2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二下学期期中考试文科数学试题（解析版）

1、2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二下学期期中考试文科数学试题说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第卷(共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若复数，则z的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，先求出，再结合复数的除法运算求出复数，得到答案.【详解】因为 ，所以，所以，所以复数z的虚部为故选：B2. 若定义在区间上的函数的导函数为增函数，则为上的凹函数.在下列四个函数中，为上的凹函数的是（

2、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求导，再根据函数的解析式判断导函数的单调性判断.【详解】A.，则，在上递减，在上递增，故为上不是凹函数；B.，则在上为增函数，故为上的凹函数；C.，则在上为减函数，故为上不是凹函数；D.，则在上为减函数，故为上不是凹函数.故选：B.3. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出的值，利用导数的定义可求得所求代数式的值.【详解】因为，所以，所以.故选：C.4. 一组样本数据：，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数m的值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】求出样本中心点，再利用

3、回归直线必过样本的中心点计算作答.【详解】依题意，则这个样本的中心点为，因此，解得，所以实数m的值为6.故选：B5. 下面的结构图中1，2，3三个方框中依次应填入的内容是（ ）A. 复数、整数、小数B. 复数、无理数、整数C. 复数、无理数、自然数D. 复数、小数、整数【答案】B【解析】【分析】由复数、实数、有理数的分类分析即得解【详解】由复数的分类可得：1处填入复数由实数的分类可得：2处填入无理数由有理数的分类可得：3处填入整数故选：B6. 右图是计算函数的值的程度框图，在、处应分别填入的是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】第一个判断框,否的话,即,故填,第二个判断狂,是的

4、话,即,故填.由此可知选.7. 在同一平面直角坐标系中，将直线按变换后得到的直线的方程，若以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直线直角坐标方程，将直线上的点按坐标变换得到直线的方程；利用直角坐标与极坐标的互化公式，写出直线的极坐标的方程；【详解】将直线按变换后得到的直线， ，即，化为极坐标方程为.故选A.【点睛】本题考查了坐标变换的应用，极坐标与直角坐标方程的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8. 对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么

5、位置？A. 正三角形的顶点B. 正三角形的中心C. 正三角形各边的中点D. 无法确定【答案】B【解析】【详解】分析：由题意结合几何体的空间关系进行类比推理即可求得最终结果.详解：绘制正三棱锥的内切球效果如图所示，很明显切点在面内而不在边上，则选项AC错误，由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的正三角形的中心.本题选择B选项.点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误9. 在极坐标系中，曲线C1：2sin，曲线C2：4cos，过极点直线与曲线C1，C2分

6、别交于异于极点的A，B两点，则|AB|的最大值为（）A. B. 4C. 2D. 5【答案】C【解析】【分析】设出过极点的直线的极坐标方程，用极坐标方程求长度的方法即可作答.【详解】设过极点的直线的极坐标方程为，由得点A的极径，由得点B的极径，于是得，其中锐角满足，而，则，即时，所以的最大值为.故选：C10. 在极坐标系中，曲线关于（ ）A. 直线对称B. 直线对称C. 点对称D. 极点对称【答案】A【解析】【分析】由，得直角坐标方程： ，圆心为 ，又因为直线即： 过点，由此便可得出答案.【详解】由曲线，即：，又因为，化简得曲线的直角坐标方程： ，故圆心为 .又因为直线,直角坐标方程为： ，直线

7、过点，故曲线关于直线对称故选：A.【点睛】本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.11. 已知定义在1，+）上的函数，若x1，则实数a的取值范围为（）A. 1，6B. 2，9）C. （1，9D. 1，6）【答案】D【解析】【分析】二次求导得到在上单调递增，从而根据单调性解不等式，列出不等式组，求出实数a的取值范围.【详解】，令，当时，恒成立，所以在上单调递增，所以，所以恒成立，所以在上单调递增，由得：，在上恒成立，其中在上单调递减，在上单调递减，所以，所以，由得：，因为，所以.综上：故选：D12. 定义在（0，+）上的函数f（

8、x）满足，且f（4）ln（4e4），则不等式f（ex）ex+x的解集为（）A. （4，+）B. （，2）C. （ln2，+）D. （ln4，+）【答案】D【解析】【分析】令g（x）f（x）lnxx，由题目条件知g（x）在（0，+）上单调递增，不等式f（ex）ex+x可转化为g（ex）+x+exex+x，即g（ex）0，所以ex4，解不等式即可得出答案.详解】解：令g（x）f（x）lnxx， 因为定义在（0，+）上的函数f（x）满足xf（x）1x0，所以g（x），所以g（x）在（0，+）上单调递增，因为f（4）ln（4e4）4+ln4，所以g（4）0，则不等式f（ex）ex+x可转化为g（ex）

9、+x+exex+x，即g（ex）0= g（4），所以ex4，所以xln4故选：D第卷(非选择题共90分)二填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 已知条件，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_【答案】【解析】【分析】设，则，再对分两种情况讨论得解.【详解】记，因为p是q的充分条件，所以.当时，即，符合题意；当时，由可得，所以，即.综上所述，实数的k的取值范围是故答案为：14. 已知实数x，y满足方程，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】利用三角换元法，再用辅助角公式，结合三角函数的性质可求出答案.【详解】因为，所以令，则，所以的最大值为.故答案为：15. 甲、乙、丙、丁4

10、位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和如下表：甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103则试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高的同学是_.【答案】丁【解析】【分析】根据散点图中各样本点条状分布越均匀，同时残差平方和越小，即可判断其线性回归模型的拟合效果越好.【详解】对于已经获取的样本数据，表达式中为确定的数，则残差平方和越小，越大，由此知丁同学的线性回归模型的拟合效果最好，故答案为：丁.16. 由样本数据得到的回归方程为：，已知如下数据：，则实数的值为_.【答案】4【解析】【分析】令，则由回归方程过过样本中心点可得.【详解】令，则回归方程过样本中心点

11、，因为，所以有，即.故答案为：4三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共70分)17. 求证：【答案】见解析【解析】【分析】利用分析法推出使结论成立的充分条件即可详解】证明：，即证明：，左右两边同时平方，左边，右边，则左边右边，即：，所以：.【点睛】本题考查分析法的应用，不等式的证明，考查计算能力以及逻辑推理能力18. 已知复数.（1）若z在复平面中所对应的点在直线上，求m的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先根据复数代数形式的乘法法则化简复数，根据复数的几何意义表示出复数所对应的点的坐标，再代入直线方程即可得解；（2）根据复数模的计算公式

12、及二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为所以z在复平面中所对应的点的坐标为，因为点在直线上，所以，解得.（2），因为，且，所以，所以的取值范围为.19. 在直角坐标系中，曲线C方程为：，以O为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）直线的普通方程是，直线与曲线C交于O，M两点，与直线交于点N，求线段的长【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据极坐标公式与直角坐标转化公式求解即可；（2）分别求出点M,N的极坐标，利用极径的几何意义求弦长即可.【小问1详解】因为，曲线C的方程为：， 即，所以曲线C的极坐标方程为，即【小问2详解】直线的极坐标方程是，直线曲

13、线C交于O，M两点，设，则由，解得，即点M的极坐标为；设，则有，解得，即点N的极坐标为所以线段的长20. 已知函数，（其中，且），（1）若，求实数k的值；（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】【分析】（1）分别代入并化简，可得，即可求出答案；（2）猜想：，分别代入表达式，化简并整理即可证明.【详解】（1）.因为函数与具有相同的单调性，且都是单调函数，是单调函数，.（2）由，猜想：.证明：.所以.【点睛】关键点点睛：本题考查了归纳推理，解题的关键是仔细观察找到规律及指数的正确运算，考查了学生的推理能力，属于中档题.21. 已知函数（1）若，不等式恒成立，求的取值范围；（2）若曲线存在过点的切线，求证：【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）对原不等式进行参变分离，得到，进而令，从而转化为求出的最大值即可；（