用分形几何来表征粗糙表面

1、用分形几何来表征粗糙表面的几何形状加工表面的微观几何特征主要包括表面粗糙度和表面波度两部分组成，表面 粗糙度是波距L小于1mm的表面微小波纹；表面波度是指波距L在120mm之间 的表面波纹。通常情况下，当L/H（波距/波高） 1000）与表面粗糙度（L 3/H 3 50）之间。加工表面的微观几何特征是表面质量的重要组成部分，而零件的表面质量是 又机械加工质量的重要组成部分，表面质量是指：机械加工后零件表面层的微观 几何结构及表层金属材料性质发生变化的情况。经机械加工后的零件表面并非理 想的光滑表面，它存在着不同程度的粗糙波纹、冷硬、裂纹等表面缺陷。虽然只 有极薄的一层（0.050 .15mm）

2、，但对机器零件的使用性能有着极大的影响；零 件的磨损、腐蚀和疲劳破坏都是从零件表面开始的，特别是现代化工业生产使机 器正朝着精密化、高速化、多功能方向发展，工作在高温、高压、高速、高应力 条件下的机械零件，表面层的任何缺陷都会加速零件的失效。因此，必须重视机 械加工表面质量。下面介绍一些常见的传统表面粗糙度表征的方法。峰谷表征参数：表面粗糙度是表面峰谷高度相对基准面的变化。常用的表 面粗糙度参数有两种，一类是高度分布参数，包括轮廓算术平均偏差Ra （最常 用），标准差a，方均根Rq等。另一类是极值高度参数，包括轮廓最大高度Rt（最常用），最大高峰Rp,最大深谷Rv，微观不平衡度Rz和平均高度R

3、pm。空间表征参数：表征凸峰的横向间距参数或空间波长参数是对表面高度信 息的补充描述，常用的参数有两种，一是凸峰密度Np，二是相交密度n。Np是 单位长度内轮廓线上所含局部最大凸峰的频数；N0是单位长度内轮廓线与平均 线相交的次数。概论分布和密度函数：累积概率分布函数，或简称累积分布函数P(h)，定 义为随机变量z(x)忍h的概率，可写为P (h) =Prob(zh)除此之外，还有矩函数、凸峰分布函数等表征方法。这些传统的表面粗糙度 表征方法直观、易接受，也很实用，但也有其局限性。以上所提及的方法，只能 从特定的分辨率下准确地表征，而不能在任意的分辨率下表征，也就是说，用不 同的测量方法，其粗

4、糙度是不一样的，这就是其局限性。那么，有没有一种表征 方法，可以弥补上述缺陷呢？分形几何学作为一种新的方法起着重要作用。它是一种使用迭代的方法来研 究的几何分支，它能够展现出我们欧氏几何不能实现的不规则图形，如山川、云 霞、树叶以及我们需要研究的表面几何特征等等。普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、 二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。在20世纪70年代末80年代初，产 生了新兴的分形几何学(fractal geometry)，空间具有不一定是整数的维，而 存在一个分数维数。这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关 注。根据物理学家李荫远院士的建

5、议，大陆将fractal 一开始就定译为“分形”， 而台湾学者一般将fractal译作“碎形”。客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有 无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现 象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。粗糙表面几何特征正是如此。客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长 城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事 物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度(或者叫标度)，这 叫做“无标度性”的问题。粗糙表面的几何特征同时涉及大量不同尺度，就要借 助“无

6、标度性”解决问题，也就需要用分形几何学。分形几何学的基本思想是:客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、 功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如， 一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都 具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺 寸，整个结构不变。分形几何在粗糙表面几何特征应用中的几个重要参数。分形维数分形维数。与表面形貌的幅值变化剧烈程度有关，D值大，则表面高频成分多， 细节丰富；D值小，则表面空间波长长，微观结构简单。因此，再分形过程中， 我们应该选择合适的维数。我们可用下式来求分形维数其

7、中功率谱斜率。可由下式在双对数坐标系logP(oJ) 一logoJ中，用最小二 乘法拟合出特征长度尺度G参数仔反映的是表面微观形貌的特征长度的尺度范围，相对于特定表面的所 有空间频率来说是一个常量，决定着谱在功率轴上的位置。比较实际表面轮廓的 高度方差和W-M函数的高度分布方差，即可求得G值。理论上，知道了。和6值就可根据式（1）唯一地确定表面轮廓的形状。而且， 对于特定的表面轮廓，参数D和G不随测量尺度和取样长度而改变，因而是表征粗 糙表面的“固有参数”。这一特点不同于传统的粗糙度评定参数，如Ra，Ry,Rq等。3 .谱矩参数随机过程参数（二）传统粗糙度参数的分形表征轮廓均方根偏差RqRq为

8、取样长度内轮廓偏距的均方根值，而零阶谱矩m0,为轮廓高度分布的 方差。若轮廓高度服从高斯分布或中线选择一致，则有其中m0可由下式求出轮廓均方根斜率乙qG 2(D-1)1其中m2=jW(2 D - 2) - W(2 D - 2) 2lnY ( 2D -2) L h1 q为取样长度内轮廓线上各点斜率的均方根值，N-阶谱矩m2表示轮廓斜率 分布的方差.所以h w2 p (w) dw W!.轮廓均方根曲率p q国标和各种参考书中均未曾介绍过该参数。在此类似地定义，p q为取样长 度内轮廓线上各点曲率的均方根值，而四阶谱矩w 4表示轮廓曲率分布的方差，因此P q= ( m 4)；轮廓均方根波长入q入q为

9、轮廓均方根偏差Rq与轮廓均方根斜率之比的2n倍，即入 q= 2n ( 0)2 m2轮廓微观不平度的平均间距七s是取样长度内轮廓微观不平度的平均值，式中：D是零交叉密度。由此可见，对于具有分形特征的随机表面轮廓，s和 入q能给出相同的结果。轮廓的单峰平均间距SS是在取样长度内轮廓的单峰间距的平均值，有1S = = 2n D 1式中：D. 轮廓的波峰密度，D，以单峰计算。轮廓峰的密度D(m )rmo 7单位长度内的轮廓峰数。若在取样长度f内计算，有lD = 一Sm三维评定参数现行的国标和国际标准中，尚未有一个真正的三维表面形貌评定参数。而且， 工程表面在实际应用中，总是使用其一个区域，而不是一条轮

10、廓。因此，目前国 内外许多学者都在积极寻找三维表面形貌的合适评定参数。而首先考虑的是均一 性问题，即三维表面不同位置上形貌的统计一致性。1.均一性Hm若某一表面凸凹不平、高低各异，大家都认为其均一性差；反之，若凸凹均 匀一致，高低平整则认为其均一性好。对于铸造、喷涂、粗加工等工件可能容易 判别，但对于精车、磨削等表面，却未能给出明确的答复。从直观上，我们可以“感觉”到，有些表面直观性好，条纹有序；而有的表面无 规则，均一性不好。那么，如何定量地评价这两个表面呢?为此，定义表面的均 一性为：高度方向的概率分布独立于测量位置的平移。一个具有纹理的表面也可能是均一的。因此一个“好”的表面应该既要求均

11、一性，又要求等方性（觅后）。 只有两者都满足时，才说明这个表面是均匀的、各向同性的。根据Longuet-Higgins等式，零阶表面谱矩m可以反映表面的高度分布方 差，对于不均一的表面各处的m是不相等的，因此可用下式评价三维表面的均00一性min m lL0imax m0 ii=1,2,3n若干条平移轮廓的零阶谱矩。式中：H 表面高度分布的均一性;m2.等方性八cos 0 sin 0 + m sin 2 0二阶轮廓谱矩m（0）为m（0 ） = m cos 2 0 + 2 m它不仅依赖于e值，而且还与表面性质（二阶表面谱矩）有关。如果表面为等方性 的，则m（0）必定与。无关，此时m（0）的轨迹为

12、圆。因此定义随机表面的等方 性为：测量坐标系旋转时，该随机表面各条轮廓高度方向的概率分布不变。轮廓 的二阶谱矩，既可以反映轮廓幅度分布，又可以反映频率特性，而且一般情况下 很强地依赖于被测轮廓的方向，因此可以用其来表征各向异性表面的等方性。具 体地，各向异性表面的等方性A指m20m（0i）2m11=T21m（0 2）2mL 02m（0 ）2式中m , m , m 为其中T2为矩阵系数A =l时，表示表面是等方性的；否则，表面完全不等方性时，m =0, m或m =0,A =0。所以0忍A W 1，且A越大，等方性越好。表面的高度均方根偏差膈对于均一的等方性表面，由Longuet-Higgins等

13、式知各个方向零阶表面谱矩 相等，即m = m（0 ） i=1, 2, 3M m 00 ）2而moo反映的是表面高度分布的方差，所以R =（m ）实际上，若表面为各向异性，可取m0(0 )的平均值近似代替m0表面的均方根斜率 sq类似地，定义表面的均方根斜率为sqj七 j七 z2 (x, y )d dl l o 0 x y式中I ,i分别为x和y方向上的取样长度表面的二阶谱矩可以反映随机表面的斜率分布，所以可用表面二阶谱矩的平均值表示随机表面各点斜率的均方根值。由式m20m（01）2m11=T2-1m（0 2）2mL 02m（0 ）2可知，表面二阶谱矩可由轮廓二阶谱矩求得，对轮廓二阶谱矩在各个方

14、向上积分 后取其平均值，即为表面斜率分布方差的平均值，有j 2 m (0 ) d =(m + m )2n 02022002根据表面均方根斜率的定义和上式，得sq表面的均方根波长入sq类似地，定义表面的均方根波长为人=2nsqsq式中Rsq表面的均方根偏差； sq表面的均方根斜率。并且我们可以 得到表面峰顶平均间距Ss对于等方性随机表面，类似地定义表面的峰顶平均间距为其中Ds是表面峰顶密度， 以上以分形几何理论为基础，利用分形维数D和谱矩的概念推出了一些具有统计 意义的表面粗糙度参数，另外还有一些较为重要的参数有待于进一步研究。参考文献：Majumdar A. Bhushan B. Fractal model of geometry in roughness characterization and contact mechanics of surfaces ASME of Tribology, 1990Longuet-Higgins M S. Statistical properties of an isotopic random surface. Philos.Trans. R. Soc., L