异面直线所成的角求法总结加分析

1、异 面 直 线 所 成 的 角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法： 补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直接平移法.在空间四边形 ABCD中，AD = BC=2, E, F分另为AB、CD的中点，EF=4，求AD、 BC所成角的大小.解：设BD的中点G,连接FG, EG。在 EFG中EF= aFG = EG= 1./ EGF=120.AD 与 BC 成 60的角。.正 ABC的边长为a, S为 ABC所在平面外的一点，SA = SB = SC=

2、a, E, F分别是 SC和AB的中点.求异面直线SA和EF所成角.答案：45. S是正三角形 ABC所在平面外的一点，如图 SA = SB = SC,且 ASB = BSC= CSA=万，M、N分别是AB和SC的中点.求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.证明：连2CM,设Q为CM的中点，连结QN则QN / SM / QNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ,设SC= a,在zBQN中 .COS/QNB =2BN NQ_ 2_ 22BN2 NQ2 BQ2BN =当 aNQ= ；SM= aBQ= 44a4.如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，/BCA = 90, M、N分别是A1B1和

3、A1C1的中点, 若BC= CA= CC1,求BM与AN所成的角.解：连接MN ,作NG / BM交BC于G,连接AG , 易证/ GNA就是BM与AN所成的角.设：BC=CA=CC1 = 2,贝1JAG=AN =痣，GN = BM = T6, cos/ GNA= 6 f 5厂叵。2 .6, 5105.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是BB、CD AE与DF所成的角。证明：取AB中点G,连结A1G, FG, 因为F是CD的中点，所以GFXAD , 又 A1D1JD,所以 GFXA1D1,故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G/D1F。设A1G与AE相交于H ,则/ A1

4、HA是AE与D1F所成的角因为 E 是 BB1 的中点，所以 RtzA1AG04ABE,/GAA=/GAH, AB 从而 / A1HA=90 ,即直线AE与DiF所成的角为直角6.如图128的正方体中，E是A Dfi中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线 BA成异面直线？(2)求直线BA和CC所成的角的大小；(3)求直线AE和CC所成的角的正切值；(4)求直线AE和BA所成的角的余弦值解：(1). A 平面BC ,又点B和直线CC都在平面BC内，且B CC直线BA与CC是异面直线同理，正方体12条棱中的C D DD、DC、AD、B所在 的直线都和直线BA成异面直线(2)CC / BB,BA和BB

5、所成的锐角就是BA和CC所成的角./A BB =45： BA和 CC 所成的角是 45: AA / BB / CC ,故AE和AA所成的锐角/ A AE AE和CC 所成的角在RtAA E中，tan/ A AE 2E = 1 ,所以AE和CC所成角的正切值是1 AA 22IIII取B C勺中点F,连EF、BF,则有EF = A B =AB,/ ABFE是平行四边形，从而 BF = AE,即BF / AE且BF=AE. BF与BA所成的锐角/ A B就是AE和BA所成的角设正方体各棱长为2,连A F利用勾股定理求出NA BF勺各边长分别为 A 42亚，A LBF=V5,由余弦定理得：cos/ A

6、 BF(2.2)2 (.5)2 (.5)2,10AM B7.长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB=BC=3 , AAi=4,求异面直线BiD与BCi硝fc金曲大小。29解法一：如图，过Bi点作BiE/BCi交CB的延长线于E点。则/ DBiE或其补角就是异面直线 DB1与BCi所成角，连结DE交AB于M,DE=2DM=3 V5 ,7 . 347134cos / DB1 E=-/ DB1 E= arc cos170170解法二：如图，在平面 DiDBBi中过B点作BE/ DB1交DiBi的延长线于E,则/ CiBE就是异面直线DB1与BCi所成的角，连结CiE,在ABiCiE中,/CiBiE

7、=135, CiE=3 痣，练习：cos/C1BE=7,170, c 一7.34/ CiBE= arc cos。170.如图，PA 矩形ABCD,已知PA=AB=8, BC=10,求AD与PC所成角的余切值为。.在长方体 ABCD-A 1B1C1D1 中，若棱 BBi=BC=1 , AB= K ,求DB和AC所成角的余弦值.中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为 平面问题，解三角形求之。解法一：如图连结BiC交BCi于0,过0点作OE/DBi,则/ BOE为所求的异面直线DBi与BCi所成的角。连结EB,由已知有BiD=T34, BCi=5BE=2co

8、s / BOE= 734/ BOE= arc cos 734170170解法二：如图，连DB、AC交于。点，过。点作OE/DBi,或其补角就是两异面直线所成的角，过 O点作OM / DC,过 E 点作 EF/ CiB,则/OEF 连结 MF、 OF。则 OF=73 ,2cos Z OEF= 734 , ,异面直线 BiD 与 BCi 所成的角为 arc cos 734 0i70i70解法三：如图，连结DiB交DBi于O,连结DiA,则四边形ABCiDi为平行四边形。在平行四边形是异面直线ABCiDi中过点。作EF/ BCi交AB、DiCi于E、F,则/DOF或其补角就 DBi与 BCi所成的角

9、。在 ADF 中 DF=35 , cosZDOF=34 ,2i70 ./ DOF=arccosMi70课堂练习.在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值。 补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。解法一：如图，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A 2B2C2D2,连结 D2B,则DBi/ D2B,./CiBD2或其补角就是异面直线 DBi与BCi所成的角，连CiD2, 则ACiD2c2为Rtz, cos/CiBD2=7侬，异面直线DBi与BCi所成的角是i707、34 arc cos。i70课堂练习：.求异面直线

10、AiCi与BDi所成的角的余弦值。在长方体 ABCD-AiBiCiDi的面BCi上补上一个同样大小的长 方体，将AiCi平移到BE,则/DiBE或其补角就是异面直 线 AiCi与 BDi所成的角，在ABDiE 中, BDi=3, ?口出二/4 W0二、利用模型求异面直线所成的角49平面a内的一条直线b与cos 0 =cosi6 cosdQ模型i引理：已知平面a的一条斜线a与平面a所成的角为 斜线a所成的角为9,与它白射影a所成的角为 明求证: 在平面的斜线a上取一点P,过点P分别作直线c、b的 垂线PO、PB,垂足为0、B.连接OB,则OBb.在直角 AOP中，cos 1AOAP在直角 ABC

11、中，cos 2在直角zXABP中，cosAB AOAB. AP所以 cos 1 cos所以 cos 1 cosAOAP cosAB AB cosAO AP证明：设PA是a的斜线，OA是PA在a上的射影,OA AB AB 1 OBO1知三棱柱ABC ABiCi的侧棱与底面边长都相等，AMPA PA OA 2在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(D)(A)手(B)手(C)乎(呜.解：设BC的中点为D,连结AD, AD,易知AB与CC1所成的角，由三角余弦定理，易知AAAAB即为异面直线PBiBAAD AD 3 47r、生 ccos cos A1AD cos D

12、AB-.故选 DA1A AB 414.如图,在立体图形梯形，/ BAD=90P-ABCD中，底面ABCD是一个直角AD144ADa 4- EC1- AB3 - DC32AC BD3AR + AF-DQj2AWBDarcci5图,在正方体ABCD-A 1B1C1D1中，E、F分别是相邻两侧面BCCiBi及CDDiCi的中心。求A1E和BiF所成的角的大小。解法一：(作图法)作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个作法：连结BiE,取BiE中点G及AiBi中点H,连结GH6626 1 1EAiBiFGH EAi Bi F 4246 6|EAJ|BiF|( 1)2D16| AM

13、 |MD：D一2Bi 2QAM|NC jTB P喟G NC(1)C2 1: 1IAB AC AD AM 1 AB AC NC 1 AD AC AM NC22 TOC o 1-5 h z AD AC 1 1 AB AD AB AC 1 AD AC AC AC 1 11 2 222 4 21 1 AM1AB AC 1 ABAC 1 3NC 1AD AC 1AD4 2224 4221 1 3 2-2-1-2一AC 7 EF EG GF -BA - CD BA CD EF -BA4 2 4 33331211 .、CDBACD求：(1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成的 3332角的余弦值.技巧与

14、方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用 .BD1与AC所成角的余弓S值为.b . 4a2 2b2判断是非：(1)(3)(8)(10)正确，其余错；选择：1(C) ; 2(D) ; 3(D) ; 4(D).杆 5. (2)相交，(5)平行，其余异面；(6): (D),取 AB中点M, CC1中点N,连B1E和B1F; (7)答案：(A),延长BA至M,使AMkAD,连MA 取 AB中点 N. 8(D) ; 9(E) ; 10(D) ; 11(C);.4 ,取 AD 中点 E,则/ MEN =90; 3.右，取 AC 中点 F,连 EF、BF,求得 BE=：AD = 5, BF=gAC =

15、32 ;.2叵，分别取AC、B1C1的中点P、Q,则PMQN是矩形，设CC=MQ = a,则MP =a； 52.1 ,取 AC 中点 F,连 EF、BF,则 EF=4, BE=BF=3. 6异面直线所成的角一作业班级：姓名：学号：一、判断是非(下列命题中，正确的打错误的打“x”)(1)梯形的四个顶点在同一平面内；(2)对边相等的四边形是平行四边形；(3)平行于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一直线的两直线平行；(5)两条直线确定一个平面；(6)经过三点可以确定一个平面；(7)无公共点的两直线异面；(8)两异面直线无公共点；(9)两异面直线可以同时平行于一直线；(10)两异面直线可以同时垂直

16、于一直线；(11)不同在一个已知平面内的两直线异面；(12)互相垂直的两条直线必可确定一平面 二、选择题.没有公共点的两条直线的位置关系是()(A)平行(B)异面(C)平行或异面(D)不能确定.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是()(A)异面(B)平行(C)平行或异面(D)平行或异面或相交.两条异面直线指的是()(A)在空间不相交白两条直线(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线(C)分别位于两个不同平面的两条直线(D)不同在任一平面内的两条直线、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a、c的位置是()(A)异面(B)异面或平行(C)异面或相交(D)相交、平行或异面.说出正方体中

17、各对线段的位置关系：(1)AB 和 CCi; (2)AiC 和 BDi; (3)AiA 和 CBi;(4)AiCi 和 CBi; (5)AiBi和 DC; (6)BDi 和 DC.在棱长为i的正方体 ABCDAiBiCiDi中，M和N分别为AiBi 的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是().如图，AiBiCiABC是直三棱柱(三侧面为矩形)，/BCA=90 , 点Di、Fi分别是AiBi、AiCi的中点 若BC=CA=CCi,则 BDi与AFi所成角的余弦值是() TOC o 1-5 h z 30i30T5(A)-(B)(C)T(D) i02i5i0和BBi.正方体ABCDAiBiCiD

18、i中，直线BCi与AC(A)相交且垂直(B)相交但不垂直(C)异面且垂直(D)异面但不垂直.设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题:如果a，b、bc,则a/ c；如果a和b相交，b和c相交,则a和c也相交;如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线;如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面，在上述四个命题中，真命题的个数是()(A)4(B)3(C)2(D)1(E)010.如果直线l和n是异面直线，那么和直线1、n都垂直的直线(A)不一定存在(B)总共只有一条(C)总共可能有一条，也可能有两条(D)有无穷多条EF与SA所成的角等于(A)90 (B)60 (C)45 (D)30 三.如图，四间体 ABCD中，ACLBD,且AC=4, BD = 3求MN和BD所成角的正切值四.如图，四间体 ABCD 中，ABXB