昆工高数第十一章-微分方程

1、微分方程 第七章 积分问题 微分方程问题 推广 本 章 内 容 一、微分方程的基本概念 二、一阶微分方程 三、可降阶高阶微分方程 四、高阶线性微分方程 五、常系数线性微分方程 六、数学建模与微分方程应用简介第一节 微分方程的基本概念 一、引例 二、基本概念*三、更多的实际问题一、 引例微分方程的基本概念引例 几何问题物理问题引例1.一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:(C为任意常数)由 得 C = 1,因此所求曲线方程为由 得切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 引例2 放射性物质衰变的规律是: 在每一时刻t, 衰变的

2、速率 与该时刻尚存的质量成正比, 即 引例3 质量为的跳伞员下落时, 所受到的空气阻力与下降速度成反比（注意阻力的方向与速度方向相反）, 取坐标轴沿垂直方向指向地心, 则该跳伞员在时刻t的坐标y=y(t)应满足(k0为比例系数)(k0为比例系数)二、基本概念 定义1 联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数或偏导数的等式称为微分方程，其中未知函数的倒数或偏导数必须出现，而自变量的导数可以不必出现，则称为常微分方程；若未知函数为多元函数，则称为偏微分方程。 定义2 微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。 例如，例1，例2是一阶微分方程，例3是二阶微分方程。 一般地 , n 阶常

3、微分方程的形式是或(n 阶显式微分方程) 例如，一阶微分方程就可以表示为或微分方程的解 使方程成为恒等式的函数.定义3通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例2引例1 通解:特解: 不含任意常数的解, 定解条件 其图形称为积分曲线. 注意：通解不一定包含所有解。例如伯努利方程的隐式通解为，此外，方程还有解，这个解不包含在通解中。 例4 验证函数是微分方程的通解（其中 是任意常数），并并求方程满足初始条件 的特解。解：对 求导得和将 的表达式代入所给微分方程的左边，得 因此满足微分方程，即 是微分方程的解，又因它

4、含有两个独立的任意常数（本例解中 不可能合并为一个任意常数），故即为二阶微分方程的通解。由可得解得故方程满足初始条件的特解为求所满足的微分方程 .例5.已知曲线上点P(x, y)处的法线与 x 轴交点为Q解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标即点 P(x, y) 处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分, 三、更多的实际问题1.增长率问题（参考p213）2.弦的微小横振动模型（参考p214)第二节 本节讨论一阶微分方程（1） 的一些解法。这一方程有时也可改写成如下的对称形式：（2）一、可分离变量方程 一阶微分方程若在方程(2)中，有则（2）可变形为（3） 形式地看，（3）把

5、变量X和y成功地分离到方程的两边，每边只含有一个变量。一般地可将（3）写为形如：（4） 的方程。（3）和（4）称为可分离变量的微分方程，简称变量可分离方程。可分离变量方程的解法:设 y (x) 是方程的解, 两边积分, 得 则有恒等式 当G(y)与F(x) 可微且G(y)g(y) 0时, 的隐函数 y(x)是的解. 则有称为方程的隐式通解, 或通积分.同样,当 F (x) = f (x)0 时,由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 说明由确定例1. 求微分方程的通解.解: 分离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )或说明: 在求解过程中每一步

6、不一定是同解变形,因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )例2 求解方程解: 当时，易得方程的隐式通解为：即于是通解为另外，方程还有常数解，它们不包含通解中。练习:二、齐次方程一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程 .令代入原方程得两边积分, 得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量: 例3. 解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )此处例4 求解方程解： 原方程可化为，令，代入得或易见u=0是此方程的一个解，从而y=0是原方程的一个解。当u0时，分离变量后两端积分得或

7、将代入上式，得到原方程的通解为注意,此通解不包含y=0( h, k 为待 *三、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为 令 , 解出 h , k (齐次方程)定常数), 求出其解后, 即得原方 程的解.原方程可化为 令(可分离变量方程)注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 例5 求解方程解：因为方程组有唯一解令，得再令，代入整理得两边对X积分得即或将回代，得原方程的通积分当时，解得，还原后又得到原方程的两个解例6. 求解解:令得再令 YX u , 得令积分得代回原变量, 得原方程的通解:得 C = 1 ,故所求特解为思考: 若方程改为 如何求解? 提示:四、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准

8、形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程 ;（4.1）对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2. 解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得（4.2）用同样的方法可以得到初值问题的解为（4.3）例7 求方程的通解及满足y(1)=1解。解 将方程写为标准形式易得对应齐次线性微分方程的通解为由常数变易法，令，即设是原齐次线性微分方程组的解，将其代入原方程后有：即或，于是原方程通解将y(1)=1代入通解得，故满足该初始条件的解为:也可直接用满足初始条件的通解公式(4.3)求解：例8 求方程的通解。解

9、 显然，这个方程关于y是非线性的，且不能进行变量分离。但是如果把它改写为并将x看作未知函数，y看作自变量，就成为关于y的线性微分方程，直接利用通解公式（4.2），可得原方程的通解为：*3、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(以z为未知函数的一阶线性微分方程)注意:当n0，伯努利方程总有特解y=0.例9 求解方程解 方程可改写为n=4的伯努利方程令，代入原方程可得一阶线性微分方程其通解为代回原变量后可得原方程的通解为或例10.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入, 得原方程通解: 五

10、、全微分方程若一阶微分方程（2）的左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分,即则方程（2）称为全微分方程（恰当方程），其中，而方程（2）就变为从而其隐式通解为：而u(x,y)有时也称为（其中C为任意常数）的原函数。注意：方程是全微分方程的充分必要条件为.这是判别一个方程是否为全微分方程最主要的判据.例11 求解方程解 其中 有，故原方程是全微分方程.解法一 由得从而即可解出于是原方程的通解为：解法二 取原方程的通解仍然为：解法三 利用全微分的概念，将原方程变形为：或即于是原方程的解为：小结 以上我们介绍了一些较基本的求解方法，值得注意的是同一个方程往往那个可以用不同的初等变形手段转化为不同类

11、型的方程求解，所以在微分方程的求解过程中，一题多解的现象时常出现.例12 求解方程解法一 原方程可改写为齐次方程令y=ux可将原方程化为变量分离方程如下：，积分后回代得到通解：解法二 原方程又可改写为一阶线性微分方程如下，直接用其通解公式即可得到通解：解法三 分组凑微分，将原方程改写为如下形式，两边同乘以，得：，即从而其通解为第三节可降阶高阶微分方程 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 一、令因此即同理可得依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .型的微分方程 例1. 解: 例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线运动,在开始时刻随着时间

12、的增大 , 此力 F 均匀地减直到 t = T 时 F(T) = 0 .如果开始时质点在原点, 解: 据题意有t = 0 时设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小,求质点的运动规律. 初速度为0, 且对方程两边积分, 得 利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为微分方程的右端不显含未知函数引入参数法求解.设则而原方程化为这是一个关于变量、的一阶微分方程.设其通解为代入参数又得到一个一阶微分方程对它进行积分,便得原方程的通解二、型的微分方程 例3 解方程 解: 代入方程得 . 这是一个一阶线性微分方程, 解之得从而原方程的通解为例4. 求解解: 代入方程得分离

13、变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为例5. 绳索仅受重力作用而下垂,解: 取坐标系如图.考察最低点 A 到( : 密度, s :弧长)弧段重力大小按静力平衡条件, 有故有设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得则得定解问题: 原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬 链 线微分方程不明显地含自变量引入参数法求解,设则由复合函数的求导法则有这样,原方程就化为这是一个关于变量、的一阶微分方程.设它的通解为分离变量并积分,使得原方程的通解型的微

14、分方程 三、例6. 求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:例7 求解方程, 由此得; 此变量分离方程的通解为 代入原方程得 例8. 解初值问题解: 令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得1.求方程的通解 .课堂练习2.3.1.求方程的通解 .解对所给方程连续积分三次，得这就是所求得通解 .完2、 解方程解令分离变量得即由由故3、解代入原方程得 原方程通解为内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令高阶线性微分方程第四节二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例 第十一章 一、二阶线性微分方程举例

15、 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2) 强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:求电容器两两极板间电压 例2. 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,所满足的微分方程 .提示

16、: 设电路中电流为 i(t),上的电量为 q(t) ,自感电动势为由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串极板在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得化为关于的方程:故有 n 阶线性微分方程的一般形式为方程的共性 为二阶线性微分方程. 例1例2 可归结为同一形式:时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程.复习: 一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y证毕二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边, 得(叠加原理) 定理1.说明

17、:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.例如， 在( , )上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见在任何区间 I 上都 线性无关.若存在不全为 0 的常数两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为 0 的使( 无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为 0, 则必线性相关(

18、证明略)线性无关定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 则数) 是该方程的通解.例如, 方程有特解且常数,故方程的通解为(自证) 推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 3.则是非齐次方程的通解 .证: 将代入方程左端, 得是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如, 方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解 .定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐

19、次方程. 定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解常数, 则该方程的通解是 ( ).设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解, 是任意例3.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)(89 考研 )例4. 已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解 .解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 *四、常数变易法复习: 常数变易法: 对应齐次方程的通解: 设非齐次方程的解为 代入原方程确定 对二阶非齐次方程 情形1. 已知对应齐次方程

20、通解: 设的解为 由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:令于是将以上结果代入方程 : 得故, 的系数行列式是对应齐次方程的解积分得: 代入 即得非齐次方程的通解: 于是得 说明: 将的解设为 只有一个必须满足的条件即方程, 因此必需再附加一 个条件, 方程的引入是为了简化计算.情形2.仅知的齐次方程的一个非零特解 代入 化简得设其通解为 积分得(一阶线性方程)由此得原方程的通解: 例5.的通解为 的通解.解: 将所给方程化为:已知齐次方程求利用,建立方程组: 积分得故所求通解为例6.的通解.解:对应齐次方程为由观察可知它有特解:令代入非齐次方程后化简得此题不需再作变换.特征根:设的特解为于

21、是得的通解: 故原方程通解为 (二阶常系数非齐次方程)代入可得: 应齐次线性微分方程的通解, 然后用常数变易法求解即可, 为求出非齐次线性微分方程的通解, 只需求出其对应因而从理论上说, 线性微分方程的通解结构问题已彻底解决, 但怎样求出变系数齐次线性微分方程的通解却又是一个十分棘手而艰难的问题. 事实上, 对一般的高阶微分方程（即便是二阶微分方程）, 并不存在求通解的一般方法. 但当线性微分方程中的系数都是常数时, 称该方程为常系数线性微分方程。所对应的齐次方程的通解可以通过代数方法来求解。我们主要讨论二阶常系数线性微分方程，其第五节 常系数线性微分方程 结论可推广到高于二阶的一般一、二阶常

22、系数齐次线性微分方程阶常系数线性微分方程。 定义1 如果在二阶齐次线性微分方程中，系数函数则称方程（1）为为二阶常系数齐次线性微分方程.都是常数，即（1） 由上节的讨论知,要求齐次线性方程(1)的通解,只需找到两个线性无关的特解.根据方程(1)的特征,函数与之间相差一个常数倍,而指数函数正好满足这一条件,所以我们有理由猜想形如(其中r为常数)，的函数可能是方程的解.由于将其带入方程(1),整理可得（2）于是，只要的值满足代数方程（2）,函数就是方程（1）的一个特解. 因此, 二次代数方程(2)称为微分方(1) 的特征方程.特征方程的根称为微分方程的特征根. 根据特征方程根的三种不同情形,微分方

23、程(1)的通解有以下三种形式: (1)当特征方程(2)有两个相等的实根时,是方程(1)的两个线性无关的特解,故方程(1)的通解为 (2) 当特征方程(2)有两个相等的实根时,我们只得到一个特解求出另一个与其线性无关的特解即取,对求导,得以及将代入方程(1)后得因是特征方程的二重跟, 故,且于是得从而可取,这样就得到了另一个解所以方程(1)的通解可表示为 (3)当特征方程(2)有一对共轭复根时,方程 (1)有两个线性无关的复函数解也是方程(1)的解,并且与是线性无关的.因此,我们由叠加原理我们知道可取作为方程(1)的两个实解,从而得到(1)的通解为 综上所述,我们可得到求解二阶常系数齐次线性方程

24、(1)的求解步骤如下: (1) 写出齐次方程(1)的特征方程(2); (2) 解特征方程(2),找出其特征根; (3) 按特征根的三种不同形式,写出方程(1)的通解,即 为两个不等实根两个相等实根 为一对共轭复根特征方程的两个实根对应微分方程的通解 例1 求微分方程的通解. 解 所给方程的特征方程为其根是两个不相等的实根,故所求方程的通解为 例2 求微分方程满足初始条件的特解. 解 所给方程的特征方程为其根是两个相等的实根,故所求方程的通解为将条件代入上式得,从而再对x求导，得再将条件代入后解得故所求方程的通解为 例3 求微分方程的通解. 解 所给方程的特征方程为其根是一对共轭复数，这里故所求

25、方程的通解为 关于二阶常系数齐次线性微分方程的结论可直接推广到n阶常系数齐次线性微分方程中去.(3)其中都是常数.我们同样可设我们同样可设是方程(3)的解,则参数r满足代数方程(4)代数方程（4）叫做微分方程（3）的特征方程. 该特征方程有n重根（重根按重数计，即k阶重根算作k个根），分别对应着微分方程（3）的n个线性无关的特解见下表：特征方程的根对应微分方程的特解（i）单实根一个特解（ii）一对单复根二个特解（iii）k重实根K个特解（iv）一对k重复根2k个特解于是微分方程（3）的通解为 例4 求微分方程的通解. 解 所给方程的特征方程为其根为对应的四个线性无关的特解为 故所求方程的通解为

26、 例5 求微分方程 例5 求微分方程的通解. 解 所给方程的特征方程为 即其根为它们对应的五个线性无关的特解为故所求方程的通解为 二、二阶常系数非齐次线性微分方程 考虑二阶常系数非齐次线性方程其中为常数.根据上节定理3,方程(5)的通解是其对应的齐次方程(1)的通解Y与(5)的一个通解之和.本节第一部分已介绍过齐次方程(1)的通解的求法.至于求解(5)的一个特解,一般而言,可利用上节介绍过的常数变易法.因此,在理论上,求(5)的通解问题已经获得解答,但常数变易法在使用过程中往往会遇到较复杂的不定积分计算,因而有一定的难度.在实际应用问题中,方程(5)的自由项往往是某个m次多项式或等形式的函数.

27、对这样的我们介绍取下列两种形式时求的方法-待定系数法,其特点是无需求积分方程就可以求出来.1.型这时方程(5)变为(6)其中是一个m为常数次多项式.注意到方程(6)左端的之间只相差一个常数倍,而右端又含有和项,的各阶导数正好与自身相差常数倍,且多项式的各阶导数仍为多项式,即多项式乘以指数函数仍然式多项式乘以指数函数,所以可以猜测方程(6)的解中也含有因子和多项式因子于是我们可假设(6)的特解为(7)将代入方程（6）中并消去得到(8) （i）若果不是特征方程（2）的根，即由于等式（8）左端必须是一个m次多项式，而等式左端中以多项式的方幂最高，故欲使（8）式的两端相等，可令为另一个 m次多项式将其

28、代入（8）式，比较等式两端多项式中x的同次幂的系数，就可以得到以为系数的m+1个方程组成的联立方程组，从中解出而得到从而得到所求特解 （ii）若果是特征方程（2）的根，即而（8）式变为所以要求必须是一个m+1次多项式，为简明起见，可令并可用与（i）中相同的方法来确定中的系数 （iii）若果是特征方程（2）的二重根，即且这时（8）式变为所以要求必须是一个m+2次多项式，于是可令并用同样的方法来确定并用同样的方法来确定中的系数综上所述，我们有以下结论：如果而是方程（2）的k重根（不是特征根则以k=0重根计），则二阶常系数非齐次线性方程（5）具有形如（9）的特解，即：k按不是特征方程（2）的根、是特

29、征方程（2）的单根、是特征方程（2）的二重根分别取为0、1、2 注：上述结论可推广到n阶常系数非齐次方程的特解设定形式，即： 如果而是特征方程（4）的k重根（不是特征根则以k=0重根计），则 n阶常系数非齐次线性方程（10）具有形如的特解. 例6 求微分方程的一个特解. 解 由特征方程得到特征根和本例中不是特征方程的根，故设非齐次特解为代入原方程，得于是所以特解 例7 求微分方程的通解. 解 由特征方程得到二重特征根所对应的齐次方程的通解为因是特征方程的二重根,故设非齐次特解为代入原方程并消去项，得于是所以特解故原非齐次方程的通解为2.型由上节定理6，我们可以先求出微分方程或（11）的特解则该

30、特解的实部和分别就是和所对应的特解而方程（11）式右端的正好是类型1，于是就把类型2化为了类型1. 例8 求微分方程的一个特解. 解 方程右端中对应的齐次方程的特征方程为为求原方程的一个特解,先求微分方程(12)的特解.由于2i不是特征方程的根，故可设特解为求导后代入相应方程（12）并化简得从而其实部即为原方程的一个特解. 由本例可见,尽管上述方法理论上简单,但在求解的实际计算中要进行复数运算,显得很不方便,为此,我们改进上述方法,使其仅需在实数范围内计算. 重新考虑方程(11)的特解.可令其中当不是特征根时,当特征根时,代入方程后比较多项式个同次幂的系数可确定出与同次幂的复值多项式于是其实部

31、与虚部分别是与它们分别是(13)与(14)的特解.的特解. 综上所述,形如(11)的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可直接令为其中与均为与同次幂的实多项式.当不是特征根时,当是特征根时, 例9 求微分方程的一个特解. 解 方程右端中对应 的齐次方程的特征方程为因是特征方程的根 故可设特解为求导后代入原方程并化简得从而解出于是非齐次特解 注:对于一般的其中和分别是x的L次多项式和n次多项式.应类似的复方法可以得到如下结论: 如果则二阶常系数非齐次线性微分方程（15）（或（16）其中和是m次多项式，而k按）不是特征方程的根、是特征方程的单根依次取0或1. 更进一步,上述结论可推广到n阶常系数非齐

32、次线性微分方程，但要注意（16）式中的k是特征方程中含根（或）的重复次数. 例10 求微分方程的通解. 解: 这是非齐次线性方程,且属于型(其中).特征方程为于是对应的齐次方程的通解为下面考虑非齐次特解.由于不是特征方程的根所以应设特解为求导得代入所给方程，得比较两端同类项的系数，得即因此所给方程的一个特解为从而原方程的通解为 例11 在第四节例1中，设物体受弹性恢复力f和铅直干扰力F的作用.试求物体的运动规律. 解: 这里需要求出无阻尼强迫振动方程的通解. 对应的齐次微分方程(即无阻尼自由振动方程)为(17)(18)特征方程的根为故方程(18)的通解为令则方程(18)的通解又可写成其中,为任

33、意常数. 方程(17)右端的函数与相比较,有现在分别就和两种情况讨论如下: (1)如果则不是特征方程的根,设代入方程(17)求得于是从而当时，方程（17）的通解为上式表明，物体的运动由两部分组成，这两部分都是简谐振动.上式第一项表示自由振动,第二项所表示的振动叫强迫振动(或受迫振动).强迫振动是干扰力引起的,它的角频率既是干扰力的角频率p，当干扰力的角频率p与振动系统的固有频率k相差很小时，它的振幅可以很大. (2) 如果则是特征方程的根,故设代入方程(11)求得于是从而当时,方程(17)的通解为上式右端第二项表明,强迫振动的振幅随时间t的增大无限增大.这就是发生所谓共振现象, 应使干扰力的角

34、频率P不要靠近振动系统的固有频率k.反之,如果要利用共振现象,则应使或使p与k尽量靠近.有阻尼的强迫振动问题可作类似的讨论,这里从落.数学建模与微分方程应用简介 第六节 近年来,国际上迅速发展的工业数学主要关心怎样在非数学领域中应用现有的或发展新的数学方法来解决实际问题，以求更高的经济与社会效益，而工业技术等领域中应用数学的关键一步是数学建模，可以说数虚伪建模已发展为一个相对独立的数学分支.本节介绍应用微积分知识进行微分方程的几个典型例子,作为进入这一分支的引导. 一、数学模型简介 在现代科学发展史，牛顿的三大定律是数学模型的典型例子.牛顿在力学研究中,把力学规律通过数学式子来表 达,并创建了

35、微积分,他又以微积分为工具,在开普勒定律的基础上,推导出万有引力定律.牛顿定律成功地解释了许多自然现象，也为后来的一系列观测和实验所证实.按照牛顿法则及其数学表达式, 人们通过微积分就可发现行星运动的规律, 计算出摆的振动周期, 讨论和设计人造卫星与宇宙飞船的运动等等. 数学成为人类探索自然奥秘的强有力工具. 为了理解和认识我们的客观世界, 建立模型是最基本的工作. 迄今为止, 科学的模型都是数学模型,科学的数学化已经深入到生物、社会及经济领域. 随着生产的发展、社会的进步, 人们需要对各种自然现 象、社会行为、生产过程、实验设计等的许多问题建立数 学模型, 以便能正确地解释现实中提出的问题,

36、 预测和控制其发展, 例如炼钢厂的工程师们希望建立炼钢过程的模型, 以便实现计算机的自动控制, 工厂厂长希望对生产管理有一个数学模型, 以便通过计算机及时迅速地了解生产情况, 预测生产能力, 降低生产成本, 指挥全厂生产.从从事城市规划工作的专家需要建立一个包括人口、交通、能源、供水、供电、污染等大系统的数学模型, 为作出城市发展的决策提供科学依据. 能源、供水、供电、污染等大系统的数学模型, 为作出城 所谓数学模型, 就是利用数学语言来模拟现实的模型, 即针对现实世界中某一特定现象, 为了某个特定目的而作即针对现实世界中某一特定现象, 为了某个特定目的而作出必要的简化和假设, 运用数学工具得

37、到的一个抽象的简化的数学结构, 具体地说, 数学模型为了某种目的,用字母、数字及其它数学符号建立起来的等式、不等式、图表图象、框图等, 是用来描述客观事物的特征及其内在联系的, 模型的功能在于解释特定现象的现实性态、预测对象 的未来发展, 为使用者提供对象状态的判据, 以便对所研究对象实行决策和控制. 如何建立数学模型 数学建模(Mathematical Modelling)是一种数学的思考方法, 是对现实的现象通过心智活动构造出能抓住其主要且有用特征的表示, 常常是形象化的或符号化的表示. 建立数学模型需要知识、想象力和技巧. 建立符合实际的模型就像掌握一门艺术一样, 必须见识广, 反复实践

38、和不断学习, 富于创造性. 整个建模过程大体上可用图11-7 所示的框图来说明. 我们按以下几步作一些解释: 第一步 模型准备. 首先要深入了解问题的实际背景, 明确建模的要求, 对问题作全面深入的调查研究, 收集必要的数据, 掌握对象的各种信息. 第二步 模型假设. 一般现实问题错综复杂, 涉及面广, 要解决它必须将问题理想化, 简单化, 作出必要的假设. 不同的简化和假设会导致不同模型. 如假设不合理或 过分简单, 会使模型太粗而失效; 如假设过细, 试图把实际现象的各种因素包罗万象, 可能抓不住要领, 无法突出主题建立合理模型. 因此, 假设是建立模型中的关键因素之一. 第三步 模型建立

39、.根据所作出的假设,利用适当的数学工具,建立各量(常量和变量)之间的关系(等式与不等式. 列出表格,画出图形或确定其数学结构. 建模的数学工具有微积分、微分方程、线性代数、规划论、图与网络理论、运筹学、统计、排队论、决策论、控制论等等. 要根据实际问题选择合适的数学工具和理论. 第四步 模型求解. 对已建立的模型, 求出未知变量的解, 求解过程要充分运用已有的数学知识及计算机. 第五步 模型分析. 对所得 结果进行数学上的分析,有时是根据问题的性质和建模目的分析变量据问题的性质和建模目的分析变量之间的依赖关系或稳定性态等. 第六步 模型检验. 这一步是把模型的解和分析结果“翻译”回实际对象中,

40、 用实际现象和实测数据等检验模型的合理性与适用性. 如果检验结果不符合或大部分不符合实际情况, 并且肯定模型建立与求解中不存在失误, 问题通常在模型假设不合合理上, 就要回到模型假设这一步, 修改原来假设重复建模过程. 如果检验成功, 就可提供应用了. 二、微分方程应用之一人口增长的数学模型 中国最早翻译欧几里得几何原本的明朝著名科学家徐光启（15621613）早在16世纪就不止一次地说过“人口大抵三十年而加一倍. ”“夫三十年为一世, 一世之中各有两男子”. 徐光启是世界上最早阐述人口增长规律的一位科学家. 在西方, 英国神父马尔萨斯（Malthus,1766-1834）是较早研究人口增长模

41、型的人. 他在18世纪出版的人口论一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型. 他的基本 假设是: 在人口的自然增长过程中, 净相对增长率（单位时间内人口的净增长率与人口总数之比）是常数, 记此常为r（称为生命系数）. 在t到t+t 这段时间内人口增长量为 于是 满足微分方程 (1) 设 时 （即时刻人口数为）于是可解得(2) 如果 上式说明人口总数将按指数规律无限增长. 如果考虑1年或10年为单位的t值, 可排为一个离散序列,那 么就可以说, 人口数是以 为公比的等比级数增加的. 上述模型（1）符合实际情况吗？ 如果用1700年至1961年这段时间内世界人口的统计数据与公式算出的数字作比较, 那

42、么这个公式比较准确地反映了这段时期人口总数的实际情况. 1961年全世界人口约有30.6亿,在过去10年间人口按每年2净相对速率增长,故由公式（56）可得 (3) 设经过T年, 人口增加一倍, 即由此即可求得（年），实际上1700-1961年这段时间,地球上 人口大约35年增长一倍, 可见公式（3）与实际是很吻合的. 徐光启的人口观与马尔萨斯模型的预测也十分相近. 此模型是否符合未来实际情况呢？由公式（3）可见,地球上人口总数在2670年将是 人, 这是一个天文数 字了, 因此这个模型是不合理的, 应修改. 1837年, 荷兰生物学家Verhulst 引入常数, 称为环 境最大容纳量, 用来表示自然资源和环境条件所能容许的最大人口数, 并假设净相对增长率为 即净增长 率随 的增加而减少, 当 时， 净增长率为零. 按这样的假定, 人口增长的方程应改为（4） 满足初始条件 的解为 （5） 可见, 当 与 相比很大时, 与 相比可以忽略, （4）就化为Malthus模型; 但当 与 相比不是很大时, 这一项就不可忽略, 人口急剧增长的速率就要减缓下来, 模型（4）通常称为Logistic(逻辑斯