INS理论与技术06(复合运动与惯导基本方程)

1、INS理论与应用（6.惯导基本方程）INS理论与应用6.惯导基本方程授课内容1.哥氏加速度2.绝对加速度3.比力方程4.惯导的高度通道INS理论与应用6.惯导基本方程要解释陀螺仪的基本特性，有必要说明一下哥氏（Coriolis）加速度的概念。要说明加速度所感测的量，有必要推导出绝对加速度的表达式。为了研究惯性导航系统的理论实现，要在建立加速度计所测量的比力表达式，即比力方程。比力方程是惯性系统的一个基本方程。INS理论与应用6.惯导基本方程1.哥氏加速度从运动学知，当动点对某一动参考系作相对运动，同时这个动参考系又在作牵连转动时，则该动点将具有哥氏加速度。载体相对地球运动，地球又相对惯性空间运

2、动。因此，对地球而言，载体的惯性加速度包含了相对加速度和哥氏加速度等。若要求得载体相对地球的运动，就要确定这些加速度之间的关系。INS理论与应用6.惯导基本方程从运动学知，当动点对某一动参考系作相对运动，同时这个动参考系又在作牵连转动时，则该动点将具有哥氏加速度。设有一直杆绕定轴以角速度作匀速转动，直杆上有一小球以速度vr沿直杆作匀速移动。INS理论与应用6.惯导基本方程直杆是动参考系，小球可看成为动点。小球在直杆上的移动可看成为动点对动参考系作相对运动，而直杆绕定轴的转动可看成为动参考系在作牵连转动。小球的相对速度就是它在直杆上的移动速度。小球的牵连速度就是直杆上与小球相重合的那个点的速度。

3、这里直杆绕定轴转动使牵连点具有切向速度，即为小球的牵连速度。INS理论与应用6.惯导基本方程设在某一瞬时 t，直杆处于 OA1 位置，小球在直杆上处于 B1 位置。这时小球的相对速度矢量的大小为 vr，方向沿 OA1方向；小球的牵连速度矢量大小为 ve=r，方向与 OA1垂直。INS理论与应用6.惯导基本方程经过时间t 后，直杆转动了=t 角度，处于OA2 位置；小球在直杆上移动了r = vrt距离，处于B2位置。小球的相对速度的大小不变，为 vr=vr，但因直杆的牵连转动带动小球一起转动 ，故其方向改变成沿OA2方向。小球牵连速度矢量用 ve 表示。因牵连点改变到B2，故牵连速度的大小改变成

4、 ve=(r+r) ，其方向与 OA2垂直。INS理论与应用6.惯导基本方程可见，经过了t 时间后，小球的相对速度和牵连速度都有变化。在速度矢量图中，相对速度增量vr表示了相对速度方向的变化。INS理论与应用6.惯导基本方程牵连速度增量ve表示了牵连速度大小和方向的变化。将ve分解为ve1 和 ve2 ，它们分别表示了牵连速度方向和大小的变化。速度的方向或大小发生变化，表明必有加速度存在。INS理论与应用6.惯导基本方程首先分析使相对速度方向改变的加速度。从相对速度矢量图可得速度增量vr的大小为用t 除以等式两边并求极限值，则得如下加速度INS理论与应用6.惯导基本方程该加速度的方向可由t 0

5、 (即0)时r的极限方向看出，它垂直于和vr所组成的平面。这就是由直杆牵连转动的影响，使小球相对速度方向改变的加速度。如果直杆没有牵连转动，那么小球相对速度的方向不会发生改变，这项加速度是不存在的。INS理论与应用6.惯导基本方程再看使牵连速度大小改变的加速度。从牵连速度矢量图可得速度增量ve2 的大小为用t 除以等式两边并求极限值，则得如下加速度INS理论与应用6.惯导基本方程该加速度的方向可由t 0 (即0)时Ve2的极限方向看出，它也垂直于和vr所组成的平面。这就是由小球相对运动的影响，使小球牵连速度大小改变的加速度。如果小球没有相对运动，那么小球牵连速度的大小不会发生改变，这项加速度是

6、不存在的。INS理论与应用6.惯导基本方程至于使小球牵连速度方向改变的加速度（即与牵连速度增量ve1 对应的加速度），不难看出，它是由直杆的牵连转动而引起的，并且它是向心加速度，所以此项加速度实为小球的牵连加速度。INS理论与应用6.惯导基本方程本例中，小球在直杆上作匀速移动，故小球的相对加速度为零，直杆绕固定轴作匀速转动，故小球的牵连加速度中不存在切向加速度，只存在向心加速度。这就表明，上述导出的两项加速度既不是相对加速度，也不是牵连加速度，而是一种附加加速度，它就称为哥氏加速度。INS理论与应用6.惯导基本方程由此看出哥氏加速度的形成原因：当动点的牵连运动为转动时，牵连转动会使相对速度的方

7、向不断发生改变，而相对运动又使牵连速度的大小不断发生改变；这两种原因都造成了同一方向上附加的速度变化率，该附加加速度变换率即为哥氏加速度。或简言之，哥氏加速度是由于相对运动与牵连转动的相互影响而形成的。INS理论与应用6.惯导基本方程上面是以牵连角速度与相对速度vr相垂直的情况进行分析。哥氏加速度的大小为上述两项加速度之和的模，即ac=2vr哥氏加速度的方向如右图所示。哥氏加速度 ac垂直于牵连角速度与相对速度Vr所组成的平面，从沿最短路径握向Vr的右手旋进方向即为 ac的方向。INS理论与应用6.惯导基本方程在一般情况下，牵连角速度与相对速度之间可能成任意夹角。按照类似的方法进行分析，可得哥

8、氏加速度的一般表达式为： ac=2vr即在一般情况下哥氏加速度的大小为而哥氏加速度的方向仍按右手旋进规则确定。INS理论与应用6.惯导基本方程2.绝对加速度当动点的牵连运动为转动时，动点的绝对加速度a应等于相对加速度ar、 牵连加速度ae与哥氏加速度ac的矢量和， 即a= ar +ae + ac这就是一般情况下的加速度合成定理。 INS理论与应用6.惯导基本方程如图所示，设在地球表面附近航行的运载体所在点为q。它在惯性系OXiYiZi中的位置矢量为R，在地球系OXeYeZe 中的位置矢量为 r，而地心相对日心的位置矢量为 R0。根据各量关系，可以写出位置矢量方程：INS理论与应用6.惯导基本方

9、程上式对时间求一阶导数，则有利用矢量的相对导数和绝对导数的关系，上式第二项，即载体位置矢量r在地心惯性坐标中的导数可表达为从而得到运载体绝对速度的表达式INS理论与应用6.惯导基本方程上式中各项所代表的物理意义如下dR/dt|i：位置矢量R在惯性系中的变化率，代表运载体相对惯性空间的速度，即绝对速度。dr/dt|e：位置矢量r 在地球坐标系中的变化率，代表运载体相对地球的速度，即运载体的相对速度(是重要的导航参数之一)。dRo/dt|i：位置矢量R0 在惯性系中的变化率，代表地球公转引起的地心相对惯性空间的速 度，它是运载体牵连速度的一部分；ier：代表地球自转引起的牵连点相对惯性空间的速度，

10、它是运载体牵连速度的又一部分。INS理论与应用6.惯导基本方程运载体绝对速度对时间再求一阶导数而而地球相对惯性空间的角速度ie可以精确地看成是常矢量，即die/dt=0，由此得到运载体绝对加速度的表达式 ：INS理论与应用6.惯导基本方程上式中各项所代表的物理意义如下：d2R/dt2|i：运载体相对惯性空间的加速度，即运载体的绝对加速度。d2r/dt2|e：运载体相对地球的加速度，即运载体的相对加速度；d2Ro/dt2|i：地球公转引起的地心相对 惯性空间的加速度，它是运载体牵连加速度的一部分 ；ieier：代表地球自转引起的牵连点的向心加速度，它是运载体牵连速度的又一部分；2iedr/dt|

11、e：运载体相对地球速度与地球自转角速度的相互影响而形成的附加加速度，即运载体的哥氏加速度。INS理论与应用6.惯导基本方程3.比力方程加速度计的工作原理是牛顿力学定律 ，其力学模型如图所示。敏感质量（质量设为m）借助弹簧（弹簧刚度设为k）被约束在仪表壳体内，并且通过阻尼器与仪表壳体相联。当沿加速度的敏感轴方向无加速度输入时，质量块相对仪表壳体处于零位。INS理论与应用6.惯导基本方程当安装加速度计的运载体沿敏感轴方向以加速度 a 相对惯性空间运动时，仪表壳体也随之作加速运动。但质量块由于保持原来的惯性，故它朝着与加速度相反方向相对壳体位移而压缩或拉伸弹簧。当相对位移量达一定值时，弹簧变形所给出

12、的弹簧力 kxA（xA为位移量）使质量块以同一加速度 a 相对惯性空间运动。INS理论与应用6.惯导基本方程在此稳态情况，有如下关系成立：kxA=ma，或xA=ma/k。即稳态时质量块的相对位移量xA与运载体的加速度 a 成正比。INS理论与应用6.惯导基本方程地球、月球，太阳和其它天体均存在着引力场，加速度计的测量将受到引力的 影响 。为了便于说明，暂且不考虑运载体的加 速度 。设加速度的质量块受到沿敏感轴方向的引力mG(G为引力加速度)的作用，则质量块将沿着引力作用方向相对壳体位移而拉伸(或压缩)弹簧 。INS理论与应用6.惯导基本方程当相对位移量达一定值时弹簧受拉 (或受压所给出的弹簧力

13、kxG(xG为位 移量)恰与引力mG相平衡。在此稳态情况，有如下关系成立：kxG=mG，或xG=mG/k即稳态时质量块的相对位移量xG与引力加速度G成正比。INS理论与应用6.惯导基本方程对照前两图可以看出，沿同一轴向的a矢量和G矢量所引起的质量块位移方向相反。综合考虑运载体加速度和引力加速度的情况 下，在稳态时质量块的相对位移量为x=m(a-G)/k上式说明，稳态时质量块的相对位移量x 与(a-G)成正比。 阻尼器则用来阻尼质量块到达稳定位置的振 荡。借助位移传感器可将该位移量变换成电信号，所以加速度计的输出与(a-G)成正比。INS理论与应用6.惯导基本方程在地球表面附近，把加速度计的敏感

14、轴安装得与运载体(如火箭)的纵轴平行，当运载体以 5g(g为重力加速度)的加速度垂直向上运动，即以a=5g沿敏感轴正向运动时，因沿敏感轴负向有引力加速度G=g，故质量块的相对位移量为x=(5g-(-g)m/k=6mg/k.当运载体垂直自由降落，即以a=-g沿敏感轴正向运动时，因沿敏感轴正向有引力加速度 G=-g，故质量块的相对位移量为x=(-g-(-g)m/k=0.INS理论与应用6.惯导基本方程在惯性技术中，通常把加速度计的输入 量a-G称为“比力”。现在说明它的物理意义 。这里作用在质量块上的外力包括弹簧力 F弹和引力 mG，根据牛顿第二定律，可以写出：F弹+mG=ma移项后得：F弹=ma

15、-mG再将上式两边同除以质量m，得到：F弹/m=a-GINS理论与应用6.惯导基本方程令f=F弹/m，则f=a-G.称f为比力，于是比力代表了作用在单位质量上的弹簧力。比力的大小与弹簧变形量成正比，而加速度计输出电压的大小正是与弹簧变形量成正比，所以加速度计实际感测的量并非是运载 体的加速度，而是比力。也因此，加速度计又称比力敏感器。作用在质量块上的弹簧力与惯性力和引力的合力大小相等，方向相反。于是又可把比力定义为“作用在单位质量上惯性力与引力的合力 (或矢量和)。应该注意：比力具有与加速度相同的量纲。INS理论与应用6.惯导基本方程在比力的表达式中，a 是运载体的绝对加速度，当运载体在地球表

16、面运动时其表达式已由前面的公式给出；而G是引力加速度 ，它是地球引力加速度Ge、月球引力加速度Gm、太阳引力加速度Gs和其它天体引力加速度即INS理论与应用6.惯导基本方程所以，加速度计敏感到的比力为地球公转引起的向心加速度阳引力加速度Gs的量值大致相等, 即d2Ro/dt2|i-Gs=0。在地球表面附近，月球引力加速度的量值 Gm3.910-6Ge；太阳 系的行星中距地球最近的金星，其引力加速度约 为 1.910-8Ge；太阳 系的行星中质量最大的木星，其引力加速度约为 3.710-8Ge。至于太阳 系外的其它星系，因距地球更远，其引力加速度更加微小 。INS理论与应用6.惯导基本方程对于一

17、般精度的惯性系统， 月球及其它天体引力加速度的影响可以忽 略不计。考虑到上述这些关系 ，加速度计感测的比力可写成：上式中，dr/dt|e即为运载体相对地球的运动速度，用vep代表。同时注意到，地球引力加速度Ge与地球自转引起的向心加速度共同形成了地球重力加速度，亦即g=Ge-ieierINS理论与应用6.惯导基本方程在上述假设之下，加速度计所感测的比力可改写成在惯性系统中， 加速度计安装在运载 体内的某一测量坐标系中工作的， 例如直接安装在与运载体固连的运载体坐标系中 (捷联式系统)， 或安装 在与平台固连的平台坐标中(平台式系统)。假设安装加速度计的测量坐标系为p系，它相对地球坐标系的转动角

18、速度为ep， 则有 INS理论与应用6.惯导基本方程应用上述关系，加速度计所敏感的比力可进一步写为或者进一步写作INS理论与应用6.惯导基本方程上式就是运载体相对地球运动时加速度计所敏感的比力表达式，通常称为比力方程。式中各项所代表的物理意义如下：vep：运载体相对地球的运动速度； epvep：测量坐标系相对地球转动所引起的向心加速度，ievep：运载体相对地球速度与地球自转角速度的相互影响而形成的哥氏加速度；g：地球重力加速度。INS理论与应用6.惯导基本方程比力方程表明了加速度计所敏感的比力与运载体相对地球的加速度之间的关系，所以它是惯性系统的一个基本方程。不论惯性系统的具体方案和结构如何

19、，该方程都是适用的。将等式右边除dvep/dt之外的量称为有害加速度。导航计算需要的是运载体相对地球的加速度。但从上式看出，加速度计不能分辨有害加速度和运载体相对加速度。因此，必须从加速度计所测得的比力中补偿掉有害加速度的影响，才能得到运载体相对地球的加速度，经过数学运算进而获得运载体相对地球的速度及位置等导航参数 。INS理论与应用6.惯导基本方程上述的比力方程是向量形式，也可以写成沿平台坐标系的投影形式。平台坐标系的取法不同，投影的形式也不同，我们先确定平台坐标系的ozp轴的方向，oxp、oyp轴的方向确定在后面再讨论。ozp轴的正方向选为重力加速度的反方向，即指向天。INS理论与应用6.惯导基本方程根据矢量叉乘的公式，可以把惯导基本方程写成如下的矩阵形式INS理论与应用6.惯导基本方程4.惯导的高度通道根