2013随机过程课件第2讲

1、 随机过程 概率论复习二、随机变量、随机向量及其概率函数2、随机向量实际问题中常常需要多个随机变量才能很好地描述某一随机试验或现象。样本空间标准化为高维欧氏空间总概率分布在n维欧氏空间内分布的方式和一维类似离散型随机向量连续型随机向量混合型随机向量2022/8/7郑州大学信息工程学院2联合概率质量函数（离散型）2022/8/7郑州大学信息工程学院3联合概率分布函数（连续型及离散型）2022/8/7郑州大学信息工程学院4联合概率密度函数（连续型及离散型）2022/8/7郑州大学信息工程学院5边界概率函数分类边界概率质量函数边界概率分布函数边界概率密度函数定义低维随机变量的概率函数被称为边界概率函

2、数可以由高维随机变量的概率函数得到pmf：对其他维数的随机变量求和cdf：令其他维数的随机指数为无穷大pdf：对其他维数的随机变量积分2022/8/7郑州大学信息工程学院6二维例子设X, 是一个二维随机变量，其联合概率密度为 其中 ，求 ， 。 2022/8/7郑州大学信息工程学院7用同样的方法得到： 2022/8/7郑州大学信息工程学院8本例中X, 就是具有二维正态联合概率密度的随机变量，也是服从正态分布的。显然，二维正态密度函数的边沿密度函数N维随机变量分布函数的性质设X是n维随机变量，则不难证明X的联合分布函数具有下列性质：（1） 对任一 （i=1,2,n）是单调不减函数； （2） 对任

3、一 （i=1,2,n）是右连续函数； （3） i=1,2,n，；（4）设 ， i=1,2,n，则2022/8/7郑州大学信息工程学院9N维离散性随机向量分布函数若n维随机变量X的可能取值为有限时或可列无限时，则称n维随机变量X为离散型n维随机变量。离散型n维随机变量 的分布可用联合分布律来描述，即：其中 ， 是离散集，i=1,2,n,这时X的联合分布函数为：2022/8/7郑州大学信息工程学院10N维随机向量分布函数与概率密度关系设n维随机变量X的联合分布函数为 ，如果存在非负可积函数 使得：2022/8/7郑州大学信息工程学院11则称X为连续型随机变量，称为连续型n维随机变量X的联合概率密度

4、函数。边界分布保留 个 ，比如 ，而令其它 都趋于 ，得到k维边沿分布函数 2022/8/7郑州大学信息工程学院12若X是连续型n维随机变量，则有:=可见也是连续型k维随机变量的联合分布函数，其联合概率密 度函数为：= = 对于任意的 ，有 则称随机变量 相互独立。 2022/8/7郑州大学信息工程学院13若X=（ ）是离散型n维随机变量，则相互独立的充要条件是= 其中是，i=1,2,n的所有可能取值 多个随机变量相互间的统计独立用概率密度表示的统计独立条件若X=（ ）是连续型n维随机变量，则 相互独立的充要条件是2022/8/7郑州大学信息工程学院14随机向量和随机变量的关系随机向量包含了单

5、个分量随机变量的完全信息随机向量还包含单个分量随机变量之间的相关信息2022/8/7郑州大学信息工程学院152022/8/7郑州大学信息工程学院16三、 随机变量及随机向量 的数字特征 2022/8/7郑州大学信息工程学院171、随机变量的数字特征随机变量的概率分布完全由其分布函数描述，但是如何确定分布函数却是相当麻烦的。在实际问题中，我们有时只需要知道随机变量的某些特征值就够了。所谓随机变量的数字特征，是指联系于它的分布函数的某些数字，如平均值、最大可能值等，它们反映随机变量的某方面的特征。 2022/8/7郑州大学信息工程学院18统计平均值与数学期望值 设X是一个随机变量，是其分布函数，若

6、 ，则称为随机变量X的数学期望或均值。 可将E看作一个算符或算子数字特征易测，数字（而不是函数）表示形象2022/8/7郑州大学信息工程学院19随机变量的均值求法：若X是离散型随机变量，其分布值为则若X是连续型随机变量，其概率密度函数为 ，则 2022/8/7郑州大学信息工程学院20离散型随机变量均值求法例（掷色子）：因为p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6EX=1(1/6)+2(1/6)+3(1/6)+4(1/6)+5(1/6)+6(1/6)=7/2=3.5连续性随机变量例（指数随机变量）：2022/8/7郑州大学信息工程学院212、随机变量函数的期望值 设X是

7、一随机变量，其分布函数为 ， 是连续函数，如果 存在，则 2022/8/7郑州大学信息工程学院22随机变量函数均值求法例设（0，T）中的均匀分布。求（t）的数学期望。（t0），其中随机变量X具有在区间2022/8/7郑州大学信息工程学院23其中振幅A、频率 均取常数，间的随机变量。 随机变量函数均值求法例相位 是一个均匀分布于求（t）的数学期望。2022/8/7郑州大学信息工程学院24推广到n维随机变量设X=( ) 是n维随机变量，其联合分布函 数为 ， 连续函数,如 果 存在，则 2022/8/7郑州大学信息工程学院25(t)=Acos(t+ )，-t +，其中A, , 是相互统计独立的随机

8、变量，EA=2, DA=4, 是在-5, 5上均匀分布的随机变量， 是在-，上均匀分布的随机变量。 试求(t)的均值。随机变量函数均值求法例2022/8/7郑州大学信息工程学院26例子 所以，上式变成因 可见，加权和的期望等于加权期望的和。这对n维随机变量的情况也是适用的。这说明了：求数学期望是线性运算；这里没有规定随机变量之间非要相互独立不可，所以加权和的期望等于期望的加权和，它不受两个随机变量是否相互独立的限制。 2022/8/7郑州大学信息工程学院273、随机变量的各阶矩K阶原点矩，k阶中心矩定义：设X是随机变量，若则称为随机变量X的k阶原点矩为X的k阶原点绝对矩为X的k阶中心矩由定义知

9、：均值为一阶原点矩，而方差为二阶中心矩2022/8/7郑州大学信息工程学院28对于离散型、连续型随机变量离散型随机变量原点距离散型随机变量中心矩连续型随机变量原点矩连续型随机变量中心矩矩的重要性：如果对于所有的K， 存在且已知，则由 的集合，可以唯一的确定随机变量X的概率分布函数。2022/8/7郑州大学信息工程学院29原点矩与中心矩之间关系2022/8/7郑州大学信息工程学院30联合矩两个随机变量X,Y，其联合矩当X,Y为离散型随机变量时：当X,Y均为连续型随机变量时：2022/8/7郑州大学信息工程学院31特殊联合矩一个特别重要的联合矩是互相关矩中心化的两个随机变量X-EX，Y-EY的互相关矩称为随机变量X,Y的协方差协方差描述随机变量X,Y的概率相关程度若CXY=0，表明X，Y之间不相关CXY=0 即 EXY=EXEY若EXjYk=EXjEYk，则X，Y相互统计独立故，X，Y统计独立意味着X，Y不相关，