【医学统计学】方差分析(ANOVA)课件

1、方差分析(ANOVA)Analysis of Variance第1页，共74页。因素和水平因素(factors)：将试验对象随机分为若干个组，加以不同的干预，称为处理因素。在相同的因素下的不同干预，称为不同的水平(level)。第2页，共74页。问题的提出t 检验实例南京医科大学的学工部门想知道2015年南京市进入南医大就读的学生中，市区的学生和郊区的学生成绩是否有差异。因素：学生所来自的区域水平：市区，郊区单因素两水平第3页，共74页。问题的提出t 检验实例阿卡波糖的降血糖效果。分别给对照组和试验组服用拜唐平胶囊和阿卡波糖胶囊，观察8周后血糖下降值的差异。因素：不同的药物水平：阿卡波糖，拜唐

2、平单因素两水平第4页，共74页。问题的提出t 检验的局限性单因素两水平第5页，共74页。问题的提出一种新的降血脂药，120人分为安慰剂组，用药组1(2.4g)，用药组2(4.8g)，用药组3(7.2g)。实验结束后观察血脂水平。？单因素四水平用药组1 =2.72mmol/l用药组2 =2.70mmol/l安慰剂组 =3.43mmol/l用药组3 =1.97mmol/l第6页，共74页。多组间的两两比较为什么不能用 t 检验？ 进行一次假设检验，犯第一类错误的概率： 进行多次(k)假设检验，至少犯一次第一类错误的概率：1(1)k组数为3, k=3,1(10.05)k=0.1426组数为4, k=

3、6,1(10.05)k=0.2649组数为5, k=10, 1(10.05)k=0.4013 组数为6, k=15, 1(10.05)k=0.5400问题的提出第7页，共74页。RA Fisher(18901962)方差分析(Analysis of Variance, ANOVA)，又称“变异数分析”由英国统计学家R.A. Fisher 首先提出，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称为F检验。方差分析简介第8页，共74页。方差分析简介1918年，Fisher 首创“方差”和“方差分析”两个词汇。a paper on population genetics, The Correlatio

4、n Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance Transactions of the Royal Society of Edinburgh, 52, 399-433:It is . desirable in analyzing the causes of variability to deal with the square of the standard deviation as the measure of variability. We shall term this quantity the Varian

5、ce . (p. 399) 第9页，共74页。第10页，共74页。方差分析简介1925年他对方差分析及协方差分析进行了完整的论述Fishers book Statistical Methods for Research Workers (1925) made the analysis of variance widely known。第11页，共74页。看一个实例例6.6 某地用A、B和C三种方案治疗血红蛋白含量不满10g的婴幼儿贫血患者，治疗一月后，记录下每名受试者血红蛋白的上升克数，资料见表6.3，问三种治疗方案对婴幼儿贫血的疗效是否相同？ 第12页，共74页。第13页，共74页。分析 第

6、14页，共74页。3类变异总变异：所有个体的血红蛋白上升值几乎都不同组间变异：3组间的血红蛋白上升值不同，原因：处理因素的效应(如果存在的话)、随机误差组内变异：同组内的血红蛋白上升值不一致,原因是个体差异、随机误差第15页，共74页。总变异SS总Sum of squares about the mean of all N values.total= N-1 第16页，共74页。组间变异 SS组间Sum of squares between groups n1 n2 n3第17页，共74页。组间变异 SS组间Sum of squares between groupsBetween=k -1MS

7、 Between =SS Between /(k -1) 第18页，共74页。组内变异SS组内within=N-k MSwithin=SSwithin/(N-k) Sum of squares within groups第19页，共74页。变异分解 组间变异总变异 组内变异总变异=组间变异+组内变异SS总=SS组间+SS组内总=组间组内 第20页，共74页。证明第21页，共74页。方差分析的基本思想组内变异：随机误差组间变异：组间本质差别随机误差若组间无本质差别: 组间变异组内变异 或：第22页，共74页。总变异总的离均差平方和包括处理因素不同水平的效应所导致的变异，也包括随机误差无法用处理因

8、素所解释的部分变异(随机误差)方差分析的原理尺度第23页，共74页。单因素多个样本均数的比较(one way analysis of variance )单因素：处理因素属于完全随机设计 (Completely random design) 随机的含义：机会均等 不可预测第24页，共74页。因素 (factor)所要检验的对象：治疗方案水平(level)因素的具体表现：方案A、方案B、方案C试验(Trial)单因素三水平的试验第25页，共74页。基本步骤建立检验假设,确定检验水准计算检验统计量(列方差分析表)计算 P 值结论第26页，共74页。建立假设,确定检验水准H0：A=B=C，即三种治疗

9、方案治疗婴幼儿贫血的疗效相同，H1：A,B,C不全相等或全不相等，即三种治疗方案治疗婴幼儿贫血的疗效不全相同或全不相同。=0.05第27页，共74页。计算基本数据第28页，共74页。计算SS总，SS组间，和SS组内 第29页，共74页。计算SS总，SS组间，和SS组内 C =(78.70)2 /59=104.9778SS总=159.43104.9778=54.4522SS组内=0.91332191.0121218 0.7801219=45.8468 第30页，共74页。单因素方差分析表(基本结构) 第31页，共74页。列方差分析表 第32页，共74页。F 分布方差比的分布第33页，共74页。F

10、 分布0123450.00.20.40.60.81.01=1, 2=101=5, 2=10第34页，共74页。F 分布0123450.00.20.40.60.81.01=10, 2=1=10, 2=1第35页，共74页。界定P值，作结论总自由度为N1=591=58组间自由度=组数(k)1=31=2组内自由度=总自由度组间自由度=582=56。 第36页，共74页。F(2, 56)的F分布及界值0123450.2.4.6.813.1560.05F0.05(2，56)3.156第37页，共74页。查方差分析表得F0.05(2，56)=3.156，FF0.05(2,56)，则P0.05。故按 =0.

11、05的水准，拒绝H0，接受H1，故可认为三种治疗方案的治疗效果不一样。 第38页，共74页。多个样本均数的两两比较 在方差分析认为多组均数间差异有统计学意义的基础上，若需了解究竟哪些组均数之间有差别，还是各组间均有差别，可用多个样本均数的两两比较(又称多重比较 multiple comparison)。 第39页，共74页。 多重比较(multiple comparison)多组间的两两比较为什么不能用 t 检验？ 进行一次假设检验，犯第一类类错误的概率： 进行多次(k)假设检验，至少犯一次第一类错误的概率： 1(1)k组数为3, k=3,1(10.05)k=0.1426组数为4, k=6,1

12、(10.05)k=0.2649组数为5, k=10, 1(10.05)k=0.4013The risk that we actually take is higher than what we assumed!第40页，共74页。两两比较又叫多重比较，Multiple Comparison;分类事先计划好的多个试验组与一个对照组之间的比较，多个组与一个特定组间的比较或者特定组间的比较； (Planned Multiple Comparison)方差分析得到有差别的结论后多个组之间的相互比较的探索性研究； (Post Hoc)第41页，共74页。Bonferroni 1892-1960Schef

13、fe 1907-1977Tukey 1915-2000Dunnett 1921-Westerfall 1957-Benjamini 1949-第42页，共74页。多个样本均数间的两两比较 用q检验(又称Student-Newman-Keuls法，即SNK法)，统计量为q： q与误差自由度有关，还与比较的两组之a值有关！第43页，共74页。H0：A = B ，每次对比时两个总体均数相等；H1：AB ，每次对比时两个总体均数不等。=0.05。 将三个样本均数按从大到小顺序排列并编上组次： 组次 1 2 3 均数 1.840 1.226 0.930 组别(治疗方案) A B C 第44页，共74页。

14、 q0.05,(56,3)=3.408 q0.05,(56,2)=2.836第45页，共74页。结论总的说来，三种治疗方案的治疗婴幼儿贫血疗效有差别。而这种差别主要来自A方案和C方案。这一结论可用下列形式表示：A B C 1.840 1.226 0.930第46页，共74页。多个实验组与一个对照组均数间的两两比较 常用q检验，又称Dunnett法，其计算公式为 ：公式与q检验公式类似，但需查附表9 q界值表。 第47页，共74页。两两比较的注意事项对于方差分析后的两两比较均应以方差分析拒绝相应的H0为前提，且结论均不应与方差分析的结论相悖；出现模糊结论，下结论应该谨慎；方差分析拒绝H0，但两两

15、比较得不出有差异的结论，因为方差分析效率高。Post Hoc分析发现的各组间差别只是一种提示，一种进一步增加含量改进试验的提示。不能用t检验代替方差分析，也不能用t检验代替两两比较。第48页，共74页。两种错误的说法X1 X2 X3X2所来自的总体位于X1所来自的总体和X3所来自的总体之间；X1和X2来自同一总体，X2和X3来自同一总体。 只能说明无法判断样本2来自于何总体！第49页，共74页。两因素多个样本均数的比较(two way analysis of variance )两因素：配伍因素和处理因素属于随机区组设计 ( randomized block design) 又称“配伍组设计”

16、第50页，共74页。第51页，共74页。配伍的概念是“配对”概念的扩展，不是按每两个配对，而是按每三个、每四个或更多个配起来，这就超出了“对子”的涵义，而是配伍组设计了。第52页，共74页。配伍设计的目的对研究因素以外的已知的干扰因素加以控制，从而将研究因素的作用与干扰因素的作用区分开，以达到提高检验的功效之目的。第53页，共74页。单向区组控制示意区组处理水平1水平2水平3水平4123456第54页，共74页。实例例6.10 在抗癌药筛选试验中，拟用20只小白鼠按不同窝别分为5组，分别观察三种药物对小白鼠肉瘤(S180)的抑瘤效果，资料见表6.7，问三种药物有无抑瘤作用？ 第55页，共74页

17、。第56页，共74页。两因素方差分析的原理类似于单因素方差分析，前者仅在后者的基础上，从误差中再分离出区组效应，使误差减少，达到提高检验功效之目的 。第57页，共74页。区组设计的SS的分解 SS总 SS处理 + SS区组 + SS误差 v总 v处理 v区组 v误差 kb-1 (k-1) (b-1) (k-1) (b-1)第58页，共74页。实验因素：H0：三种药物对小白鼠肉瘤(S180)的抑瘤效 果与对照组相同，即对照=A=B=C；H1：三种药物对小白鼠肉瘤(S180)的抑瘤效果与对照组不全同或全不同。 =0.05。建立检验假设第59页，共74页。干扰因素：H0:5个窝别小白鼠对肉瘤生长的反

18、应相同；H1:5个窝别小白鼠对肉瘤生长的反应不全相同或全不相同。=0.05。第60页，共74页。计算SS总，SS处理， SS区组和SS误差 第61页，共74页。SS误差=SS总SS处理SS区组=0.741280.410840.11233=0.21811 第62页，共74页。计算自由度总=总例数1=201=19处理=处理组数1=41=3区组=区组数1=51=4误差=总处理区组=1934=12 第63页，共74页。两因素方差分析表(基本结构)第64页，共74页。列方差分析表 第65页，共74页。界定P值，作结论 F0.05,(3,12)=3.49 F0.05,(4,12)=3.26F0.01,(3,12)=5.95 F0.01,(4,12)=5.41 第66页，共74页。显然处理组间均数的检验结果是FF0.01，P0.01，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可认为三种药物对小白鼠肉瘤(S180)的抑瘤效果与对照组不同；但区组间差别无统计学意义，即各窝小白鼠对肉瘤生长的反应相同。 第67页，共74页。方差齐性检验 两个方差的齐性检验 多个方差的齐性检验 第68页，共74页。方差分析的优点不受比较组数的限制，可比较多组均数可同时分析多个因素的作用可分析因素间的交互作用第69页