微分中值基本定理和导数的应用

1、微分中值基本定理和导数的应用第一节 微分中值定理一、 罗尔定理定理1 (罗尔(Rolle)定理) 如果函数f(x)满足： (1) 在a,b上连续, (2) 在(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),则至少存在一点(a,b),使得f()=0 证 因为f(x)在a,b上连续,f(x)在a,b上必取得最大值M和最小值m (1) 如果M=m, 则f(x)在a,b上恒等于常数M, 因此,对一切x(a,b),都有 f(x)=0.于是定理自然成立. (2) 若Mm,由于f(a)=f(b),因此M和m中至少有一个不等于f(a).设Mf(a),则f(x)应在(a,b)内的某一点处达到最大值,即f()=M

2、,下面证明f()=0 因f(x)在达到最大值,所以不论x是正的还是负的, 总有 f( + x)-f()0 当x0时, 根据极限的保号性,有当x0时, 从而必须有f()=0.例1 验证罗尔定理对函数f(x)= x2-2x+3在区间-1,3上的正确性注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定成立. 显然函数f(x)= -2x+3在-1,3上满足罗尔定理的三个条件,解由f(x)=2x-2=2(x-1),可知f(1)=0,因此存在=1(-1,3),使f(1) =0 例2证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,)=由连续函数介值定理知至少存在一点 在0,1上有且仅有一个0f(x)1,

3、且对于(0,1)内所有x，有f(x)1，求证例 设f(x)在0,1上可导，当0 x1时，使f(证 令F(x)=f(x)-x,则F(1)=f(1)-10,F(0)=f(0)0 0,1,使得F(，下面证明在0，1上)=即f(仅有一点，使F()=0 假设另有一点)=0 ，则由罗尔定理可知,在 , 上至少有一点 ，使这与原题设矛盾这就证明了在0，1 内有且仅有)= 一个，使f()=0， 0,1,使得F(不妨设F()=0,即f()=1,二、 拉格朗日中值定理定理2 若函数y=f(x)满足下列条件: (1) 在闭区间a,b上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导则至少存在一点(a,b),使得证 作辅助函

4、数F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 故 F(x)满足罗尔定理的条件,从而至少存在一点(a,b),使得F()=0,即 因此得 拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式,此公式也可以写成f(b)-f(a)= f()(b-a) (ab) 另外，由于是(a,b)中的一个点,它还可以表示成 =a+(b-a)(0 1),于是，拉格朗日中值公式又可写成 f(b)-f(a)=(b-a)fa+ (b-a) (01) 要注意的是，在公式中，无论ab或ab，公式总是成立的，其中是介于a与b之间的某个数注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.例4证例5

5、 证明不等式对一切x0成立.ln(1+x)x1 ),证 由于f(x)=ln(1+x)在，）上连续、可导，对任何x0，在0, x上运用微分中值公式,得 (0 1)即 ln(1+x)= 由于 x,因此当x0时，有f(x)-f(0)=f(x)x, (0ln(1+x)x 推论1 如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)0,则在(a,b)内,f(x)恒为一个常数证 在(a,b)内任取两点x1, x2, 设x1 x2 ,显然f(x)在x1,x2上满足拉格朗日中值定理的条件因为 f(x)0,所以 f()=0 .从而 f(x2)=f(x1) .例4证推论2 若f(x)及g(x)在(a,b)内可导,且对

6、任意x(a,b),有f(x)=g(x),则在(a,b)内,f(x)=g(x)+C(C为常数). 证 因f(x)-g(x) =f(x)-g(x)=0, 由推论1,有f(x)-g(x)=C,即f(x)=g(x)+C,x(a,b)三、 柯西中值定理定理3 (柯西中值定理) 若函数f(x)和g(x)满足以下条件: (1) 在闭区间a,b上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导,且g(x)0,那么在(a,b)内至少存在一点,使得证 若g(a)=g(b),则由罗尔定理,至少存在一点1(a,b),使g(1)=0,这与定理的假设矛盾.故g(a)g(b).作辅助函数F(x)满足罗尔定理的三个条件,于是在(a,

7、b)内至少存在一点,使得 从而有例5证四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式.练 习 题3 (1,2),(2,3),(3,4) 前者是后者的特殊情形,加即可 增量 导数 恒为零 练习题答案第二节 洛必达法则 一、 型未定式 定理1 设f(x),g(x)满足下列条件： (1) f(x)=0, g(x)=0； (2) f(x),g(x)在 内可导,且g(x)0； (3) 存在 (或为)则证 由条件(1),设f(x0)=0,g(x0)=0.由条件(1)和(2)知f(x)

8、与g(x)在U(x0)内连续 设x ,则f(x)与g(x)在x0,x或x, x0 上满足柯西定理的条件, 当xx0时,显然有x0,由条件(3)得例解如果 仍为 型未定式,且f(x),g(x)满足定理条件，则可继续使用洛必达法则.注意:例2解推论1 设f(x)与g(x)满足 (1) f(x)=0, g(x)=0; (2) 存在X0,当xX时,f(x)和g(x)可导,且g(x)0; (3) 存在(或为)则证 令x=1/t,则x时,t0 例3解二、 型未定式 定理2 设f(x),g(x)满足下列条件： (1) f(x)=, g(x)=； (2) f(x)和g(x)在 内可导,且g(x)0； (3)

9、存在(或为)则 推论2 设f(x)与g(x)满足 (1) f(x)=, g(x)=; (2) 存在X0,当xX时,f(x)和g(x)可导,且g(x)0; (3) 存在(或为)则例4解解例5三、 其它未定式 若对某极限过程有f(x)0且g(x),则称limf(x)g(x)为0型未定式若对某极限过程有f(x)且g(x),则称limf(x)-g(x)为-型未定式若对某极限过程有f(x)且g(x),则称limf(x)g(x)为00型未定式若对某极限过程有f(x)1且g(x),则称limf(x)g(x)为1型未定式若对某极限过程有f(x)且g(x)0,则称limf(x)g(x)为0型未定式 例6解关键:

10、将其化为洛必达法则可解决的类型 . 步骤:例7解例8解步骤:步骤:例9解例10解例11解例12解极限不存在洛必达法则失效。注意：洛必达法则的使用条件例13解练 习 题练习题答案第三节 泰勒公式 回顾微分概念: 若 在点 的某邻域内可导，则有f(x)=f(x)f+f(x)即从而在点 的某邻域内，f+上式表明，如果我们用关于 的一次多项式作为 的函数值，则其误差是关于 的一个高阶无穷小.f(x)近似公式有两点不足:(1) 精度不高； (2) 没有误差估计式.于是，设想用一个关于 的n次多项式与一个关于 的高阶无穷小来表达函数 ，即使f(x)f(x)=英国数学家泰勒提出并证明了上述设想的正确性.显然

11、如此下去，有从而有为函数 在点 处的n阶泰勒公式.f(x) 而且从而当x时，(x)是关于的高阶无穷小， (x)=o( ）,称这种形式的余项为皮亚诺余项( )作为 的近似值，由此可见，如果我们用x则其误差有估计式f(x)称=0，于是余项又可以表示为称为拉格朗日型余项特别地，当=0时的泰勒公式，又称为马克劳林公式： + (在0与 之间)，+ +o()f( )=f(0)+f(0) +或 f( )=f(0)+f(0) +具有拉格朗日型余项的马克劳林公式也可写成： + (01) f(x)= f(0)+f(0)x+二、 函数的泰勒展开式举例例1 写出函数的n阶马克劳林公式，并利用的近似值，并估计误差f(x

12、)=三阶马克劳林多项式计算解 由,， ，=,得f（x)=(x)= ()=f(0)=1,f（0)=1,，于是得的马克劳林公式为 + （0)=1, =1+x+(在0与x之间)，+，1+x+误差为因此,n=3,则取x= 1+16458，其误差=5 例2 写出函数f(x)=sinx的n阶马克劳林公式 ( ( -1)，（x）=，例3 求函数f(x)= 为任意实数)在x=0点的泰勒公式于是有 ( (-1)(-n+1),，f(0)=1, f(0)= ,f(0)=(0)= 从而得f(x)= 在x=0点的泰勒公式为 =1+o()x+特别地，当=n(正整数)时，有+. =1+nx+解 由于f(x)= ，f(x)=

13、 -1),， 常用函数的麦克劳林公式定理一、单调性的判别法第四节 函数的单调性与极值 证 对任意x1 , x2 a,b, 设x10, x(- /2, /2),所以y=sinx在- /2, /2上严格单调增加.例1 证明y=sinx 在-/2, /2上严格单调增加.例2解上例中，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点方法:二、单调区间求法例3解单调递增区间为单调递减区间为例4解单调递减区间为单调递增区间为例5证注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,单

14、调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.三、小结二、 函数的极值 定义1 设f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.若对任意x (x0), 有 f(x)f(x0)f(x)f(x0),则称f(x)在点x0处取得极大值(极小值)f(x0),称为极大值点(极小值点) 极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点 通常称f(x)=0的根为函数f(x)的驻点.可见，可导函数的极值点一定是驻点但要注意的是:驻点不一定是极值点.从几何直观看，定理的结论很明显: 例1解例2解练 习 题练习题答案而如果 在(a,b)内只有有限个驻点

15、或导数不存在的点，不妨设为 ，第五节 最优化问题求一个函数(称为目标函数)的最大值或最小值问题 称为最优化问题.我们已经知道，若 在闭区间a,b上连续, 则 在a,b上必取得最大值与最小值.如果最值在(a,b)内取得，则它一定是极值；最值也可能在区间端点x=a或x=b取得；例1解注:，求它在定义域上的最大值和最小值例2 设f(x)=x解 (x+1)f(x)=令 0,得驻点x=-1 f(x)=当x(-，-1)时， 0；当x(-1，+)时,故x=-1为极小值点 f(x)0，f(x)从而f(-1)= 为f(x)的最小值.f(x)=+， 又 f(x)=0, 所以 f(x)无最大值 一、 最大利润与最小

16、成本问题 设某种产品的总成本函数为C(Q),总收益函数为R(Q) (Q为产量),则总利润L可表示为 L(Q) R(Q)- C(Q)要使利润最大,必须使产量Q满足条件L(Q)=0,即 R(Q)=C(Q) (1)此式表明当产出的边际收益等于边际成本 时，利润最大.L(Q)=R(Q)-C(Q)0,即 R(Q) C(Q) (2)经济学中称(1)和(2)为“最大利润原则”或“亏损最小原则” 假如L(Q)在(0,+)内二阶可导，则还要求单位成本(即平均成本)最小的问题 设某种产品的总成本为C(Q),则生产的平均成本为 最小,必须使产量Q满足条件 此式表明当产出的边际成本等于平均成本 时，平均成本最小.例3

17、解总收益 R(Q)=PQ=60Q, 总利润 L(Q)=R(Q)-C(Q)令L(Q)=0,得唯一驻点Q0=200,又L(Q0)=L 0，所以当日产量为Q0 =200单位时可获最大利润. 最大利润为 L(200) =3000(元) 例4 设某产品的总成本函数为试求平均成本最小时的产量水平. C(Q)=54+18Q+6 ，解 因C(Q)=18+12Q，+18+6Q， 令C(Q)=得Q=3 (Q已舍)，所以当产量Q=3时可使平均成本最小.例5某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费

18、试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月 元，租出去的房子有 套，每月总收入为（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高。最大收入为点击图片任意处播放暂停例6解如图,解得二、 库存问题 假定计划期内货物的总需求为R,考虑分n次均匀进货且不允许缺货的进货模型. 设计划期为T天,待求的进货次数为n,那么每次进货的批量为q= ,进货周期为t= ,再设每件物品贮存一天的费用为c1,每次进货的费用为c2,在计划期(T天)内总费用E由两部分组成 (1) 进货费 (2) 贮存费 于是总费用E可表示为批量q的函数最优批量q*应使一元函数E=f(q)达到最小值,最优进货次数为 最优进货周期 最小总费用

19、 三、 复利问题例7 设林场的林木价值是时间t的增函数V= ,又设在树木生长期间保养费用为零,试求最佳伐木出售的时间 解 考虑到资金的时间因素, 晚砍伐所得收益与早砍伐所得收益不能简单相比,而应折成现值 设年利率为r,则在时刻t伐木所得收益V(t)= 的现值,按连续复利计算应为四、 其他优化问题例8 巴巴拉小姐得到纽约市隧道管理局一份工作,她的第一项任务是决定每辆汽车以多大速度通过隧道,可使车流量最大.经观测,她找到了一个很好的描述平均车速v(kmh)与车流量f(v)(辆/秒)关系的数学模型 试问:平均车速多大时,车流量最大?最大车流量是多少?解得唯一驻点v=26.15(kmh).由于这是一个

20、实际问题，所以函数的最大值必存在. 当车速v=h时,车流量最大,且最大车流量为f(26.15)=8.8(辆/秒).第六节 函数的凸性、曲线的拐点及渐近线一、函数的凸性、曲线的拐点在(0,)上都是单调递增的,但它们增长的方式不同,从几何上来看，两条曲线弯曲的方向不同. 函数图形向上或向下凸的性质称为函数的凸性. 向下凸的曲线,其上任意两点间的弧段总位于联结两点的弦的下方,向上凸的情形正好相反 在曲线y=f(x)上任取两点(x1, y1)和(x2, y2), 设x10,则f(x)在a,b上是严格下凸的;(2)若在(a,b)内f (x)0,则f(x)在a,b上是严格上凸的.例解函数上凸或下凸的区间称

21、为凹凸区间.定义2 设f(x)C(U(x0),若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)的左右两侧凸性相反,则称点(x0,f(x0)为该曲线的拐点例1解 可见:若(x0,f(x0)是曲线y=f(x)的拐点,则f(x0)=0或f(x0)不存在. 反之不一定成立.例2 讨论-4 的凸性，并求拐点y=3，这两个点将定义域(-,+)分成三个部分区间解 y=12 -12令y=0 得列表考察各部分区间上二阶导数的符号，确定出函数的凸性与曲线的拐点(“”表示下凸,“”表示上凸)：-24x=36x(x- )，y=36可见，曲线在(-,0)及(，+)上是下凸的，在)上是上凸的，拐点为(0，1)，)(0，及(二、

22、曲线的渐近线1. 水平渐近线定义3 设函数y=f(x)的定义域为无限区间,如果 f(x) =A或 f(x)=A(A为常数),则称直线y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线例3解显然曲线有水平渐近线2.垂直渐近线 定义4 设函数y=f(x)在点x0处间断,如果 f(x)=或 f(x)=,则称直线x=x0为曲线y=f(x)的垂直渐近线例4解故垂直渐近线为3. 斜渐近线 定义5 设函数y=f(x)的定义域为无限区间,且它与直线y=ax+b有如下关系： f(x)-(ax+b)=0 或 f(x)-(ax+b)=0 则称直线y=ax+b为曲线y=f(x)的斜渐近线要求斜渐近线y=ax+b，关键在于确定常数a和b. 下面介绍求a，b的方法:-a-=0, x因为所以将求出的a代入(1)式 得(2)(1)(f(x)-ax)-b=0，所以 例5解无水平渐近线，x=-1为垂直渐近线又于是曲线有斜渐近线三、 函数图形的描绘(1) 确定y=f(x)的定义域;(3) 求出f(x)=0和f(x)=0的根及其不存在的点,并将它们