2021年高三数学北师大版(理)一轮课后限时集训：17利用导数证明不等式

1、课后限时集训EB利用导数证明不等式建议用时：45分钟1. (2019 福州模拟)已知函数 f(x) = eln x- ax(a R).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当 a=e 时，证明：xf(x) ex+ 2ex 0). x若a&0,则f (x)0, f(x)在(0, +8)上单调递增；若 a0,则当 0 x0,当 xe时，f (x)0,所以只需证f(x)& 2e, x当a=e时，由知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1, +8)上单调递减，所以 f(x)max= f(1)= e.记 g(x) = ：2e(x0),x- 1 ex则 g (x)= x2 ，所以当0 x 1时，g (x)1

2、时，g (x)0, g(x)单调递增，所以 g(x)min = g(1)= e.x综上，当 x0 时，f(x)&g(x),即 f(x)&三一2e, x即 xf(x) ex+ 2ex0.法二：由题意知，即证 exln x-ex2-ex+2ex0,ex从而等价于ln x-x+20,当 xC (1, +oo)时，g (x)0,故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1, +8)上单调递减,从而g(x)在(0, +00)上的最大值为g(1)=1.exex 1设函数h(x)=工，则h(x) = -y x.ex所以当 xC (0,1)时，h (x)0,故h(x)在(0,1)上单调递减，在(1, +8)上单调

3、递增,从而h(x)在(0, +8)上的最小值为h(1)=1.综上，当 x 0 时，g(x) h(x),即 xf(x) ex+ 2ex 0.1.2. (2018 全国卷 I )已知函数 f(x) = 1 x+aln x. x(1)讨论f(x)的单调性； 一fx1fx2(2)若f(x)存在两个极值点x1, x2,证明： 2,令 f (x) = 0,得 x=2 或乂=2.当 xC 0, a-申二 u a+A4, +oo 时，f，(x)2.由于f(x)的两个极值点X1, x2满足x2 ax+ 1=0,所以X1X2=1,不妨设X11.f X1 f X2由于X1 X22ln X2 2 + a,X2X21I

4、n X1 In X2In X1 In X2 TOC o 1-5 h z 1 + a= - 2+ a=X1X2X1 X2X1 X2f X1 f X21所以a 2 等价于w x2 + 2ln X20.X1 X2X1设函数g(x)=1 x+ 2ln x,由(1)知，g(x)在(0, +00)上单调递减，又g(1) = 0,从 X而当 XC (1 , +oo)时，g(x)0.所以三一x2+2ln X20,即0恒成立，求整数a的最大值；e(2)求证：ln 2+(ln 3- In 2)2 +(In 4- In 3)3+-+ ln(n + 1) In nnx+ 1,设 F(x)=eXx 1,则 F (x)

5、= eX 1,当 xC(0, + oo)时，F (x)0,当 xC ( 8, 0)时，F (x)x+1.同理可得ln(x+ 2)ln(x+2),当 a02 时，ln(x+ a)ln(x+ 2)0包成立.当a3时，e00不包成立.故整数a的最大值为2.-n +1证明：由(1)知 exln(x+ 2),令乂= n+ 1- n + 1则1n +2,即ern+1 ln ni+2 n=ln(n +1) ln nn,n所以e0+e-1+e-2 + e- n+1 In 2 + (In 3-ln 2)2+(In 4-ln 3)3+ +ln(n + 1)Tn nn,7 1又因为 e0+e_1 + e_2+ - + e-n