全等三角形证明中的基本模型

1、全等中的基本模型知识互联网平移型全等时称型全等全等二角形的基本模型旋折型全等辅助线添加初段模块知识导航平移型全等把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换.这一讲我们就来学习基本变 换下的全等三角形.常见平移模型【弓I例】如图， A、E、F、B四点在一条直线上, 求证：CF DEAC CE , BD DF , AE【解析】AC CE, BD DF ACE BDF 90在 RtACE 和 RtABDF 中AC BDAE BF RtA ACE RtABDF HLCE DF , AE

2、C BFD CEF DFE 在CEF和ADFE中CE DFCEF DFEEF FEACEF ADFECF DE【例1】如图1, A、B、C、D在同一直线上， AB CD , DE /AF ,且DE AF.求证：AFCDEB如果将BD沿着AC边的方向平行移动，图 2, B点与C点重合时；图3, B点在C点右侧时，其余 条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由.FFF图1图2图3常见轴对称模型FD4123B； 模块三旋转型全等能力提升【例3】如图，AB AC, D、E分别是 AB、AC的中点， AM CD于M , AN 求证：AM AN .C常见旋转模型:B

3、E 于 N .AMNDEB知识导航如图， ABE和 ADC是 ABC分别沿着 AB, AC翻折到同一平面内形成的.若1: 2: 3 15:2:1 ,则 4 EBAD1C ， EFC夯实基础C.5对D.6对D, CEL AB 于 E, BD,则图中全等直角三角【例2】 如图，4ABC中，AB = AC, BD7 和CE交于点 O, AO的延长线交 BC形的对数为（A.3对)B.4对【引例】如图，在 针旋转, 时，求【解析】 A:ABC 中， A: B: ACB 3:5:10 ,若将 4ACB 绕点 C逆时 使旋转后的 4ABC中的顶点B在原三角形的边 AC的延长线上 BCA的度数.B: ACB

4、3:5:1010一 ACB 18010018由 ACB绕点C旋转得到 ABCACBACB BCA100 ACB100 2BCA 18018020能力提升【教师铺垫】 如图，点C为线段AB上一点,角形.请你证明： AN BM ;4DEC为等边三角形； ACM、(4)MFA 60：| ;DE / AB.CBN是等边三【例4】 如图1,若 ABC和4ADE为等边三角形， M、N分别EB, CD的中点，易证：CD=BE , AAMN是 等边三角形.当把 ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；当把 ADE绕A点旋转到图3的位置时， AMN是否还是等边三

5、角形？若是，请给出证明；若不 是，请说明理由.CC图1图2C图3【例5】 如图1,若四边形 ABCD、GFED都是正方形，显然图中有 AG=CE, AGXCE.当正方形 GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明，若不成 立，请说明理由；当正方形 GFED绕D旋转到B, D, G在一条直线 （如图3）上时，连结 CE,设CE分另交AG、 AD 于 P、H,求证：AGXCE.模块四辅助线添加初步知识导航,在原图基础之上另外所作的具有极大价值的辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题 直线或者线段.添辅助线的作用：凸显和集散.揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间

6、的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条 件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的.聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他 们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论.化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关 系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的.发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质

7、恰当揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的.构造图形的作用：对一类几何证明题，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等【例6】 如图4ABC中，AD平分Z BAC , DGLBC且平分 BC,DEXAB 于 E, DF XAC 于 F.说明BE=CF的理由；如果 AB= a , AC= b ,求 AE、BE的长.【例7】 如图1,已知4ABC中，AB BC 1 , /ABC 90 ,把一块含30角的直角三角板 DEF的直角顶 点D放在AC的

8、中点上（直角三角板的短直角边为 DE ,长直角边为DF ）,将直角三角板 DEF绕D点 按逆时针方向旋转.直线 DE交直线 AB于M ,直线DF交直线BC于N .在图1中，证明DM DN ;在这一旋转过程中，直角三角板DEF与4ABC的重叠部分为四边形 DMBN ,请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积； 继续旋转至如图2的位置，DM DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明 理由； 继续旋转至如图3的位置，DM DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明.图3学雒柜展训练（选讲）【例8】 如图所示： AF CD , BC E

9、F , AB DE , A D .求证：BC II EF .AE, CD、BE相交于点O.AB训练1.如图所示：AB AC, AD 求证：AO平分 DAE .训练2.如图，BD、CE分别是4ABC的边AC和AB边上的高，点P在BD的延长线上，求证：APBP AC，点Q在CE上,CQ AB .训练3.在凸五边形中，M为CD中点.训练4.AQ;B求证:APE ,AM如图，AB AE , ABCBC DE ,AED, BCED ,点F是CD的中点.求证：AFCD .CFD题型一 平移型全等 巩固练习AC,【练习1】 如图，若 AB CD , A E、F、C在一条直线上，AE CF ,过E、F分别作D

10、EBF AC.求证：BD平分EF . 若将ADEC的边EC沿AC方向移动到图的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立? 请说明理由.题型二 对称型全等 巩固练习【练习2】 如图，已知 RtAABC RtAADE,ABC图中还有几对全等三角形，请你一一列举；求证：CF=EF .ADE 90 , BC与DE相交于点F ,连接CD、EB.BC ,垂足为题型三旋转型全等巩固练习【练习3】 如图，在RtABC中，AB AC , AD分别是CD、AD上的点，且 CE AF .如果 AED 62 ,那 么 DBF .【练习4】 如图，已知 ABD和 AEC都是等边三角形,AFCD 于 F , AHBE于H ,请问：AF和AH有何关系？请说明理由.题型四 辅助线添加初步巩固练习【练习5】如图，一等腰直角三角尺 GEF的两条直角边与正方形 ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动，将三角尺 GEF绕斜边EF的中点0（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转. 如图，当