因式分解(高级篇)十字相乘课件

1、 因式分解（高级篇）因式分解的其他常用方法知识结构因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法待定系数法求根法一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。提公因式法随堂练习：1）15(mn)+13(nm)2）4(x+y)+4(x3y)二、公式法 只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。 接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。常用公式1、(a+b)(ab)=a2b2 （平方差公式）2、(ab)2=a22ab+b2 （完全平

2、方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2) （立方和公式）及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2) （立方差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 （完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导三、十字相乘法前面出现了一个公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常数项 3 = 13而一次项系数 4 = 1 + 3原式=(x+1)(x+3)暂且称为p

3、、q型因式分解例2：因式分解x27x+10可以看出常数项10 = (2)(5)而一次项系数 7 = (2) + (5)原式=(x2)(x5)这个公式简单的说，就是把常数项拆成两个数的乘积，而这两个数的和刚好等于一次项系数十字相乘法随堂练习：1）a26a+5 2）a25a+63）x2(2m+1)x+m2+m2特点： 二次项系数为1三、十字相乘法试因式分解6x2+7x+2。这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于

4、一次项系数，那么因式分解就成功了。acad+bcbd= 173 x2 + 11 x + 106 x2 + 7 x + 223124+ 3= 76x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+ 15= 1113255+ 63x2+11x+10=(x+2)(3x+5)(ax+b)(cx+d)=acad+bcbd= 65 x2 6 xy 8 y2试因式分解5x26xy8y2。这里仍然可以用十字相乘法。15244 105x26xy8y2 =(x2y)(5x+4y)简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。十字相乘法随堂练习：1）4a29a+22）7a219a63）2(x2+y2)+5xy2课时四、

5、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解 abac+bdcd 。解：原式 = (ab ac) + (bd cd) = a (b c) + d (b c) = (a + d) (b c)还有别的解法吗？四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解 abac+bdcd 。解：原式 = (ab + bd) (ac + cd) = b (a + d) c (a + d) = (a + d) (b c)例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。解：原式 = (x5+

6、x4+x3)+(x2+x+1) = (x3+1)(x2+x+1) = (x+1)(x2x+1)(x2+x+1)立方和公式分组分解法随堂练习：1）xyxzy2+2yzz22）a2b2c22bc2a+1回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1) = (x+1)(x4+x2+1) = (x+1)(x4+2x2+1x2) = (x+1)(x2+1)2x2 = (x+1)(x2+x+1)(x2x+1)*五、拆项、添项法怎么结果与刚才不一样呢？因为它还可以继续因式分解 拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得

7、接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的预见性，尝试较多，做题较繁琐。 最好能根据现有多项式内的项猜测可能需要使用的公式，有时要根据形式猜测可能的系数。五*、拆项添项法例因式分解 x4 + 4解：原式 = x4 + 4x2 + 4 4x2 = (x2+2)2 (2x)2 = (x2+2x+2)(x22x+2)都是平方项猜测使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆项添项法随堂练习：1）x423x2y2+y42）(m21)(n21)+4mn配方法 配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。因式分解 a2b2+4a+2b+3 。解：原式 = (a2+4a+4) (

8、b22b+1) = (a+2)2 (b1)2 = (a+b+1)(ab+3)配方法 (拆项添项法)分组分解法完全平方公式平方差公式六*、待定系数法试因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。通过十字相乘法得到 (2x3y)(x+3y)设原式等于(2x3y+a)(x+3y+b)通过比较两式同类项的系数可得：解得： ，原式 = (2x3y+4)(x+3y+5)待定系数法， 一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决

9、问题的方法叫做待定系数法。 = 3= 1410+ 42 x2 + 3 xy 9 y2 + 14 x 3 y + 20双十字相乘法 双十字相乘法适用于二次六项式的因式分解，而待定系数法则没有这个限制。因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。21336 345= 312 15原式 = (2x3y+4)(x+3y+5)七*、求根法 设原多项式等于零，解出方程的解 x1、x2，则原式就可以分解为(xx1)(xx2)(xx3)更多的方法需要同学们自己去寻找 !多练才能拥有自己的解题智慧 !综合训练(一)综合训练(二)2、x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz因式分解后的结果是( )

10、。 A. (yz)(x+y)(xz) B. (yz)(xy)(x+z) C. (y+z)(xy)(x+z) D. (y+z)(x+y)(xz)3、因式分解 x3 + 6x2 + 11x + 6 。综合训练(三)总结训练(一)总结训练(二)爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？”“爱。”“为什么？”“它驱赶我的饥饿。”鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。“现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。”精灵摘下一片树叶

11、，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。“请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。“你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。”“我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。”“为什么？它能驱赶你的饥饿？”“不能。”“它能滋润你的干渴？”“不能。”爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？”“爱。”“为什么？”“它驱赶我的饥饿。”鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。“现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉

12、水，我有点渴了。”精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。“请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。“你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。”“我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。”“为什么？它能驱赶你的饥饿？”“不能。”“它能滋润你的干渴？”“不能。”其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重，相互包容，相互懂得，才能走的更远。相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑

13、对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪，弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时，你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏识，还是成长岁月无法躲避的经历愿曾经的过往，依然如花