数0001111000011110 m0 m4 m8 m12 m1 m5 m9 m13 m3 m7 m11 m15 m2 m6 m10 m14CDAB四变量K图两个相邻格圈在一起，结果消去一个变量CBD CBC1四个相邻格圈在一起，结果消去两个变量。八个相邻格圈在一起，结果消去三个变量。十六个相邻格圈在一起，

21、结果mi=1 卡诺图化简函数规则 几何相邻的2i（i = 1、2、3n）个小格可合并在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量，而用含（n - i）个变量的积项标注该圈。图形法化简函数 与或表达式的简化步骤 先将函数填入相应的卡诺图中，存在的 最小项对应的方格填1，其它填0或不填。 合并：按作圈原则将图上填1的方格圈起 来，要求圈的数量少、范围大，圈可重 复包围，但每个圈内必须有新的最小项。 每个圈写出一个乘积项，按取同去异原则 最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达 式。 根据函数填写卡诺图1、已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填 1，其余格均填0或不填；2、若已知函数的真值表，将真值表

22、中使函数值为1的那 些最小项对应的方格填1，其余格均填0；例子3、函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式， 再用直接法填写。例子 作圈的步骤1、孤立的单格单独画圈；2、圈的数量少、范围大，圈可重复包围但每个圈内必须 有新的最小项；3、含1的格都应被圈入，以防止遗漏积项。图形法化简函数例：将F(A、B、C、D)化为最简与非与非式。解：0100011110001110CDABAB111111B CD11 ACD ABC11AC1111m14,m15两次填10000图形法化简函数例：图中给出输入变量A、B、C的真值表，填写函数的卡诺图ABCF000 0 0 1 01001110010111011

23、100111000ABC0100011110 1 110 0 0 0 0 010111001110图形法化简函数例：图中给出输入变量A、B、C的真值表，填写函数的卡诺图ABCF000 0 0 1 01001110010111011100111000ABC0100011110 1 110 0 0 0 0ABABCF=ABC+AB得：图形法化简函数为了更有规律的化简逻辑函数，先来看几个概念 蕴涵项 在函数的与或表达式中，每一个与项称为该函数的 。对应在卡诺图中它就是一个卡诺圈。 质蕴涵 函数中的蕴涵项不是该函数的其它蕴涵项的子集，则此蕴涵项称为 ，在卡诺图中称之为极大圈。 实质最小项 只被一个质蕴

24、涵所覆盖的最小项称为 ，又称实质 1 单元。 必要质蕴涵 包含实质最小项的质蕴涵，称为 ，在卡诺图上称为必要极大圈。 卡诺图上的最小覆盖 挑选数目最少的质蕴涵（极大圈），即覆盖了卡诺图上所有标 1 的小方格，这就是 。例：将F(A、B、C、D)化为最简与非与非式解：0100011110001110CDAB111111111111ACADBCBDA B C化简得：最简与非与非式为：图形法化简函数用卡诺图化简1. F= m4（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）2. F（ABCD）=AD+ABD+ABCD+ABCD3. F（ABC）=AB+BC+BC+AB卡诺图化简的另一种方法圈

25、0法 如果一个逻辑函数用卡诺图表示后，里面的0很少且相邻性很强，这时用圈0法更简单。但要注意，圈0后，应写出反函数F，再取反，得原函数卡诺图化简的另一种方法圈0法F= m4（0,1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,13,14,15） 2.5.3 利用无关项输入简化函数表达式一、约束项、任意项和无关项1、约束项：在具体逻辑电路中，某些逻辑变量的取值不是任意的，对输入变量取值所加的限制称为约束，同时，把这一组变量称为具有约束的一组变量。若有三个逻辑变量ABC分别表示一台电动机的正转、反转和停止，即A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止，则ABC取值只能是001、010、100，而不

26、能是其它5种组合2.5.3 利用无关项输入简化函数表达式1、约束项：即具有约束ABC=ABC=ABC=ABC=ABC=0ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=0这些恒等于0的最小项称为约束项2.5.3 利用无关项输入简化函数表达式2、任意项：任意项指输入在某些取值下函数取值01均可，并不影响电路功能。例：在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定红灯亮停，绿灯亮行，黄灯亮等一等，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系2.5.3 利用无关项输入简化函数表达式红灯 绿灯 黄灯 车A B C F0 0 0 0 0 1 00 1 0 10 1 1 0 0 01 0 1 1 0 1 1 1 2.5.3 利用无

27、关项输入简化函数表达式 在这个函数中，有5个最小项是不会出现的，如三个灯都亮，都不亮，因为一个正常的系统不可能出现这样的情况，如果出现了，车也可以停也可以行，即逻辑任意值，对应的5个最小项称为任意项2.5.3 利用无关项输入简化函数表达式3、无关项：存在约束的情况下，由于约束项恒为0，所以既可以把约束项放到逻辑函数中，也可以在逻辑函数中删除某些约束项，同样，任意项也可以写入或不写入，因而把任意项和约束项统称这无关项。无关项在卡诺图中用d或 表示。带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为F= m3（ ）+ d3（ ）2.5.3 利用无关项输入简化函数表达式定义：当函数输出与某些输入组合无关时，这些输入组合称为无关项。产生原因： 这些输入组合在正常操作中不会出现(即输入具有约束条件)； 即使这些