建筑制图与识图教学课件：第三章 立体的投影

第三章立体的投影第一节平面立体的投影如图3-1所示，这些建筑物及其配件的形状虽然复杂多样，但一般都是由一些简单的几何体经过叠加、切割或相交等形式组成的。我们把这些简单的几何体称为基本几何体或基本体，把建筑物及其构配件的形体称为建筑形体。导言图3-1建筑形体的组成由此可见，要想很好地了解建筑形体的投影，必须先掌握基本形体的投影。那么，这些基本形体的三面投影图该如何绘制呢？如果这些基本形体被不同位置的平面所截切，截切后形体的三面投影图又该如何画呢？前言一、棱柱

棱柱是由两个底面和若干棱面围成的平面立体。若棱柱的棱线与底面倾斜，则该棱柱称为斜棱柱；若棱柱的棱线与底面垂直，则该棱柱称为直棱柱；若一个直棱柱的上、下底面均为正多边形，则该直棱柱称为正棱柱。棱柱是由两个底面和若干棱面围成的平面立体，立体上相邻表面的交线称为棱线。不同棱柱的三面投影图，其画法大致相同。下面以图3-2所示的正六棱柱为例，来讲解棱柱三面投影图的投影特性及画法。一、棱柱（一）形体特征正六棱柱是由上、下两底面和6个矩形侧面组成的。其中，上、下两底面相互平行；6个侧面均为全等的矩形，且与底面垂直；6条棱线相互平行，长度相等且与上、下两底面垂直。（二）摆放位置

摆放形体时应考虑两个因素：一要使形体处于稳定状态，二要考虑形体的工作状况。为了作图方便，应尽量使形体的表面平行或垂直于投影图。对图3-2所示的正六棱柱，应将上下底面平行于H面、前后侧面平行于V面放置。图3-2正六棱柱的投影一、棱柱（三）投影分析H面投影V面投影W面影投影为正六边形，它是上、下底面的投影，且反映两底面实形；六边形的6个顶点是6条棱边（铅垂线）的积聚投影。为3个矩形线框。其中，中间的矩形线框为前、后侧面的重合投影，且反映前、后侧面的实形；左侧矩形为左侧前、后侧面的重合投影，右侧矩形为右侧前、后侧面的重合投影，它们均为类似形；上、下两底面的投影积聚为直线段。为两个矩形线框，分别是左、右4个铅垂侧面的重合投影（不反映实形）。通过上述分析可以总结出棱柱体的投影特性：①反映底面实形的投影为多边形；②另外两面投影均为矩形，或矩形的组合图形。一、棱柱提示由图3-2所示投影图可以看出，基本体中柱体的投影特征可归纳为“矩矩为柱”。这句话的含义是：只要是柱体（包括圆柱和棱柱），则必有两面投影的外线框为矩形；反之，若某一形体的两面投影的外线框为矩形，则该形体一定是柱体，这时，可利用第三面投影来判别具体是何种柱体。一、棱柱（1）画出正六棱柱的对称中心线、底面基线及45°辅助线，以确定各投影图的位置，如图3-3（a）所示。（2）先画出反映主要形状特征的投影图，即画H面投影图中的正六边形，然后按照“长对正”的投影规律及正六棱柱的高度画出V面投影。正六边形可采用等分圆周的方法绘制，结果如图3-3（b）所示。（3）根据“高平齐、宽相等”的投影规律画出W面投影，最后擦去多余的图线并加深，结果如图3-3（c）所示。（四）正六棱柱的作图步骤一、棱柱图3-3正六棱柱投影图的作图步骤abc二、棱锥棱锥是由一个多边形底面和若干个具有公共顶点（锥顶）的三角形棱面围成的平面体。若一个棱锥的底面为正多边形，且锥顶在底面的投影位于正多边形的中心，则该棱锥称为正棱锥。图3-4正三棱锥的投影二、棱锥正三棱锥又称四面体，由一个底面和3个棱面组成。其中，底面为正三角形；3个棱面为3个全等的等腰三角形。（一）形体特征下面以图3-4所示的正三棱柱为例，来讲解棱锥三面投影图的投影特性及画法。二、棱锥（二）投影分析将三棱锥的底面平行于H面、某一侧面处于侧垂面位置放置在三投影面体系中，其投影特性如下。H面投影V面投影W面投影为等边三角形，它反映正三棱锥的底面实形，3个侧面的投影表现为类似形，顶点投影重合于等边三角形的垂心。为两个三角形，即左、右两个侧棱面的类似形。为一个三角形。其中，后侧棱面积聚为最后方的一直线段，左、右侧棱面的投影仍为三角形，且相互重合。二、棱锥通过上述分析可以得出以下结论：①反映底面实形的投影为多边形或三角形的组合图形；②另外两面投影为并列的三角形（内含反映侧表面的几个三角形）。提示：基本体中锥体的投影特征可归纳为“三三为锥”，即若形体有两面投影的外线框均为三角形，则该形体一定是锥体（包括棱锥和圆锥）；反之，凡是锥体，则必有两面投影的外线框为三角形，这时，可利用第三面投影来判别具体是何种锥体。二、棱锥（a）四棱锥（b）五棱锥（c）六棱锥图3-5几种常见棱锥的投影三、平面立体表面上点和线的投影（三）正三棱锥的作图步骤确定各投影图的位置，然后在H面上画出反映底面实形的正三角形，该三角形可利用丁字尺和三角板绘制，如图3-6（a）所示。（1）在H面投影中作正三角形的垂心，以确定三棱锥顶点S在俯视图中的投影S，然后过该点连接H面投影中三角形的3个顶点，如图3-6（b）所示。（2）根据“长对正”的投影规律和正三棱锥的高，确定锥顶的V面投影，然后画出正三棱锥的V面投影和W面投影并加深图线，如图3-6（b）所示。（3）二、棱锥（a）（b）图3-6正三棱锥投影图的作图步骤三、平面立体表面上点和线的投影平面立体的表面都是平面多边形，在其表面上取点、线的作图问题，实质上就是平面上取点、线作图的应用。由于平面立体的各表面存在着相对位置的差异，必然会出现投影的相互重叠，从而产生各表面投影的可见与不可见问题。因此，对于表面上点和线的投影，还应考虑其投影的可见性。判断立体表面上点和线可见性的原则是：如果点、线所在表面的投影可见，则点、线的同面投影可见；否则，不可见。三、平面立体表面上点和线的投影当点位于立体表面的某条棱边上时，该点的投影必定在棱线的投影上。此时，可利用线上点的“从属性”求出该点的投影。从属性法当点所在的立体表面对某投影面的投影具有积聚性时，该点的投影必在该表面的积聚投影线上。此时，可利用平面的积聚性求出该点的投影。积聚性法（一）利用“从属性法”和“积聚性法”作图三、平面立体表面上点和线的投影【例3-1】立体表面上直线MN的正面投影m′n′如图3-7（a）所示，试作该直线的其他两面投影。分析：分析图3-7（a）所示的形体，可知其为四棱台（梯梯为台）。由于正面投影中的m′n′可见，因此可判定该直线位于四棱台的前棱面上。由于M点在棱边上，故可利用“从属性法”求出其他两面投影；N点所在的表面为侧垂面，其侧面投影具有积聚性，因此可先利用表面的积聚性求出n''点，然后再利用n''点和n′点求出n点。图3-7利用“从属性法”和“积聚性法”求立体表面上点的投影三、平面立体表面上点和线的投影作图步骤［参见图3-7（b）］：（1）利用“从属性法”过m′点作水平直线和铅垂线，分别交四棱台的另外两面投影于m''和m。（2）利用“积聚性法”过n′点作水平直线交四棱台的侧面投影于n''点，然后利用n''点和n′点求出水平投影n点。（3）用直线依次连接水平投影和侧面投影中M点和N点的同面投影。由于侧面投影中的m''点和n''点位于前侧面的积聚投影线上，其投影与该积聚线重合，故可不用直线连接。图3-7利用“从属性法”和“积聚性法”求立体表面上点的投影三、平面立体表面上点和线的投影（二）利用“辅助线法”作图当点所在的立体表面无积聚投影时，该点的投影必须利用作辅助线的方法求出，即先过已知点在立体表面上作一辅助直线（辅助线可以是一般位置直线或特殊位置直线），求出该直线的另外两面投影，然后依据点的“从属性”求出点的各面投影。三、平面立体表面上点和线的投影【例3-2】立体表面上M点和N点的投影m′和n如图3-8（a）所示，求作这两个点的其他两面投影。分析：m′点为可见点，故M点位于SAB平面上。由于SAB平面为一般位置平面，故M点的其他两面投影需通过作辅助线求出。n点为可见点，故N点位于SBC平面上。由于SBC平面也为一般位置平面，故N点的其他两面投影也需要通过作辅助线求出。图3-8利用“辅助线法”求立体表面上点的投影三、平面立体表面上点和线的投影（1）（2）（3）（4）过m′点作一条平行于底面的辅助线，该辅助线的投影交s′a′于点1′。由于点1′位于直线s′a′上，故可直接求出水平投影点1。过1点作直线ab的平行线，则M点的水平投影一定在该平行线上。因此，过m′点作垂线交平行辅助线于一点，该点即为m点。连接s点和n点并延长，交直线bc于点2；由于点2在底面ABC上，故可直接求出其正面投影点2′。（4）连接s′和2′，则N点的正面投影一定在s′2′上。因此，过n点作垂线交s′2′于一点，该点即为n′点。作图步骤［参见图3-8（b）］：三、平面立体表面上点和线的投影图3-8利用“辅助线法”求立体表面上点的投影(b)做图方法第二节曲面立体的投影表面由平面和曲面，或均由曲面围成的立体称为曲面立体。圆柱、圆锥和球是工程中常见的曲面立体，这些曲面立体多为回转体。回转体的曲面可以看作是由一条直线或曲线（母线）绕另一固定直线（轴线）旋转而成的曲面，如图3-9所示。导言（a）圆柱体（b）圆锥体（c）球图3-9曲同立体其中，母线上任一点的运动轨迹都是垂直于轴线的圆，称为纬圆；处于曲面上任意位置的母线称为素线；回转面的可见部分与不可见部分的分界素线称为转向轮廓线。画回转体的投影就是画回转面的转向轮廓线的投影、底面的投影和轴线的投影。导言一、圆柱圆柱是由圆柱面和上、下两个圆形底面围成的，其圆柱面可以看作是由母线绕与其平行的轴线旋转而成的。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线称为素线。（一）投影分析将圆柱体的轴线垂直于H面放置在三投影面体系中，如图3-10所示，其三面投影图的投影特性如下。一、圆柱H面投影：反映上、下底面实形的圆。此时，圆柱体的侧面投影积聚在圆周上。W面投影：为一个矩形。其中，上、下两边线分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两边线分别是圆柱最后、最前处素线的投影。V面投影：为一个矩形。其中，上、下两边线分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两边线分别是圆柱最左、最右处素线的投影。一、圆柱通过上述分析可总结出圆柱的投影特性为：①反映底面实形的投影为圆；②另两面投影均为矩形。由图3-10所示投影图可以看出，圆柱的投影特征与柱体的投影特征相同，均为“矩矩为柱”。一、圆柱图3-10圆柱的三面投影一、圆柱画出圆柱体的对称中心线、底面基线及45°辅助线，然后画出反映底面实形的H面投影，结果如图3-11（a）所示。根据圆柱体的高和投影关系画出圆柱的V面和W面投影，最后加深图线，如图3-11（b）和（c）所示。(1)(2)（二）作图步骤一、圆柱（a）（b）（c）图3-11圆柱投影图的作图步骤二、圆锥圆锥是由圆锥面和圆底面所围成的回转体。其中，圆锥面是由母线绕与其相交并且成一定角度的轴线回转而成的。母线与轴线的交点称为锥顶。圆锥面的所有素线都交于锥顶，并且对底面的倾角相等。母线上任意一点的运动轨迹形成的圆称为纬圆。（一）投影分析将圆锥的轴线垂直于H面放置在三投影面体系中，如图3-12所示，其三面投影特性如下。图3-12圆锥的三面投影二、圆锥通过上述分析可总结出圆锥的投影特性为：①反映底面实形的投影为圆；②另外两面投影均为等腰三角形，符合“三三为锥”的投影特征。H面投影为一水平圆，反映圆锥底面的实形，同时也是圆锥面的投影。V面和W面投影均为等腰三角形，且三角形的底边为圆锥底面的积聚投影。V面投影中，三角形的左、右两边分别是圆锥面最左、最右素线（素线也是转向轮廓线）的投影；W面投影中，三角形的左、右两边分别是圆锥面最前、最后素线的投影。二、圆锥（二）作图步骤画出圆锥体的对称中心线、底面基线及45°辅助线，然后画出反映底面实形的H面投影，结果如图3-13（a）所示。（1）根据“长对正”的投影规律和圆锥体的高作出V面投影，再根据“高平齐、宽相等”的投影规律作出W面投影，最后加深图线，如图3-13（b）和（c）所示。（2）二、圆锥（a）（b）（c）图3-13圆锥投影图的作图步骤三、球圆球是以一圆周为母线绕其自身一直径旋转一周形成的。母线上任一点的运动轨迹都为圆。球体的三面投影均为与该圆球直径相等的圆。其中，正面投影圆是可见的前半球面和不可见的后半球面的重影；水平投影圆是可见的上半球面与不可见的下半球面的重影；侧面投影圆是可见的左半球面和不可见的右半球面的重影，如图3-14所示。三、球图3-14球的三面投影四、曲面立体表面上点和线的投影与平面立体相同，求作曲面立体表面上点和直线的投影也有从属性法、积聚性法和辅助线法3种方法。

作曲面立体上点的投影，可按如下步骤进行：判断点所在的位置；①②③④判断点所在面的投影特性；在具有积聚性的平面上标出点的投影；根据点的两面投影，求出其第三面投影四、曲面立体表面上点和线的投影（一）圆柱表面上点和线的投影因为圆柱面具有积聚性，因此圆柱表面上点或线的投影可利用从属性法和积聚性法求出。

【例3-3】已知圆柱面上点M和点N的正面投影m'和（n'），如图3-15（a）所示，试求作这两个点的另外两面投影。四、曲面立体表面上点和线的投影（a）已知条件（b）作图方法图3-15利用“辅助线法”求圆柱表面上点的投影四、曲面立体表面上点和线的投影分析：M点的正面投影可见，且在点画线的左侧，由此可判定M点在左、前半圆柱面上，其水平投影和侧面投影均可见；N点的正面投影不可见，且在点画线的右侧，由此可判定N点在右、后半圆柱面上，其水平投影可见，侧面投影不可见。作图步骤：（1）过m′点作素线的正立面投影（可只作一部分），即过m′点向下作铅垂线交圆周的前半部分于一点，则该点即为m点；由m′点和m点，即可求出m''点，m''点为可见点。（2）采用同样的方法，先求出N点的水平投影n，再求出侧面投影n''。由于侧面投影不可见，故为（n''）。四、曲面立体表面上点和线的投影

【例3-4】已知圆柱面上线段AB的正面投影a′b′，如图3-16（a）所示，求其另外两面投影。分析：由题意及图3-16（a）可知，线段AB是一段位于前半个圆柱面上的椭圆弧，且该段曲线在水平投影面上的投影为一段曲线。由于该圆柱面的侧面投影积聚为圆，故线段AB的侧面投影就是该圆上的一段圆弧。求作曲线的投影，需先求出曲线上一系列特殊位置点和中间位置点的投影，然后顺次连接成曲线。图3-16利用“辅助线法”求圆柱表面上线的投影四、曲面立体表面上点和线的投影作图步骤（1）先在圆柱的正面投影图上标出特殊点a′，b′，c′和中间点d′和e′，然后根据直线AB所在圆柱面的积聚性，分别过正面投影中的这5个点作水平线，并与圆柱的侧面投影交于a''，b''，c''，d''和e''点。（2）根据“长对正、宽相等”的投影规律作了这5个点的水平投影a，b，c，d，e。（3）用曲线依次光滑地连接a，d，c，e，b点并判别其可见性（以C点为界，ADC段在圆柱面的前、上方，故可见，应画成实线；CEB段在圆柱面的前、下方，故不可见，应画成虚线），即可得曲线弧AB的水平投影。图3-16利用“辅助线法”求圆柱表面上线的投影四、曲面立体表面上点和线的投影（二）圆锥表面上点的投影圆锥底面具有积聚性，其上的点可以直接求出；圆锥面没有积聚性，其上的点需要用辅助线法才能求出。按辅助线的类型不同，辅助线法可分为辅助素线法和辅助纬圆法两种。四、曲面立体表面上点和线的投影【例3-5】已知圆锥面上点A的正面投影a′，如图3-17（a）所示，求其另外两面投影。图3-17利用“辅助素线法”求圆锥表面上点的投影素线法就是过给定点和锥顶在锥面上作一条素线为辅助线，利用点、线的从属关系，得出点的三面投影图的方法，即过A点作辅助素线SB，如图3-17（b）所示，先求出该素线的投影，再利用线上点的投影关系求出圆锥表面上点的投影。四、曲面立体表面上点和线的投影分析：根据a′点可判定A点位于圆锥左前方的圆锥面上。由于圆锥面无积聚性，因此圆锥面上点的投影可利用素线法或纬圆法求出。方法一：辅助素线法图3-17利用“辅助素线法”求圆锥表面上点的投影（1）连接s′点与a′点并延长，使其与底圆的V面投影交于点b′，从而得到素线SB的V面投影s′b′。（2）由s′b′可求出sb。（3）因A点在素线SB上，故过a′点向下作垂线交sb于a点，由a′点和a点可求得点A的侧面投影a″点，如图3-17（c）所示。四、曲面立体表面上点和线的投影具体作图步骤如下：图3-17利用“辅助素线法”求圆锥表面上点的投影四、曲面立体表面上点和线的投影方法二：纬圆法假想过圆锥面上任一点作一个与圆锥底面平行的平面，该平面与圆锥面的交线为圆，则该点的三面投影必在交线圆的投影上。这个交线圆称为纬圆，用纬圆作辅助圆来确定曲面上点的投影位置的方法称为纬圆法，如图3-18所示，（1）过a′点作一条水平线1′2′，1′2′即为过A点的水平纬圆的V面投影。（2）以1′2′为直径，在H面上画出纬圆的水平投影。（3）过a′点作垂直投影线交纬圆的左前方的圆锥面于a点，再由a′点和a点求得a″点。四、曲面立体表面上点和线的投影具体作图步骤如下：图3-18利用“纬圆法”求圆锥表面上点的投影球面均无积聚性，因此除了转向轮廓线上的点可直接求出外，球面上的其他点均需用辅助纬圆法才能求出。四、曲面立体表面上点和线的投影（三）球面上点的投影【例3-6】已知球面上M点的V面投影m′，如图3-19（a）所示，求其另外两面投影。分析：由m′点可知M点位于前半球的左下部位，它的另外两面投影可利用纬圆法求出。图3-19利用“辅助线法”求球面上点的投影四、曲面立体表面上点和线的投影作图步骤（1）过m′点作水平纬圆的正立投影（为一直线），交圆于b′，c′两点。（2）求出纬圆的水平投影圆，其直径为bc，则M点的水平投影必在该纬圆的左前侧，且该点的水平投影不可见。（3）根据m′和m，求出其侧面投影m''。图3-19利用“辅助线法”求球面上点的投影第三节建筑形体的表面交线经过切割或相交而构成的建筑形体的表面上，经常会出现一些交线，这些交线有些是平面与形体相交产生的，有些则是两个形体相交而形成的，如图3-20所示。导言图3-20希腊某房屋建筑那么，当平面切割平面立体或圆柱、圆锥和球等曲面立体时，其截交线的形状各有什么不同？这些截交线的投影该怎样画出？当平面立体和曲面立体两两相交时，其交线的形状会相同吗？这些交线的投影该怎样画出？导言一、切割型建筑形体基本体被平面截切后的形体，称为截切体，如图3-21所示。其中，截切形体的平面称为截平面；截平面与形体表面的交线称为截交线；截交线所围成的平面图形称为截面。图3-21形体的截切一、切割型建筑形体若立体的形状，或截平面与立体表面的相对位置不相同，则产生的截交线形状也千差万别，但所有的截交线都具有以下两个基本性质。封闭性因为任何基本体表面都是封闭的，而截交线又是截平面和基本体表面的交线，所以截交线所围成的图形一定是封闭的。共有性因为截交线既属于截平面，又属于基本体表面，所以截交线是截平面和基本体表面的共有线。由此可见，求作截交线的实质，就是求出截平面与立体表面公共点的集合。一、切割型建筑形体（一）平面立体截交线的画法

平面立体的表面由若干个平面围成，因此平面立体的截交线是由直线段围成的封闭多边形，该多边形的各边是截平面与各平面的交线，顶点是棱边的投影或截平面与各棱边的交点。平面立体上截交线的作图方法可归纳为以下两种。即先求出平面立体的各棱线与截平面的交点，然后将各点依次连接起来即得截交线。连接各交点时应注意：①只有两点在同一投影面上时才能连接；②可见棱面上的两点用实线连接，不可见棱面上的两点用虚线连接。交点法一、切割型建筑形体即求出平面立体的棱面、底面与截平面的交线。交线法交点法和交线法不分先后，可配合使用，但一般情况下常用交点法求截交线的投影。值得注意的是，求平面立体截交线的投影时，要先分析平面立体在未切割前的形状、它是怎样被切割的，以及截交线有何特别等问题，然后再进行作图。一、切割型建筑形体【例3-7】如图3-22所示为一正六棱柱被一正垂面P斜截时的立体示意图，画出六棱柱被截断后的下半部分的三面投影。分析：当正六棱柱被正垂面P斜切时，正垂面P与正六棱柱的6个侧面相交，其截交线在H面上的投影与棱柱的水平投影重合，在V面上的投影积聚为一直线，在W面上的投影是一个六边形。图3-22正六棱柱被斜截示意图一、切割型建筑形体（1）画切割体的H面和V面投影。先画出投影特征最明显的H面投影，即正六边形，然后画未切割前的V面投影，接着画截平面，即一条斜线，最后擦去被截掉部分的轮廓线，如图3-23（a）所示。（2）画截交线的W面投影。先在V面和H面上分别找出正垂面与六棱柱截交线的各个交点，并用相应的数字或字母标注，然后根据点的两面投影，在W投影面上分别找出交点在该平面中的投影点1″，2″，3″，4″，5″，6″，如图3-23（b）所示，最后用直线依次连接这些投影点。（3）在W投影面上补画切割体的其他棱线，然后对照立体示意图检查投影图，最后加深图线，结果如图3-23（c）所示。其中，最右侧的棱线被切割面挡住，其W面的投影不可见，因此该棱线用虚线画出或省略不画。作图步骤：一、切割型建筑形体图3-23正六棱柱切割体的画法（a）（b）（c）一、切割型建筑形体

【例3-8】已知正三棱锥被一正垂面斜切，且正面投影和水平投影的轮廓已知，如图3-24（a）所示，试补全该截断体的水平投影。分析：由于截平面与三棱锥的3个棱面相交，故截交线是一个三角形。由于截平面是正垂面，因此其正面投影积聚成一条直线，且该直线与三棱锥各侧棱投影的交点即为截交线各顶点的正面投影。在水平投影中找出这几个顶点的水平投影，然后用直接连接即为截交线的水平投影。图3-24正三棱锥截交线的作图步骤一、切割型建筑形体（1）在正面投影图上找到截交线各顶点的正面投影1'，2'，3'，然后在水平投影中对应棱线的投影上找出点Ⅰ和点Ⅲ的水平投影点1和点3，如图3-24（b）所示。（2）由于点Ⅱ在侧平线SB上，故点Ⅱ的水平投影需借助辅助线求出，其作图方法如图3-24（c）所示。（3）用直线连接水平投影中的点1、点2和点3，可得截交线的水平投影，然后用直线连接这3个点与三棱锥底面各顶点，最后擦去多余的线条并加深，结果如图3-24（d）所示。作图步骤：图3-24正三棱锥截交线的作图步骤一、切割型建筑形体（二）曲面立体截交线的画法用平面切割曲面立体时，截交线的形状取决于被截形体的表面形状及截平面与曲面立体的相对位置。截交线的形状一般是封闭的平面曲线，或平面曲线与直线段相连的平面图形，特殊情况下也可能是平面多边形。1．圆柱的截交线当截平面与圆柱轴线的相对位置不同时，其截交线有表3-1中的3种情况。一、切割型建筑形体表3-1圆柱体的截交线一、切割型建筑形体

【例3-9】已知圆柱体被正垂面P所截，如图3-25（a）所示，求作该切割体的三面投影。分析由于截平面P与圆柱轴线倾斜，故截交线是椭圆。该椭圆在正面投影中积聚为一条直线，其H面投影落在圆柱面的同面投影上，在侧面投影中为椭圆的类似形，故在确定截交线的正面投影后，只需求出其侧面投影即可。图3-25圆柱截切体的三面投影一、切割型建筑形体作图步骤：（1）根据圆柱体的投影规律，先画出未切割前圆柱体的三面投影，然后画正面投影中的截交线（一条斜线段）。（2）求特殊点的投影。分别取椭圆长轴的两个端点Ⅰ，Ⅲ和短轴的两个端点Ⅱ，Ⅳ。其中，点Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分别是截交线上的最低、最左、最高和最右点。这些点都是转向轮廓线上的点，可利用积聚性先在正面投影中标出这些点，然后求出它们在侧面投影图中的投影1″，2″，3″，4″。图3-25圆柱截切体的三面投影一、切割型建筑形体（3）求一般点的投影。为了使侧面投影中的曲线更加精确，可在截交线上取一些一般位置点，如水平投影中的点5，6，7，8，然后求出这些点在正面投影中的投影5′，6′，7′，8′，最后求出它们的侧面投影5″，6″，7″，8″，如图3-25（b）所示。（4）用光滑的曲线顺次连接侧面投影中的各投影点，然后擦去被切割部分的图线并加深，即可得到该圆柱截断体的投影图，结果如图3-25（c）所示。图3-25圆柱截切体的三面投影一、切割型建筑形体圆锥体被平面切割时，锥面与截平面的交线可分为表3-2所示的5种情况。2．圆锥的截交线表3-2圆锥体的截交线一、切割型建筑形体

【例3-10】已知圆锥被一正平面截切后的水平投影和侧面投影如图3-26（a）所示，补画该投影图中漏画的图线。分析：由于截平面为正平面，且与圆锥的轴线平行，所以截交线的空间形状为双曲线。该截交线的水平投影和侧面投影分别积聚为一直线，因此只需求出截交线的正面投影。图3-26补画第三面投影一、切割型建筑形体作图步骤：(1)(2)(3)求特殊点的投影。在水平投影和侧面投影上分别找出截交线的最上C、最下点A和B的投影，然后求出这3个特殊点的正面投影c′，a′和b′。利用辅助圆法（也可用辅助素线法）求一般点的投影。在正面投影c′与a′，b′之间画一条与圆锥轴线垂直的水平线（即平面M在正面中的投影m′），该水平线与圆锥最左和最右素线的正面投影交于点3′和点4′；以3′4′为直径在水平投影中画一圆，它与截交线的积聚投影交于点1和点2；过点1和点2作垂线，与正面投影中的辅助水平投影线的交点即为1′和2′。依次将点a′，1′，c′，2′，b′连接成光滑的曲线，最后描深该曲线即可。一、切割型建筑形体图3-26补画第三面投影一、切割型建筑形体球体被平面切割，不论截平面处于什么位置，其空间交线总为圆。当截平面为投影面平行面时，截交线的投影为圆；当截平面为一般位置平面时，截交线的投影为椭圆，如表3-3所示。3．球的截交线一、切割型建筑形体表3-3圆球的截交线一、切割型建筑形体球体与圆柱和圆锥表面上截交线的画法相同，都是先根据截平面的数量、截平面与轴线的相对位置，确定截交线的形状，然后确定截交线在各投影面上的投影，最后作出截交线上的特殊点和一般位置点的投影并连线。如图3-27（a）所示为半球体被切割后的立体示意图，其截交线的画法如图3-27（b）所示。一、切割型建筑形体图3-27球截交线画法（a）（b）二、相交型建筑形体建筑形体多是由两个或两个以上的基本形体相交组成的。两相交形体称为相贯体，它们的表面交线称为相贯线。相贯线是两形体表面的共有线。相贯线上的点即为两形体表面的共有点，同时也是两形体表面的分界点。（一）相贯线的形状立体相交可分为3种情况：平面立体与平面立体相交，平面立体与曲面立体相交，曲面立体与曲面立体相交，如图3-28所示。二、相交型建筑形体图3-283种类型的相贯体（a）两平面立体相贯（b）平面立体与曲面立体相贯（c）两曲面立体相贯二、相交型建筑形体相贯线一般为空间折线，特殊情况下为平面折线，每段折线都是两立体棱面的交线，每个折点都是一立体棱线与另一个立体的贯穿点，如图3-28（a）所示。两平面立体相贯平面立体与曲面立体相贯相贯线一般是由若干平面曲线所组成的空间闭合曲线，每条平面曲线都是平面立体上某一棱面与曲