《概率论与数理统计教程》第6章参数估计6.6课件

1、6.6 区间估计一、区间估计基本概念二、正态总体均值与方差的区间估计三、小结第1页，共46页。 引言 前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 .第2页，共46页。我们希望第3页，共46页。一、区间估计基本概念1. 置信区间的定义第4页，共46页。2. 单侧置信上（下）限的定义第5页，共46页。关于定义的说明第6页，共46页。例如第7页，共46页。 一旦有了样本，就把 估计在区间内.这里有两个要求:由定义可见， 对参数 作区间估计，就是

2、要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量)第8页，共46页。2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则.1. 要求 以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率 要尽可能大.即要求估计尽量可靠. 可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.第9页，共46页。3. 求置信区间的一般步骤(共3步)第10页，共46页。第11页，共46页。二、正态总体均值与方差的区间估计1.I 单个总体的情况第12页，共46页。推导过程如下:第13页，共46页。第14页，共46页。这样的置信区间常写成其置信区间的长度为第15页，共46页。 包糖机某日开工包

3、了12包糖,称得重量(单位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485. 假设重量服从正态分布,解例1第16页，共46页。第17页，共46页。查表得第18页，共46页。例6.5.4 设总体为正态分布N(,1)，为得到 的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2，样本容量应为多大？第19页，共46页。推导过程如下:第20页，共46页。第21页，共46页。解 有一大批糖果,现从中随机地取16袋, 称得重量(克)如下: 设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值例2第22页，共46页。就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与50

4、7.1克之间, 这个估计的可信程度为95%.这个误差的可信度为95%.第23页，共46页。例6.5.5 假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万公里）如下：4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.025.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 此处正态总体标准差未知，可使用t分布求均值的置信区间。经计算有 =4.7092，s2=0.0615。取 =0.05，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均寿命的0.95置信区间为（单位：万公里）第24页，共46页。 在实际问题中，由于轮胎的寿命越长越

5、好，因此可以只求平均寿命的置信下限，也即构造单边的置信下限。由于 由不等式变形可知 的1-置信下限为 将t0.95(11)=1.7959代入计算可得平均寿命 的0.95置信下限为4.5806（万公里）。 第25页，共46页。推导过程如下:根据2第26页，共46页。第27页，共46页。进一步可得:注意: 在密度函数不对称时, 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).第28页，共46页。 (续例2) 求例2中总体标准差 的置信度为0.95的置信区间.解代入公式得标准差的置信区间例5第29页，共46页。 在样本容量充分大时，可以用渐近分布来构造近似的置信区间。一个典型的例子是关于比例p 的置信

6、区间。3.大样本置信区间 第30页，共46页。 设x1, xn是来自b(1, p)的样本,有 对给定 ， ，通过变形，可得到置信区间为 其中记= u21-/2，实用中通常略去/n项，于是可将置信区间近似为第31页，共46页。例6.5.7 对某事件A作120次观察，A发生36次。试给出事件A发生概率p 的0.95置信区间。解：此处n=120， =36/120=0.3 而u0.975=1.96，于是p的0.95（双侧）置信下限和上限分别为 故所求的置信区间为 0.218，0.382第32页，共46页。II 两个正态总体下的置信区间 设x1 , , xm是来自N(1, 12)的样本，y1 , , y

7、n是来自N(2, 22)的样本，且两个样本相互独立。 与 分别是它们的样本均值， 和 分别是它们的样本方差。下面讨论两个均值差和两个方差比的置信区间。 第33页，共46页。一、1 -2的置信区间1、 12和 22已知时的两样本u区间 2、 12 = 22 = 2未知时的两样本t区间 第34页，共46页。3、 22 / 12=c已知时的两样本t区间 第35页，共46页。4、当m和n都很大时的近似置信区间 5、一般情况下的近似置信区间 其中 第36页，共46页。例6.6.9 为比较两个小麦品种的产量，选择18块条件相似的试验田，采用相同的耕作方法作试验，结果播种甲品种的8块试验田的亩产量和播种乙品

8、种的10块试验田的亩产量（单位：千克/亩）分别为： 甲品种 628 583 510 554 612 523 530 615 乙品种 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426 假定亩产量均服从正态分布，试求这两个品种平均亩产量差的置信区间.( =0.05）。 第37页，共46页。解：以x1 , , x8记甲品种的亩产量，y1 , , y10记乙品种的亩产量，由样本数据可计算得到 =569.3750，sx2 =2140.5536，m=8 =487.0000，sy2=3256.2222， n=10 下面分两种情况讨论。 第38页，共46页。(1) 若已知两个品种

9、亩产量的标准差相同，则可采用两样本t区间。此处 故1 -2的0.95置信区间为第39页，共46页。(2) 若两个品种亩产量的方差不等，则可采用近 似 t 区间。此处 s02 =2140.5536/8+3256.2222/10=593.1914， s0 =24.3555 于是1-2的0.95近似置信区间为 31.74，134.02第40页，共46页。二、 12/ 22的置信区间 由于(m-1) sx2/ 12 2(m-1), (n-1) sy2/ 22 2(n-1)，且sx2与sy2相互独立，故可仿照F变量构造如下枢 轴量 ,对给定的1-，由 经不等式变形即给出 12/ 22的如下的置信区间第41页，共46页。例6.6.10 某车间有两台自动机床加工一类套筒，假设套筒直径服从正态分布。现在从两个班次的产品中分别检查了5个和6个套筒，得其直径数据如下（单位：厘米）： 甲班：5.06 5.08 5.03 5.00 5.07 乙班：4.98 5.03 4.97 4.99 5.02 4.95 试求两班加工套筒直径的方差比 甲2/ 乙2的0.95置信区间。解： 由数据算得sx2=0.00107, sx2