2022年《经济数学基础12》

1、微分学部分综合练习一、单项挑选题1 函数 y x 的定义域是 Dx 1 且 x 0lg x 12 22 以下各函数对中, Df x sin x cos x,g x 13 设 f x 1,就 f f x C xx4 以下函数中为奇函数的是 Cy ln x 1x 15 已知 f x x1,当（A ）时,f x 为无穷小量 .A. x 0tan x6 当 x 时,以下变量为无穷小量的是 Dsin xxsin x , x 07 函数 f x x 在 x = 0 处连续,就 k = （ C1 ）k , x 08 曲线 y 1 在点（ 0, 1）处的切线斜率为（ A ） A1x 1 29 曲线 y sin

2、 x 在点 0, 0处的切线方程为（ A ） A. y = x110设 y lg2 x,就 d y（ B ） Bd xx ln10 x11以下函数在指定区间 , 上单调增加的是（ B ）Be 12设需求量 q 对价格 p 的函数为 q p 3 2 p,就需求弹性为 Ep=（ B ）p B3 2 p二、填空题1 函数fxxx2,05xx20的定义域是5,2x2,1 2函数fxln521x的定义域是 -5, 2 23 如函数fx1 x2x5,就f x x261 4 设fx10 x10 x,就函数的图形关于Y 轴对称0p25lim xxsinx1fx为无穷小量xx 6已知fx1sinx,当时,x 7

3、. 曲线yx 在点 ,11 处的切线斜率是y10.58 函数 y3 x2 1 的驻点是 .x=1p9. 需求量 q 对价格 p的函数为qp100e2,就需求弹性为 E p2三、运算题1已知 y2xcosx,求yx22x 2 ln 22xsinx2cosxx解：y 2xcosxx 2 ln 2xsinx2cosxxxx 2已知f x 2 sin xxlnx ,求fxxcosx解fx 2xln2sinx2xcosx1x3已知ycos2xsinx2,求y x 解yxsin2x2xcosx2 x22xsin2xln2 4已知yln3xe5x,求y x cosxln5解：yx3ln2xlnxe5x5 x

4、3ln2x5e5xx5已知y52cosx,求y；2解： 由于y52cosx52cosxln5 2cosx 2sinx 5所以y 22sin52cosln52ln5222 6设yecos2xxx,求dydy2cos e2xsin2x3x1d x解： 由于y2 ecos2xsin2x3x1所以22227设ysin ex5 cosx,求d esinxcosx25cos4xsinx解： 由于ye sinxsinx5cos4xcosx所以dyesinxcosx5cos4xsinxdx 8设ytanx32x,求d 3x2xln2解： 由于y1x3x32xln2xcos2cos2x3所以d y3 x232x

5、ln2dxcos2x四、应用题1设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：Cx1000.25x26x（万元） , 求：（ 1）当x10时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x为多少时,平均成本最小？解（1）由于总成本、平均成本和边际成本分别为：Cx1000. 25x26xCx 1000. 25x6,Cx 0.5x6x20 x所以,C 101000.25102610185C 101000.25106185.,C1005.1061110（2）令Cx1000. 250,得x20（x20舍去）x2由于x20是其在定义域内唯独驻点,且该问题的确存在最小值,所以当时,平均成本最小 . 3 2某厂生产一

6、批产品,其固定成本为2022 元,每生产一吨产品的成本为 60 元,对这种产品的市场需求规律为q100010p（q为需求量,p为价格）试求：（1）成本函数,收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？解 （1）成本函数 C q = 60 q+2022由于 q 1000 10 p,即 p 100 1 q,10所以 收入函数 R q = p q =100 10 q q =100 1q10 1q 2（2）利润函数 L q = R q -C q =100 q 1 q - 60q +2022 = 40q -1 q -2022 210 10且 L q =40 q-1 q -2022 =40- 0.2q 210

7、令 L q = 0,即 40- 0.2q = 0,得 q = 200,它是 L q 在其定义域内的唯独驻点所以, q= 200 是利润函数 L q 的最大值点,即当产量为 200吨时利润最大3某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 Cq = 20+4q+0.01q2（元）,单位销售价格为p = 14-0.01q（元 /件）,试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？2解 （1）由已知 R qp q 14 0 . 01 q 14 q 0 . 01 q利润函数 L R C 14 q 0 . 01 q 220 4 q 0 . 01 q 210 q 20 0 . 02 q 2就

8、 L 10 0 . 04 q,令 L 10 0 . 04 q 0,解出唯独驻点 q 250 . 由于利润函数存在着最大值,所以当产量为（2）最大利润为250 件时可使利润达到最大,L25010250200. 02250225002012501230（元）4 4某厂每天生产某种产品q件的成本函数为Cq0 5.q236q9800（元） .为使平均成本最低,每天产量应为多少？此时,每件产品平均成本为多少？解 由于 C q C q 0.5 q 36 9800 q 0q q9800 9800C 0.5 q 36 0.5 2q q9800令 C 0,即 0 5q 2 =0,得 q1=140, q2 = -

9、140（舍去） . q1=140 是 C q 在其定义域内的唯独驻点,且该问题的确存在最小值 . 所以 q1=140 是平均成本函数 C q 的最小值点,即为使平均成本最低,每天产量应为 140件. 此时的平均成本为 C 140 0.5 140 36 9800176（元/件）140q 25已知某厂生产 q件产品的成本为C q 250 20 q10（万元）问：要使平均成本最少,应生产多少件产品？解 由于C q =C q = 250q q20q,C = 25020q=250110q10q210令 C =0,即25010,得q 150, q2 =-50（舍去）,q21050 件产品q1=50 是 C

10、 q 在其定义域内的唯独驻点所以, q1=50 是 C q 的最小值点,即要使平均成本最少,应生产积分学部分综合练习一、 单项题1 以下等式不成立的是（） 正确答案： DxAex xdex Bsinxd xdcosC21xd xdx Dlnx d xd1x5 x2 如fx d xe2c,就fx=（1ex）. 正确答案： DxA. ex B.1xC. D.1e2e222244留意：主要考察原函数和二阶导数3 以下不定积分中,常用分部积分法运算的是（）正确答案： CAc os2 x 1d x Bx 1 x 2d xCx sin 2 x d x Dx2 d x1 x1 14. 如 f x e x d

11、 x e x c,就 f x =（）正确答案： CA1 B-1 C12 D-12x x x x5. 如 F x 是 f x 的一个原函数,就以下等式成立的是 正确答案： Bx xAa f x d x F x Ba f x d x F x F a b bCa F x d x f b f a Da f x d x F b F a 6 以下定积分中积分值为 0 的是（） 正确答案： AA11 e x2 e xd x B11 e x2 e xd xC x 3 cos x d x D x 2 sin x d x7 以下定积分运算正确选项（） 正确答案： D1 16A1 2 x d x 2 B1 d x

12、15Csin x d x 0 Dsin x d x 0 228 以下无穷积分中收敛的是（ex）正确答案： C D131dxA1lnx d x B0dx C11 2d xxx9 无穷限积分11 3d xx=（）正确答案： C6 A0 B1 C21 D. 2二、填空题1dex d x 应当填写：ex dx留意：主要考察不定积分与求导数（求微分）互为逆运算,肯定要留意是先积分后 求导（微分）仍是先求导（微分）后积分；2 函数fxsin2x的原函数是x 应当填写： -1 cos2x + c 23 如fx存在且连续,就d f 应当填写：f x 留意：此题是先微分再积分最终在求导；4 如fx d xx1

13、2c,就f x . 应当填写：2 xe1 c5 如fx d xFx c,就exfexd x= . 应当填写：Fx 留意：f FC,凑微分x e dxdex6delnx21 dx. 应当填写： 0 dx1留意：定积分的结果是“ 数值” ,而常数的导数为0 7 积分1x2x1 2dx 应当填写： 0 1留意：奇函数在对称区间的定积分为0 8 无穷积分0 x12dx是 应当填写：收敛的1 由于0 x1dxx11012 1三、运算题（ 以下的运算题要娴熟把握！这是考试的10 分类型题）1x24dx解：x24 2dx= x2d x=1x22xccx2x22 运算sin1 x d x解：sin12sin1

14、d 1cos1 xcxd xx2x2xxxd x2x d x3 运算解：22x22xd xxxln27 4 运算xsinx d xx解：xsinx d xxcosxcosx d xxcosxsinxc12lnx5 运算x1lnx dx1xx12dx =1x22xlnxx2xc解：x1lnx dx=122241解：2e1dx=2e1d1e1216运算2exdxxxxee21x21x21x17e 2x11lnxd x解：e 21x11lnxdx=e 211lnxd1lnx=21lnxe 2=231111解：2 02 xd x =1cos2x2=1xcos2 x dx=1xsin2x2-12 0si

15、n82xcos 2 x d x02024029e1lnx1 d x解 ：e 01lnx1d xxlnx1 e1e1xxd 1x000=e1e11x1 d x1=e1xlnx1 e1lne=1 00留意：娴熟解答以上各题要留意以下两点（1）常见凑微分类型肯定要记住dx1d kxC,xdx1dx2,x e dxdex,1dxd1,1dx2 dx,k2x2xx1dxdlnx,sinxdxdcos ,cosxdxdsinxx,常考的有三种类型要清晰；bbvduuv dxbudvuv（2）分部积分：b aaaa四、应用题（ 以下的应用题必需娴熟把握！这是考试的 20 分类型题 ）1投产某产品的固定成本为

16、36万元 ,且边际成本为Cx=2x + 40万元/百台.试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本 达到最低 .解：又当产量由 4 百台增至 6 百台时,总成本的增量为C6 4 2 x40 d x=x240 x 6= 100（万元）4Cx x 0 Cx dxc 0=x240 x36 =x4036xxx8 令 C x 1 36x 2 0, 解得 x 6 . x = 6 是惟一的驻点,而该问题的确存在使平均成本达到最小的值；所以产量为 6 百台时可使平均成本达到最小 .2 已知某产品的边际成本 C x=2（元 /件）,固定成本为 0,边际收益 R x=12-0.

17、02x,问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产 50 件,利润将会发生什么变化？解：由于边际利润LxRx Cx =12- 0.02x 2 = 10- 0.02x.令Lx= 0,得 x = 500；x = 500 是惟一驻点,而该问题的确存在最大值所以,当产量为 500 件时,利润最大 . 当产量由 500件增加至 550 件时,利润转变量为L550 500 100.02xdx 10 x0 .01x2550 =500 - 525 = - 25 （元）500即利润将削减 25 元. 3 生产某产品的边际成本为C x=8x万元/百台,边际收入为 R x=100- 2x（万元 /百台）,

18、其中 x 为产量,问产量为多少时,利润最大？从利润最大时的产量再生产 2 百台,利润有什么变化？解： L x = R x - C x = 100 2x 8x =100 10 x令 L x=0, 得 x = 10（百台）；又 x = 10 是 Lx的唯独驻点,该问题的确存在最大 值,故 x = 10是 Lx的最大值点,即当产量为10（百台）时,利润最大 .12 12 2 12又 L 10 L x d x 10 100 10 x d x 100 x 5 x 10 20即从利润最大时的产量再生产 2 百台,利润将削减 20 万元.4 已知某产品的边际成本为 C q 4 q 3 万元 /百台 , q

19、为产量 百台 ,固定成本为 18万元 ,求最低平均成本 . 解：由于总成本函数为C q4 q3 d q=2q23 qqc3q18当 q = 0 时,C0 = 18,得 c =18；即3C q =22又平均成本函数为A qCq 182 qqq9 令 A q 2 182 0, 解得 q = 3 百台 , 该题的确存在使平均成本最低的产量 .q所以当 q = 3 时,平均成本最低 . 最底平均成本为 A 3 2 3 3 18 9 万元/百3台 5设生产某产品的总成本函数为RCx3x万元 ,其中 x 为产量,单位：百x15吨销售 x 吨时的边际收入为2x（万元 /百吨）,求： 1 利润最大时的产量；2

20、 在利润最大时的产量的基础上再生产1 百吨,利润会发生什么变化？解： 1 由于边际成本为 C x 1,边际利润 L x R x C x = 14 2x令 L x 0,得 x = 7 ；由该题实际意义可知, x = 7 为利润函数 Lx的极大值点,也是最大值点 . 因此,当产量为7 百吨时利润最大 .2 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时,利润转变量为L8 7 142 x d x 14 x2 x8= - 17（万元）即利润将削减 1 万元 .线性代数部分考核要求与综合练习题第 2 章 矩阵1明白或懂得一些基本概念（1）明白矩阵和矩阵相等的概念；（2）明白单位矩阵、数量矩阵和对称矩阵的定义和性质

21、；（3）懂得矩阵可逆与逆矩阵概念,知道矩阵可逆的条件；（4）懂得矩阵初等行变换的概念；2娴熟把握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算,把握这几种运算的有关性质；3娴熟把握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵,解矩阵方程；10 第 3 章 线性方程组1明白线性方程组的有关概念：数矩阵、增广矩阵、一般解；n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系2懂得并娴熟把握线性方程组的有解判定定理；娴熟把握用消元法求线性方程组的一般解； 3.娴熟把握线性方程组解得情形判定定理线性代数部分综合练习题一、单项挑选题1 设 A 为32矩阵, B 为23矩阵,就以下运算中（）可以进行 .正确答案： A AAB BAB

22、T CA+B DBA T2 设 A, B 为同阶可逆矩阵,就以下等式成立的是（） 正确答案： B T T T T T TA. AB A B B. AB B AT 1 1 T 1 T 1 1 1 TC. AB A B D. AB A B 留意：转置矩阵、逆矩阵的性质要记住3 以下结论或等式正确选项（）正确答案： C BCA如A,B均为零矩阵,就有AB B如ABAC,且AO,就C对角矩阵是对称矩阵 D如AO,BO,就ABO4 设 A是可逆矩阵,且AABI ,就 A1（）. 正确答案： CA.BB. 1B C. IBD. IAB1留意：由于 AI+B=I, 所以 A1I+B5 设A 12 ,B13,

23、 I 是单位矩阵,就T ABI（）正确答案： D AA1132 B12 C22 D2326363525036 设0013,就 rA =（） 正确答案： C 2413 A4 B3 C2 D1 11 7 设线性方程组AXb的增广矩阵通过初等行变换化为13126,就013140002100000此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（）正确答案： A A1 B2 C3 D48 线性方程组 A. 无解 9设线性方程组x 1x 21解的情形是（） 正确答案： A x 1x 20B. 只有 0 解 C. 有唯独解 D. 有无穷多解A mnXb有无穷多解的充分必要条件是（）正确答案： D ArArA m

24、BrAn Cmn DrA rA n）AXAXO（10. 设线性方程组b有唯独解,就相应的齐次方程组 A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定正确答案： C二、填空题1如矩阵 A = 1 2,B = 2 3 1,就 A TB=应当填写：2 3 14 6 22 2 22 设 A, B 均为 n阶矩阵,就等式 A B A 2 AB B 成立的充分必要条件是 . 应当填写：A, B 是可交换矩阵1 0 23 设 A a 0 3,当 a 时, A是对称矩阵 . 应当填写： 0 2 3 14 设 A, B 均为 n阶矩阵,且 I B 可逆,就矩阵 A BX X 的解 X= 1应当填写： I B Ax

25、1 x 2 05 如线性方程组 有非零解,就应当填写： - 1x 1 x 2 06 设齐次线性方程组 A m n X n 1 0,且秩 A = r n,就其一般解中的自由未知量的个数等于应当填写： n r12 7 齐次线性方程组AX01123就此方程组的一般解的系数矩阵为A0102为. 2 x 3x 40000应当填写：x 1 其中x3, x 4是自由未知量 x22x 4三、运算题 （以下的各题要娴熟把握！ 这是考试的 15 分类型题 ）1 设矩阵 A =012,求逆矩阵A1114210解： 由于 A I = 012 100114 01011401021114 010012 100012100

26、210 001038 021002 321114010110642100201210001042101042100131100131100131122：2222211所以 A- 1=42132112留意：此题也可改成如下的形式考例如 ：解矩阵方程 AX=B, 其中A0121A1B1114,B0,答案：X3又如：已知A210110121114,B0,求1 A B21012 设矩阵 A =113115,求逆矩阵IA 112113 解： 由于IA100113013且1065010115105,100001121120013100105010105010105010013100013100010533

27、1200010250110012110012111065所以IA 153321111,B =123,运算 BA-13 设矩阵 A =02012202311=5 43解： 由于 BA=1 002122013 25 25220 BA I =53101111111114201420102450121 23 25 2所以 BA- 1=4 设矩阵A11212,B12,求解矩阵方程XAB3523解： 由于121012101052, 即3501013101313531所以 X =12121=1252= 1023352331115求线性方程组x12x 3x 40 x 1x 23x 32x40的一般解2x 1x25x33x 4014 102110211021解： 由于A113201110111215301110000