新人教版高中数学必修第二册第八章立体几何初步：8.5.2 直线与平面平行

1、8.5.2直线与平面平行 通过学习本节内容,能从定义和基本事实出发,借助长方体抽象出直线与平面平行的判定与性质,逐步培养逻辑推理、直观想象等数学核心素养.学习时还应掌握以下几点: 1.通过直观感知、操作确认,归纳出直线与平面平行的判定定理. 2.掌握直线与平面平行的判定定理,并能利用定理解决问题. 3.掌握直线与平面平行的性质定理,明确由线面平行可推出线线平行. 直线与平面平行的判定定理文字语言图形语言符号语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行(简记为线线平行线面平行)l 直线与平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面

2、与此平面相交,那么该直线与交线平行(简记为线面平行线线平行) ab1.直线l上有无数个点不在平面内,则l.()2.两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.()3.直线a平面,平面内有n条直线相交于一点,则这n条直线中与a平行的有且只有一条.()提示：过n条直线的交点和直线a作平面,设平面与平面交于直线b,则ab.若所给n条直线中有与b重合的,则与直线a平行的直线有1条,若没有与b重合的,则与直线a平行的直线有0条.判断正误，正确的画“” ，错误的画“ ” .4.若直线l平行于平面内的无数条直线,则l. ()提示：当l时,l也可以平行于平面内的无数条直线,此时l与不平行

3、.5.梯形ABCD中,ABCD,AB平面,CD平面,则直线CD与平面内的任意直线平行.()提示：由题意,得CD,则平面内的直线与CD可能平行,也可能异面. 如何证明直线与平面平行 如图所示的一块木料中,已知棱BC平行于平面AC. 1.要经过木料表面ABCD内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?提示:BC平面AC,平面BC经过BC且与平面AC交于BC,BCBC.经过点P,在平面AC上作线段EFBC,且EF与AB交于点E,与CD交于点F,那么EFBC.连接BE和CF,则BE,CF和EF就是所要画的线.2.所画的线和平面AC有什么关系?提示:EFBC,EF平面AC,BC平面AC,EF平面AC.而

4、BE,CF显然都和平面AC相交. 利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的步骤 如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD平面FGH.证明连接DG,CD,设CDGF=O,连接OH.在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,DFGC,DF=GC,四边形DFCG为平行四边形,O为CD的中点,又H为BC的中点,OHBD,OH平面FGH,BD平面FGH,BD平面FGH.如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E在线段BC上,BE=2EC,BAE沿AE翻折至图2中B1AE的位置,B1平面AECD,连接B1D,点F在线段DB1上,DF=2FB1.证明:

5、CF平面B1AE. 证明在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,BE=2EC,AD=3,EC=1.在线段B1A上取一点M,使得AM=2MB1,连接ME,MF.DF=2FB1,=,FMAD,且FM=AD=EC=1.又ECAD,ECFM,四边形FMEC为平行四边形,CFEM,CF平面B1AE,EM平面B1AE,CF平面B1AE.思路点拨构造平行四边形得到线线平行,进而证明线面平行. 线面平行中的探索性问题 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是线段BC,CC1的中点. 1.在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面A1MC?提示:存在点M,使直线DE平面A1MC.2.在问题1中,若存

6、在点M,M点在什么位置?提示:M为线段AB的中点.3.证明你的结论.提示:如图,取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C与AC1的交点,则O为AC1的中点.连接MD,OE,则MD,OE分别为ABC,ACC1的中位线,所以MDAC,且MD=AC,OEAC,且OE=AC,因此MDOE.连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DEMO.因为直线DE平面A1MC,MO平面A1MC,所以直线DE平面A1MC.所以线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE平面A1MC. 1.平行关系的探索性问题经常是在一条直线上确定是否存在某点,使过该点的直线(或平面)平行于一个固定平面(或直线),求解此类问题要注意逆向推理,也要注意线面平行的性质定理和判定定理的交替使用. 2.解决与线面平行有关的探究性问题时,一般是假设存在某点满足题意,根据结论逆向推理判断是否存在,或确定点的位置.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,CC1的中点.问:棱CD上是否存在点T,使AT平面B1EF?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.解析存在.在棱CD上取点T,使得DT=DC,此时AT平面B1EF.证明如下:延长BC,B1F,交于H,连接EH,交DC于点K,CC1BB1,F为CC1的中点,C是B