固体物理课件第4章阅读版

1、晶格振动与声子Chapter 4 Lattice vibrationli1内容提要单原子结构基元情况下的晶格振动基元中含有两个原子的情况弹性波的量子化声子动量声子引起的非弹性散射Chapter 4 Lattice vibrationli2固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型），即认为固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内，了X光衍射发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。只有深

2、入地了解了晶格振动的规律，的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。Chapter 4 Lattice vibrationli3Chapter 4 Lattice vibrationli4晶格振动的研究始于固体热容研究，19 世纪初人们就通过Dulong-Petit 定律认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到20世纪初才由Einstein 利用Pl量子假说解释了固体热容为什么会随温度降低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子振动的研究，1912年(Born，

3、1954年 Nobel物理学奖获得者)和-Karman)冯卡门（了论晶体点阵振动的，首次使用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年的更为简单的Debye热容理论（弹性波近似）已经可以很好的说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye模，所以1935年Blakman才重新利用Born和-Karman近型似晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。后来先生在晶格振动研究上成就突出，特别是1954年和Born共同写作的晶格动力学一书已成为该领域公认的著作。Chapter 4 Lattice vibrationli5晶格振动的经典理论一.二.三.四.五.一维单原子链的晶格振动

4、一维双原子链的晶格振动三维晶体中原子的振动 态密度函数近似条件与使用范围参考：3.23.4节（p82-103）3.8节（p132-137)Kit书4.1 和 4.2两节晶格振动虽是一个十分复杂的多粒子问题，但在一定条件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最典型的例子，它的振动既简单可解，又能较全面地表现出晶格振动的基本特点。Chapter 4 Lattice vibrationli6一维单原子点阵的振动(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原子质量为M。第s-2个原子第s-1个原子第s个原子第s+1个原子第s+2个原子aus-1usus-2us+1us+2Ch

5、apter 4 Lattice vibrationli7简谐近似描述1: 力的角度这一章要考虑原子在平衡位置附近的振动简谐近似简谐近似认为振动是小振动，即振幅很小，这种振动的位移与力之间是满足线性关系的。F = - cxChapter 4 Lattice vibrationli8简谐近似原子间有相对位移从能量的角度两原子间相互作用势也有变化可将势能展开成级数：描述2：能量的角度Chapter 4 Lattice vibrationli9振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（u）二次方以上的高次项，只保留到(u)2项。-简谐近似第s-2个原子第s-1个原子第s个原子第s+1个原子第s+2个原子aus

6、-2us+1us+2us-1us第s个原子所受到的力等于所有原子作用力的总和：Chapter 4 Lattice vibrationli10作用方程只考虑最近邻原子的作用，设其力常数为C，则 F Mu&s C（us1 us1 2us）给出试探解 Ae（i t sqa）（s 1.2.3.N )usChapter 4 Lattice vibrationli11F Mu&s c（pus p us）（s 1.2.3.N )p试探解晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关系，即原子的振动形成了波，这种波称为。Chapter 4 Lattice vibrationli12相邻原子间的位相差为qa同

7、一振幅A振动原子都以同一频率i (t sqa )us Ae（s 1, 2, 3,., N )简谐振动方程F Mu&s C（us1us12us）试探解 Ae（i t sqa）（s 1.2.3.N )us将试探解代入振动方程得振动频率:色散关系Chapter 4 Lattice vibrationli13(晶格振动谱)it saq i Aeu&s代入试探解: 2 A e i t saq 推导过程 i t saq MA e2Mu&n左边 C Aei t s1aq Aei t s1aq2 Aeit saq右边M 2 C2 (cos aq i sin aq) (cos aq i sin aq)aq C(

8、2 2 cos aq) 4C sin22Chapter 4 Lattice vibrationli142.色散关系由色散关系式可画图如下:m2 / a / a0 / a2 / aChapter 4 Lattice vibrationli15一维单原子链就像一个低通滤波器，只能0 max的弹性波，高于 max频率的弹性波被强烈衰减。m（一个倒格矢长度）q2 / a02 / a / a / aChapter 4 Lattice vibrationli16是q的周期性函数, 周期为2/a。是q的偶函数(-q)= (q)（称之为色散关系的反演对称性）卡门(Born-Karman)周期性边界条件一维无限

9、长单原子晶格_ 所有原子是等价的每个原子的振动形式都一样实际晶体为有限_形成的链不是无穷长链两头的原子_不同于中间原子Chapter 4 Lattice vibrationli17 N个原子头尾相接形成环链保持所有原子等价特点 N很大原子运动近似为直线运动 处理问题时考虑到环链的循环性un设第n个原子的位移再增加N个原子之后第N+n个原子的位移uN nChapter 4 Lattice vibrationli18则有 uNu ni A et( NAiet n)aqnaqnNaq 2eiNaq 1h因此q 2 h Na h为整数的取值范围 q aaN1, N3 NL,N, NN h22 ,L1

10、,0222222Chapter 4 Lattice vibrationli19q 2 h NaN h N22h N个整数值 qN个不同的分立值。但是，在周期即可把实际晶体当作理想晶体性边界条件下，的只能取一系列分立值。q 2Na2每个在第一区占的线度第一区的线度a 2 / a 2 / Na N第一区状态数Chapter 4 Lattice vibrationli20q的取值限制 (周期性边界条件)的研究对象是理想晶体（所以可借用波函数来处理），边界上与的原子是一样的，既理想晶体不考虑晶体边界，没有边界效应。对实际长为L的一维原子链，要作为理想晶体来对待,就要用到周期性边界条件(即循环边界条件或

11、边界条件).这个边界条件的意思是相当于将晶体的首尾相接构成一个圆环,第1个原子与第N+1个原子重合。Chapter 4 Lattice vibrationli21BornKarman 最早利用的周期性边界条件既能使运动方程可解，又能使结果符合实际晶体的测量为固体理论的一个典范。？成至目前为止，尚未找到其它边界条件可以获得与实验更加符合的结果，所以周期性边界条件成为的晶格振动唯一选项。处理周期性边界条件并没有改变方程解的形式，只是对解提出一定的条件，q 只可取N个不同的值，每个q对应着一个。Chapter 4 Lattice vibrationli22注意周期性边界条件下，q取值有很多，可以有无

12、数个。q取值限制在一定范围内但实际中须将区内，长度相当一个倒格矢G的大小即一个Chapter 4 Lattice vibrationli23q与qG对应的是同一个！Chapter 4 Lattice vibrationli24根据前面推导情况可知：是q的周期性函数, 最小周期为2/a（一个倒格矢G）以一个周期内的所有q值代表允许存在的任意q的情况。将特定取法的一个周期称为(简约/第一区。oaa区)Chapter 4 Lattice vibrationli25 mq移动一个周期（G）对位移的影响：当Q q G)eis 2 n 1Chapter 4 Lattice vibrationli26可见，

13、当q平移一个倒格，所对应的频率及每个原子的位移都是相同的，这两个是同一个。1 4a由红线所代表的波不能给出比蓝线的信息。为了表示这个 4 a运动，只需要大于2a的波长。25a2a3a4a由图明显看出两个不同波长的种振动状态，q 只需要在第一只表示晶体原子的一区内取值即可，这是与连续介质弹性波的区别。Chapter 4 Lattice vibrationli27 2注 意：勿 混淆nNa q的取值：2q的周期(倒格矢)： Gna一个区(周期)中拥有的q的数目：区中的q值数目晶体中原胞的数目。对长为L的一维原子链中的独立的简正模式数等于晶体中的原子数。Chapter 4 Lattice vibra

14、tionli28两情况q0的条件下，利用级数展开， C / M q2a22得Chapter 4 Lattice vibrationli29q0的条件下两种情况q = 2 0a、长波极限().色散关系:q2 aoa2 a aChapter 4 Lattice vibrationli30在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，可视为弹性波。b、短波极限下Chapter 4 Lattice vibrationli31 / a的波长比点阵常数大的多时,可以它表明当把当作连续介质中的弹性波处理（色散关系是线性的）。也就是说可以把晶体看作连续介质，当a时，点阵的分立性就显示不出来，时感觉不到分立性，若波长

15、缩短，分立结构的特性对的影响就逐渐来，色散关系的线性关系就要改变，当=2a时，q / a里渊区边界，发生了Bragg反射。，正处在布Chapter 4 Lattice vibrationli32群速若晶体中有一个扰动，有一个原子偏离了平衡位置。由于原子间有相互作用，则这个扰动可以看作是基本组成的波包的运动，波包的运 d dq动速度是的群速，vg。它是有一系列叠加起来的波包的运动，波包中心所对应的速度为群速度，它是介质中能量传输的速度。Chapter 4 Lattice vibrationli33 d dqvg由于：对q微商：如图：Chapter 4 Lattice vibrationli34一

16、维双原子点阵的点阵振动Chapter 4 Lattice vibrationli35模型:一维无限长原子链，原子质量为M1和M2。同种原子间距均为a，恢复力系数为c。M1M2vs-1us+1us-1usvs可假设原子间的力常数是一样的在简谐近似下，用最近邻近似，认为各原子之间是用同样的弹簧联系起来的。Chapter 4 Lattice vibrationli361.方程M1M2vs-1us+1us-1usvs取第s个红色原子为研究对象：只考虑最近邻原子的作用Chapter 4 Lattice vibrationli372.色散关系u v ue i ( t sqa ) ve i ( t sqa

17、)s取试解 s2c M c(1 eiqa )2 01c(1 eiqa )2c M 22Chapter 4 Lattice vibrationli38展开此行列式：得：上式中取“”号时，有较高频率称为光学支色散关系，取“”号时，有较低频率称为声学支色散关系。Chapter 4 Lattice vibrationli39Chapter 4 Lattice vibrationli40q的取值限制-卡门边界条件，设晶体有N个原胞，则：由(共有N个值)由N个原胞组成的一维双原子链，的数目为N，频率的数目为2N，(振动模式)数目为2N。一维双原子链，每个原胞有两个原子，晶体的度数是2N。Chapter 4

18、 Lattice vibrationli41一维双原子链得到了两个解，两种色散关系，它们都是 q 的周可知，q 取值范围也在第一是a，倒易点阵期函数，和一维单原子相同的区（ 2 ）内。此时点阵a度是（ 2 ）a图中一维双原子链晶体可作 / a / aq带通滤波器.Chapter 4 Lattice vibrationli42每个的线度第一区允许的q值的数目一个q有两支 一支声学波和一支光学波总的数目 2N 原子的数目Chapter 4 Lattice vibrationli43情 况 1 长波极限长波极限时色散关系(q0, 即a)代入色散关系：(接近于常数)光学波：声学波：Chapter 4

19、Lattice vibrationli44推导过程 c(M1 M 2 ) 11 2M1M 2 (1 cos qa)2(M M)2M M1212 c(M1 M 2 )22M1M 2 q a211(M M)2M M1212x当 M 2 ) 1 (1 122 c(M1M1M 2 q a2)2 (M M)2M M1212 c(M1 M 2 )221 M1M 2 q a112(2)2 )2c（）2 (M MM MMM121212 c(M1 M 2 ) 122M1M 2 q ac222q a2 (M M)2M M 2）M M（212121Chapter 4 Lattice vibrationli45长波极

20、限下 声学波、光学波两种原子各自振幅比Chapter 4 Lattice vibrationli46当q0 时:对光学波【“”号的一支】:e iq a） （c 1 c (1 1)Muv 2 2 c 112 MM2 c 2 c M()111MM12对声学波【“-”号的一支】:e iq a） （c 1 c (1 1)uv2 c 12 c cq 2 a22 M2 c2 c M112( MM)12Chapter 4 Lattice vibrationli47u M 2v长波时光学波【“”号支】振动情况:M1相邻原子振动方向是相反的。它表明同一个初基晶胞中的两个原子每时每刻的振动位相是相反的，而且是质心

21、不动的，不同的初基晶胞有一eiqa 。个位相差在离子晶体中由于它们不断的反位相振动，电偶极距可与电磁波耦合，这种振动模式可用光波来激发，故称之为光学支振动模式，实际上它是简正模式中的一部分，而不是光波，它可与光波耦合，但不要与光波。Chapter 4 Lattice vibrationli48u / v 1长波时声学波【“-”号支】振动情况:声学波这表明qaa时，可把晶体看作连续介质:uu0 cos (qx-t)描写的振动是一个行波，它的能量有一半是动能，另一半是弹性势能：动能：Chapter 4 Lattice vibrationli76将uu0 cos (qx-t)代入得：整个晶体中总动能

22、的平均值为：（之所以在右项出现1/2因子是因为动能只占整个动能的1/2，另外1/2是势能），由此这就是的振幅与声子数之间的关系。Chapter 4 Lattice vibrationli773、每个平均能量由于声子是简正模式的能量量子，若其能量为：其量子数n可取0的一切值，是不受任何限制的，因此声子服从玻色统计规律，在温度为时，一个频率为(注意：一可对应于很多个模式上的声子数为：q)，量子数为n的简正Chapter 4 Lattice vibrationli78如此,即可以把点阵振动的子语言”来描述，利用“方便的多。“波动语言”用“粒粒子语言”处理问题要与电子波的互作用声子与光子的碰撞.但声子

23、是一种拟粒子。而不是基本粒子。Chapter 4 Lattice vibrationli79声子动量Chapter 4 Lattice vibrationli80的能量：用声子表示。的实际动量:0,并不携带无物理动量,这一点还可用数学方法来证明。Chapter 4 Lattice vibrationli81考虑一个一维单原子链,点阵常数为a,点阵振动的简正模式:所有的原子都有位移,总动量应等于所有原子的位移时间微商(即对s求和)利用公式:Chapter 4 Lattice vibrationli82L=na P=0这就说明无物理动量,它的总动量为零。Chapter 4 Lattice vibr

24、ationli83声子没有物理动量。但平常这些有声子参与把量hq 称的过程中，为处理问题方便起见，为声子的准动量或声子的晶体动量，主要是由于它的性质类似于一个动量。这样凡是有声子参与的碰撞过程中动量守恒依然存在。Chapter 4 Lattice vibrationli84声子的性质与说明Chapter 4 Lattice vibrationli85声子的性质与说明：声子是晶格振动的能量量子。当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以为单元交换能量，若电子交给晶格的能量，称为发射一个声子；若电子从晶格获得的能量，则称为吸收一个声子。一即一种振动模式对应于一种声子，对于由N个原胞（每个原胞有n个原

25、子）组成的三维晶体，有3nN，即有3nN种声子。当一种振动模式处于其能量本征态时，称这种振动模有n个声子。Chapter 4 Lattice vibrationli86声子具有能量，也具有准动量q，它的行为类似于电子或光子，具有粒子的性质。但声子与电子或光子是有本质区别的，声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实的粒子。这种具有粒子性质，但又不是真实物理实体的概念称为准粒子。所以，声子是一种准粒子。而光子是一种真实粒子，它可以在真空中存在。Chapter 4 Lattice vibrationli87声子与声子相互作用，或声子与其他粒子（电子或光子

26、）相互作用时，声子数目并不守恒。声子可以产生，也可以湮灭。其作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。因为晶体中有3nN个振动模式，即有3nN种不同的声子。因此，晶格振动的总能量为：Chapter 4 Lattice vibrationli88声子的能量是hi ，动量是hq ，声子是一种玻色型准粒子。引入声子的概念不仅能生动地反映出晶格振动能量量子化的特点，而且在处理与晶格振动有关加方便和形象。时，可以更应用举例1：处理晶格振动对电子的散射时，便可以当作电子与声子的碰撞来处理。应用举例2：热传导可以看成是声子的扩散；热阻是于声子被散射等等。使许多复杂的物理问题变得如此形象和便于处理是引入声子概念的最大

27、好处。Chapter 4 Lattice vibrationli89但它的动量不是真实动量，因为当增加一个倒格矢量时，不会引起声子频率和原子位移的改变。即从物理上看，它们是等价的，这是晶体结构周期性的反映。但在处理声子同声子、声子同其它粒子之间的相互作用时，又具有一定的动量性质，所以叫做“准动量”。Chapter 4 Lattice vibrationli90k=k+q+G选择定则:声子没有物理动量，所有动量（G）由晶体整体承当。真实的动量和能量是守恒的。外界粒子与晶格发生作用后，动量守恒的形式：k-k-kk=q(q+G)k=k+q+Gk-k=q+GChapter 4 Lattice vibr

28、ationli91弹性散射在第二章中已讲过，对x-ray的弹性散vk k S ，既是Laue衍射条件，又是波射条件k 方向就有矢选择条件，凡是满足这个条件沿反射束，凡不满足这个条件x-ray将沿k方向传播而不受反射，若对上式两边都乘以 h ，则可看hk hk hS ，它表明反作动量守恒的形式，即射光子的动量等于入射光子的动量加上从点阵中获得的动量，hS是从点阵中获得的动量， hS相当于点阵的反冲动量，这个动量通常是很难观察到的，就好象皮球打在墙上而观察不到墙的反冲动量一样。Chapter 4 Lattice vibrationli92非弹性散射在x-ray的非弹性散射的能量关系中，x-ray与

29、点阵有能量交换，从而可以激子，或者从点阵中吸收声子（热振动动能）也就是说这种能量交换既可能激发点阵的热振动，也可能吸收点阵的热振动。据量子力学：式中k为入射，q为声子【+q对应于声子的产生过程。-q对应于声子的吸收过程】，上式也是x-ray在晶体中发生非弹性散射的选择条件。Chapter 4 Lattice vibrationli93两边乘以h得：当 Gn 0 时：Chapter 4 Lattice vibrationli94中子的非弹性散射测量声子能谱Chapter 4 Lattice vibrationli95的色散关系也叫做声子的能谱。它表示频率与之间的关系，在实际晶体中由于力常数是一个

30、较复杂的量，色散关系难用数学方法计算出来。通常是用实验方法测得的。Chapter 4 Lattice vibrationli96通常考虑的是单声子过程，既吸收或产生一个声子的过程，单声子过程在整个声子产生和吸收的过程中几率很大。由于非弹性散射，在散射过程中，根据能量守恒定律，入射中子经散射后，能量和动量也要发生变化，若能测出中子在散射过程中的能量损失与子的色散关系来。变化就能测出声Chapter 4 Lattice vibrationli97k k若入射中子的散射后中子的中子质量为M N，能量守恒定理射中子的能量：散射中子的能量：据能量守恒定理：Chapter 4 Lattice vibrat

31、ionli98动量守恒定理（亦称选择条件）：对于产生声子的过程：式中各个k分别是什么？Chapter 4 Lattice vibrationli991）、对于吸收声子的过程：相应地有：从而实验获得k之间关系。Chapter 4 Lattice vibrationli1002）、对于产生声子的过程：即这样就可把中子能量的改变E-E作为改变的函数来处理。Chapter 4 Lattice vibrationli101射中子的能量E与是已知的，测出E及就可决定色散关系，即可测出散射过程量的增益(或损失)以及散射中子的子能那么声子的可由定出，而对应的到色散关系中的可由E-E定出，这样便一个点，改变E或

32、改变的方向，再测能量变化和便可求出色散关系中的另一个点，如此多次取点便到整个色散关系。Chapter 4 Lattice vibrationli102确定晶格振动谱的实验方法晶格振动的频率和的关系晶格振动的振动谱晶格振动的振动谱测定方法中子非弹性散射X射线散射散射散射光子与晶格的非弹性散射Chapter 4 Lattice vibrationli1031中子非弹性散射p2vp and E 入射晶体时中子的动量和能量2Mnp2v pand E出射晶体后中子的动量和能量2Mn能量守恒Chapter 4 Lattice vibrationli104能量守恒动量守恒G n b n bv n b倒格子矢

33、量n112233声子的准动量Chapter 4 Lattice vibrationli1052中子能量0.020.04eV声子能量10eV测得各个方位入射和散射中子的能量差确定声子的频率入射中子和散射中子方向的几何关系确定声子的得到声子的振动谱从反应堆出来的慢中子的能量与声子的能量接近测定中子散射前后能量变化_给出声子能量信息Chapter 4 Lattice vibrationli1062光子与晶格的非弹性散射入射光子 ,kk散射光子入射光子受到声子散射_变成散射光子(与此同时在晶格中放出_或者吸收一个声子能量守恒作用过程满足动量守恒固定入射光的频率和入射方向测量不同方向散射光的频率_得到声

34、子的振动谱Chapter 4 Lattice vibrationli107入射光子受到声子散射在晶格中放出一个声子或者吸收一个声子Chapter 4 Lattice vibrationli1081)光子与长声学波声子相互作用光子的散射q() vpq长声学波声子cvcvkk光子的频率pnn大小近似相等kq如果光子与声子可见光光子的105cm-1 ( q )h h k k散射前射光子与散射光子的大小近似相等Chapter 4 Lattice vibrationli109q 2k sin长声学波声子的2不同角度方向测得散射光子的频率_得到声子频率(q) (声子振动谱散射光和入射光的频率位移 1107

35、 3 1010 Hz散射Chapter 4 Lattice vibrationli1102)光子与光学波声子的相互作用光子的散射能量守恒动量守恒可见光或红外光要求声子的很小必须很小光子的散射限于光子与长光学波声子的相互作用 3 1010 3 1013Hz频率位移Chapter 4 Lattice vibrationli1113X光非弹性散射X光光子具有更高的频率_可以很大用来研究声子的振动谱X射线的能量 104 eV102 eV远远大于声子能量实验上很难精确地直接测量X光在散射前后的能量差因此确定声子的能量是很的Chapter 4 Lattice vibrationli112晶体热容的量子理论

36、固体的定容热容E固体的平均内能固体内能晶格振动的能量和电子热运动的能量Chapter 4 Lattice vibrationli113实验结果低温下金属的热容电子对热容的贡献晶格振动对热容的贡献温度不是太低的情况_忽略电子对热容的贡献Chapter 4 Lattice vibrationli114晶格振动对热容的贡献经典理论一个简谐振动平均能量 kT能量均分定理B 3NkBN个原子_总的平均能量ETE) 3Nk 3RC(摩尔固体热容ABVVT珀替定律在低温时热容量随温度迅速趋于零!Chapter 4 Lattice vibrationli115晶格振动对热容的贡献量子理论一个频率为j的振动模对

37、热容的贡献 (n 1 )h频率为j的振动模由一系列量子能级 E组成jjj2子体系 (n 1 )hE子体系处于量子态的概率jjj2kBTChapter 4 Lattice vibrationli1161 )h 的概率kBT子体系处于量子态 E (njjj2xn1 x1)n(e n j h / kBT e n j h / kBTPnj / kBThx en j enj h j / kBT (1 eh j / kBT )Pn j Pn j Ejn jEj一个振动模的平均能量Chapter 4 Lattice vibrationli117(n 1 )h Pn jn jE振动模的平均能量PEjjn jj

38、n jj2h j n j h jh2)h n eEj (1 ekBTkBTjjjn j xnxn n(1 x)2h jh j / kBT 1 hEjj12e hkBTx eChapter 4 Lattice vibrationli118h jeh j / kBTE 1 h一个振动模的平均能量jj12 ( Ej )C j一个振动模对热容贡献VVTh jh jekBTh jCV kB ( k T )j2B(ekBT1)2与晶格振动频率和温度有关Chapter 4 Lattice vibrationli119h / kBThej kj )2C j (一个振动模对热容贡献(eh j / kBTVB 1

39、)2k TBkBT h j高温极限 1 h j 1 ( h j )2 LLeh j / kBTkBT2kBT(1 h j L)( h jkBT kC j)2hhVBk T1j(j )2 L2BkBT2kBTChapter 4 Lattice vibrationli120T h jkB(1 h j L)忽略不计( h jkBT kC j)2hhVBk T12j(j )2 L2B忽略不计kBTkBT与珀替定律相符Chapter 4 Lattice vibrationli121hh / kBTej kj )2C j (一个振动模对热容贡献(eh j / kBTVB 1)2k TBkBT h j低温极

40、限eh j / kBT 1( h j1eh j / kBT kC j)2VBk TB 0T 0CV与实验结果相符Chapter 4 Lattice vibrationli1223NE (T ) E j (T )j1晶体中有3N个振动模_总的能量Ej (T ) E(T )3Nj1晶体总的热容CVVVTT3NC CjVVj1hh/ k T3NejBC kj)2 (eh j / kBTVB1)2k Tj 1BChapter 4 Lattice vibrationli123模型所有原子的振动频率 0N个原子的晶体h jh j / kBT3N h0 3 N h3N j112h总能量E()h0 / kBT

41、0j 1 12eeE) 3C(Nk热容BVVT3CNBk)VChapter 4 Lattice vibrationli124(h0Bk f TBh2eh0 k/B T(0)kT(eh0 k/B T 1 2 )Bf ( h0 ) 热容函数Bk TBh0 kB温度Ee E / T32CNBk(E)V1/ T2 )T (eEE值选取 较大温度变化范围理论与实验结果符合大多数固体10E 0K3K00Chapter 4 Lattice vibrationli125E h0 / kBheh0 / kBT(0 )2k T(eh0 / kBT 1)2BE 1320 K石理论计算和实验结果比较Chapter 4

42、 Lattice vibrationli126eE /TCV 3NkB ( E )2晶体热容E /T1)2T(eh0k h 1 T温度较高时BE0Ek TBeE / T1(eE(eE eE / 2T )2 1)2/ T/ 2T 1 EeE/ 2T2TChapter 4 Lattice vibrationli127eE /TCV 3NkB ( E )2晶体热容E /T1)2T(eeE / T1T2( )(eE 1)2/ T)2(E2TE2TE温度较高时与珀替定律相符Chapter 4 Lattice vibrationli128eE / TCV 3NkB ( E )2晶体热容 1)2/ TT(e

43、Eh0 1温度非常低时kBTE T h0he EC 3Nk 10 )2 ekBT/ T(VBkTB按温度的指数形式降低Chapter 4 Lattice vibrationli129 h0h32 e) kT0T晶体热容CNk(BVBkB按温度的指数形式降低3 实验结果CATV模型忽略了各的频率差别Chapter 4 Lattice vibrationli130德拜模型1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代表将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质有1个纵波和2个独立的横波 Cl qFor Longitudinal WaveFor Transverse Wave色散关系 C qt不同q的纵波和横波

44、晶格的全部振动模不同频率的振动模能量不同Chapter 4 Lattice vibrationli131V三维晶格_态密度V为晶体体积23()的取值在q空间形成了均匀分布的点子q是准连续变化的dq球V2q42dq状态数目(3 )Chapter 4 Lattice vibrationli132频率近似连续取值频率在 d之间振动模式的数目 dn g( )dg( )振动频率分布函数或振动模的态密度函数h / kBThejC kj )2 (一个振动模的热容(eh j / kBTjB 1)2k TBChapter 4 Lattice vibrationli133h / kBThejC kj )2 (一个

45、振动模的热容(eh j / kBTjB 1)2k TBmheh / kBTCV kB ( k T )g()d2晶体总的热容(eh / kBT1)2B0 振动频率分布函数g( ) 和m的计算Chapter 4 Lattice vibrationli134V2d之q 间的振动方式的数目(4q2dq3 )q Cldq dClVd 之间_纵波数目2 d22 C3lVd 之间_横波数目2d2 C232td 之间_数目Chapter 4 Lattice vibrationli13512V频率在 d 间_2d3 ) (数目Ct232Cl3V2 2C3g() 2频率分布函数m0/( N )g( ) d3 C62总的数目3NmVChapter 4 Lattice vibration