6-2-2 向量的数乘运算-2020-2021学年高一数学同步教学课件（人教A版2019必修第二册）

1、第6章 平面向量及其应用6.2.2 向量的数乘运算 当 时， 的方向和 的方向相同； 当 时， 的方向和 的方向相反； 当 时， .向量的数乘1向量数乘的定义 一般地，我们规定实数 和向量 的积是 一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度和方向规定如下： 向量数乘的结果仍然是向量，这 个向量的长度、方向都和 以及 有关；实数和向量可以相乘，但不能相 加减， ， 无意义；表示和向量 方向相同的单位 向量根据向量的数乘运算，向量 与 的方向相 同 或相反 .向量的数乘1向量数乘的几何意义 如图，在向量数乘中， 可视为将向量 的长度伸长 或缩短 的倍数. 的符号表示是够改变向量的方向，当

2、时，向量 的方向和 相同；当 时，向量 的方向和向量 相反；当 时，向量理解意义常见的误区 当 或 时，均有 ,反之亦成立，即 容易出错的是当 或 的时候，误将 当成实数0向量的数乘1向量数乘的运算律设 ， 为向量， ， 为实数，则：（1）（2）（3）特别地，有向量数乘运算律的验证以(1) 为例验证：若 或 或 ，显然成立；若 且 且 ，则根据向量数乘的定义有 ，以及即 与 的模长相等.综上，注意 ， ， 这些特殊情况及 ， 同号、异号的情况. 第二分配率的几何意义：将表示向量 ， 的有向线段先相加，再伸长或缩短 倍， 与将表示向量 ， 的有向线段先伸长或缩短至原来的 倍后再相加，所得的结果相

3、 同. 结合率的几何意义：将表示向量 的有向线段先伸长或缩短至原来的 倍，再伸长或 缩短 倍，与将表示向量 的有向线段伸长或缩短至原来的 倍所得的结果相同.向量的数乘1运算律的几何意义 以 为例，解释如下： 第一分配率的几何意义：将表示向量 的有向线段伸长或缩短至原来的 倍，与 将表示向量 的有向线段先伸长或缩短至原来的 倍后，在与表示向量 的有向线段 伸长或缩短至原来的 倍后相加所得的结果相同.化简下列各式：【解】(1)原式=(2)原式=向量的线性运算2 向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算，线性运算的结果还是向量.对于任意向量 ， ，以及任意实数 ， ， ，恒有以下等式成立：线性

4、运算难点点拨【1】向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取 公因式”，只不过这里的“同类项”“公因式”都是向量，实数可以看做是 向量的系数.【2】对于向量的线性运算，关键是把握运算顺序，即先根据运算律去括号，再 进行数乘运算，最后进行向量的加减，即“先乘除，后加减”.向量共线定理3向量 与 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使 向量共线定理理解点拨 向量共线定理中规定 的原因：若将 去掉，则当 时，显然 和 共线；当 ，若 ，则不存在实数 使 成立，此时 与 不共线.当 时，若 ，则对一切的实数 ，都有 ，与“有唯 一 一个实数 ”矛盾.向量共线定理3向量共线的条件

5、【1】当向量 时， 与任意向量 共线；【2】当向量 时，对于向量 ，如果有一个实数 ，使 ，那么由 向量数乘的定义知 与 共线. 【3】反之，已知向量 与 共线，且向量 的长度是向量 的长度的 倍，即 ，那么当 与 同方向时，有 ；当 与 反向时，有 .【4】如果向量 与 不共线，且 ，那么 .三点共线4三点共线的判定定理 对于平面内任意三点A、B、C，O为平面内不在A、B、C所在直线上的任意一点，设OC= OA+ OB，若实数 ， 满足 ，则A、B、C三点共线.三点共线的判定定理的证明 若存在实数 ， ，使得OC= OA+ OB，其中 ，O为平面内不在A、B、C所在直线上的任意一点，则OC=

6、 OA+ OB= OA+ OB 所以OC-OA= (OB-OA)，即AC= AB，所以AC与AB共线.又因为AC与AB有共同的起点，所以A、B、C三点共线. 在ABC中，D是AB边上一点.若AD=2DB，CD= CA+ CB，求 .【解】由题意可得A、B、D三点共线，C为A、 B、D所在直线上一点，且 CD= CA+ CB，则 ， 所以 E是AC的中点，所以四边形ABCG是平行四边形，所以AG=BC，所以DG=DA+AG= .又EF是BGD的中位线，所以 EF= GD= DG，所以EF= . 因为四边形ABCD不一定是梯形，所以E点不一定是BG的中点. 平面几何性质运用不准确坑如图，E、F分别

7、是四边形ABCD对角线AC、BD的中点，设BC= ，DA= ，试用 ， 表示EF.【错解】连接BE并延长，交CD于G，连接AG，如图.在ABC中，EP是中位线，所以PE= BC+ . 平面几何性质运用不准确坑如图，E、F分别是四边形ABCD对角线AC、BD的中点，设BC= ，DA= ，试用 ， 表示EF.【正解】如图，取AB的中点P，连接EP，FP.在ABD中，FP是中位线，所以PF= AD= DA= .所以EF=EP+PF=-PE+PF= 【解】根据向量相等的概念，显然 可以得到 ，A正确； 忽视零向量坑已知平面向量 ， ， ，下列说法正确的是哪个？若 ，则若 ，则若 若 / ， / ，则 / 因为向量包括大小和方向，所以 得不出来 ，故B错误；若 或 ，故C错误；若 ，满足 / ， / ，但得不出 / ，故D错误.【错解】A、B、D三点共线，证明如下： 混淆“向量共线”和“线段共线”坑已知非零向量 ， 不共线，且AP=2 ，PB= ，CQ= ，QD= ，能否判定A、B、D三点共线?所以CD=-2AB，即A、B、D三点共线.【正解】无法判定A、B、D三点是否共线，原因如下：所以CD=-2AB，但向量共线包括线段平行和共线两种情况，所以无法判断.已知ABC的边BC上有一点D满足BD=3DC，则AD可以怎么表示