一轮复习北师大版 38 立体几何中的向量方法-求空间角与距离 作业

1、课时质量评价(三十八)A组全考点巩固练1在三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2若n1，n2eq f(,3)，则二面角ABDC的大小为()Aeq f(,3) Beq f(2,3)Ceq f(,3)或eq f(2,3) Deq f(,6)或eq f(,3)C解析：因为二面角的范围是0，且n1，n2eq f(,3)，所以二面角ABDC的大小为eq f(,3)或eq f(2,3)故选C2如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，eq o(OC,sup7()(0,0,2)，平面ABC的法向量为n(2, 1, 2)，设二面角CABO的大小为，则cos 等于(

2、)Aeq f(4,3) Beq f(r(5),3) Ceq f(2,3) Deq f(2,3)C解析：由题意可知，平面ABO的一个法向量为eq o(OC,sup7()(0, 0, 2)，由图可知，二面角CABO为锐角，由空间向量的结论可知，cos eq f(|o(OC,sup7()n|,|o(OC,sup7()|n|)eq f(|4|,23)eq f(2,3)3如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB3，E为线段AB上一点，且AEeq f(1,3)AB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为()Aeq f(3r(35),35) B eq f(2r(7),7) Ceq f(r

3、(3),3) Deq f(r(2),4)A解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)，所以eq o(DC1,sup7()(0,3,1)，eq o(D1E,sup7()(1,1，1)，eq o(D1C,sup7()(0,3，1)设平面D1EC的法向量为n(x，y，z)，则eq blcrc (avs4alco1(no(D1E,sup7()0，,no(D1C,sup7()0，)即eq blcrc (avs4alco1(xyz0，,3yz0，)取y1，得n(2,1,3)所以

4、coseq o(DC1,sup7()，neq f(o(DC1,sup7()n,|o(DC1,sup7()|n|)eq f(3r(35),35)，所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为eq f(3r(35),35)4在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()Aeq f(1,2) Beq f(2,3) Ceq f(r(3),3) Deq f(r(2),2)B解析：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，D(0,1,

5、0)，所以eq o(A1D,sup7()(0,1，1)，eq o(A1E,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则eq blcrc (avs4alco1(n1o(A1D,sup7()0，,n1o(A1E,sup7()0，)即eq blcrc (avs4alco1(yz0，,1f(1,2)z0，)所以eq blcrc (avs4alco1(y2，,z2，)所以n1(1,2,2)又平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，所以cosn1，n2eq f(2,31)eq f(2,3)即平面A1ED与平面ABCD所

6、成的锐二面角的余弦值为eq f(2,3)5在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，二面角BAA1C1的大小为60，点B到平面ACC1A1的距离为eq r(3)，点C到平面ABB1A1的距离为2eq r(3)，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为()Aeq r(7) Beq r(6)Ceq r(5) D2A解析：由题意可知，BAC60，点B到平面ACC1A1的距离为eq r(3)，点C到平面ABB1A1的距离为2eq r(3)，所以在三角形ABC中，AB2，AC4，BC2eq r(3)，ABC90，则eq o(AB1,sup7()eq o(BC1,sup7()(eq o(BB1,sup7(

7、)eq o(BA,sup7()(eq o(BB1,sup7()eq o(BC1,sup7()4，|eq o(AB1,sup7()|2eq r(2)，|eq o(BC1,sup7()|4，coseq o(AB1,sup7()，eq o(BC1,sup7()eq f(o(AB1,sup7()o(BC1,sup7(),|o(AB1,sup7()|o(BC1,sup7()|)eq f(r(2),4)，故taneq o(AB1,sup7()，eq o(BC1,sup7()eq r(7)6(多选题)设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)记直线PB与直线AC所成的角为，

8、直线PB与平面ABC所成的角为，二面角PACB的平面角为，则，大小关系正确的是()A BC DAC解析：过点B作直线lAC，过点P作底面ABC的垂线PD，D为垂足，过点D作DFAB于点F，作DEl于点E，连接AD，BD，PF，PE由题意可知，二面角PACB的大小与二面角PABC的大小相等，结合空间角的定义知PBE，PBD，PFD，在RtPEB与RtPDB中，由PEPD得sin sin ，所以(，均为锐角)故A正确，B错误；在RtPDB与RtPDF中，由PBPF得sin sin ，所以(，均为锐角)故C正确；由于不存在PBPF的可能，故D错误7如图，在正方形ABCD中，EFAB若沿EF将正方形折

9、成一个二面角后，AEEDAD11eq r(2)，则AF与CE所成角的余弦值为_eq f(4,5)解析：因为AEEDAD11eq r(2)，所以AEED，即AE，DE，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系设ABEFCD2，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0,2,1)，所以eq o(AF,sup7()(1,2,0)，eq o(EC,sup7()(0,2,1)，所以coseq o(AF,sup7()，eq o(EC,sup7()eq f(o(AF,sup7()o(EC,sup7(),|o(AF,sup7()|o(EC,sup7()|)eq f(4,r(5)r(5

10、)eq f(4,5)，所以AF与CE所成角的余弦值为eq f(4,5)8正四棱锥PABCD，底面四边形ABCD是边长为2的正方形，PAeq r(5)，其内切球为球G，平面过AD与棱PB，PC分别交于点M，N，且与平面ABCD所成二面角为30，则平面截球G所得的图形的面积为_eq f(,3)解：如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(2,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)因为PAPDPBPCeq r(5)，AOeq f(1,2)ACeq r(2)所以POeq r(PA2AO2)eq r(3)，所以P(1,1，eq r(3)，O(1,1,0)，则内切球的球心G在PO上，设G(1,

11、1，h)，内切球的半径为R，SPADSPCDSPBCSPABeq f(1,2)2eq r(r(5)212)2由等体积法可得eq f(1,3)R(222222)eq f(1,3)22eq r(3)，解得Req f(r(3),3)，则Geq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(r(3),3)因为平面过AD，设平面的法向量为n(0，1，a)，平面ABCD的法向量为m(0,0,1)，设平面与平面ABCD所成二面角为30，则cos 30eq f(|nm|,|n|m|)eq f(r(3),2)，即eq f(|a|,r(a21)eq f(r(3),2)，解得aeq r(3)或aeq r(3)(舍

12、去)，所以n(0，1，eq r(3)，则圆心G到平面的距离deq f(|o(AG,sup7()n|,|n|)eq f(1(1)eq r(3)eq f(r(3),3),2)0，所以截球G所得图形的面积为R2eq f(,3)9(2021全国甲卷)已知直三棱柱ABC A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BFA1B1(1)证明：BFDE；(2)当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小？(1)证明：因为侧面AA1B1B为正方形，所以A1B1BB1又BFA1B1，而BFBB1B，BF平面BB1C1C，BB

13、1平面BB1C1C，所以A1B1平面BB1C1C又ABC A1B1C1是直三棱柱，BCAB，所以平面BB1C1C为正方形取BC中点为G，连接B1G，EG因为F为CC1的中点，所以BFB1G又BFA1B1，且EGA1B1，所以BFEG又B1GEGG，B1G平面EGB1D，EG平面EGB1D，所以BF平面EGB1D又DE平面EGB1D，所以BFDE(2)解：因为侧面AA1B1B是正方形，所以ABA1B1，由(1)知，A1B1平面BB1C1C，所以AB平面BB1C1C又BC平面BB1C1C，所以ABBC设B1Dx，以B为原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐

14、标系，则E(1,1,0)，F(0,2,1)，D(x,0,2)，所以eq o(EF,sup7()(1,1,1)，eq o(FD,sup7()(x，2,1)易知，平面BB1C1C的一个法向量可为n1(1,0,0)设平面DFE的法向量n2(x1，y1，z1)，则eq blcrc (avs4alco1(n2o(EF,sup7()0，,n2o(FD,sup7()0，)即eq blcrc (avs4alco1(x1y1z10，,xx12y1z10.)不妨取z11，则x1eq f(3,2x)，y1eq f(x1,2x)，即n2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2x)，f(x1,2x)，1)设

15、n1，n2，则cos eq blc|rc|(avs4alco1(f(f(3,2x),r(blc(rc)(avs4alco1(f(3,2x)eq sUP12(2)blc(rc)(avs4alco1(f(x1,2x)eq sUP12(2)1)eq f(1,r(1f(blc(rc)(avs4alco1(f(3,2x)1)eq sUP12(2),blc(rc)(avs4alco1(f(3,2x)eq sUP12(2)f(1,blc(rc)(avs4alco1(f(3,2x)eq sUP12(2)令eq f(3,2x)t，则cos eq f(1,r(1f(t1)2,t2)f(1,t2)eq f(1,r(

16、f(2,t2)f(2,t)2)eq f(1,r(2blc(rc)(avs4alco1(f(1,t)f(1,2)eq sUP12(2)f(3,2)当eq f(1,t)eq f(1,2)时，(cos )maxeq r(f(2,3)eq f(r(6),3)，此时(sin )mineq f(r(3),3)故当B1Deq f(1,2)时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小B组新高考培优练10如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，PC底面ABCD，AB2AD2CD4，PC2a，E是PB的中点(1)求证：平面EAC平面PBC；(2)若二面角PACE的余弦

17、值为eq f(r(6),3)，求a的值；(3)在(2)的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值(1)证明：因为PC平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACPC因为AB4，ADCD2，所以AC2eq r(2)，取AB的中点为N，则可得CNAD，则CNAB，所以BCeq r(CN2NB2)2eq r(2)，所以AC2BC2AB2，所以ACBC又BCPCC，所以AC平面PBC因为AC平面EAC，所以平面EAC平面PBC(2)解：以点C为原点，eq o(CN,sup7()，eq o(CD,sup7()，eq o(CP,sup7()分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)

18、，A(2,2,0)，B(2，2,0)，设P(0,0,2a)(a0)，则E(1，1，a)，eq o(CA,sup7()(2,2,0)，eq o(CP,sup7()(0,0,2a)，eq o(CE,sup7()(1，1，a)设m(x0，y0，z0)为平面PAC的法向量，则meq o(CA,sup7()meq o(CP,sup7()0，即eq blcrc (avs4alco1(2x02y00，,2az00，)取m(1，1,0)设n(x，y，z)为平面EAC的法向量，则neq o(CA,sup7()neq o(CE,sup7()0，即eq blcrc (avs4alco1(xy0，,xyaz0，)取x

19、a，ya，z2，则n(a，a，2)依题意|cosm，n|eq f(|mn|,|m|n|)eq f(a,r(a22)eq f(r(6),3)，则a2(3)解：由(2)可得n(2，2，2)，eq o(PA,sup7()(2,2，4)设直线PA与平面EAC所成角为，则sin |eq o(PA,sup7()，n|eq f(|o(PA,sup7()n|,|o(PA,sup7()|n|)eq f(r(2),3)，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为eq f(r(2),3)11如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB3，AC2，点E是PD的中点(1

20、)求证：PB平面AEC(2)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M，使得二面角MACE的余弦值为eq f(r(10),10)？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由(1)证明：连接BD交AC于点F，连接EF在PBD中，由已知得EFPB又EF平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC(2)解：由题意知，AC，AB，AP两两垂直，所以以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz则C(2,0,0)，D(2，3,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2)，f(3,2)设M(x0，y0，z0)

21、，eq o(PM,sup7() eq o(PB,sup7()(01)，则(x0，y0，z03)(0,3，3)，得M(0,3，33)设平面AEC的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n1eq o(AE,sup7()0，n1eq o(AC,sup7()0，eq o(AE,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2)，f(3,2)，eq o(AC,sup7()(2,0,0)，得eq blcrc (avs4alco1(x1f(3,2)y1f(3,2)z10，,2x10，)取y11，得n1(0,1,1)设平面MAC的法向量为n2(x2，y2，z2)由n2eq o(AM,sup7

22、()0，n2eq o(AC,sup7()0，eq o(AM,sup7()(0,3，33)，eq o(AC,sup7()(2,0,0)，得eq blcrc (avs4alco1(3y2(33)z20，,2x20，)取z21，得n2eq blc(rc)(avs4alco1(0，1f(1,)，1)设二面角MACE的大小为因为二面角MACE的余弦值为eq f(r(10),10)，所以为锐角，则cos eq f(|n1n2|,|n1|n2|)eq f(2eq f(1,),eq r(2)eq r(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,)eq sUP12(2)1)eq f(r(10),10)，化简得

23、92920，解得eq f(1,3)或eq f(2,3)易知当eq f(2,3)时，为钝角，所以eq f(1,3)，所以eq o(PM,sup7()eq f(1,3)eq o(PB,sup7()故存在点M，当eq o(PM,sup7()eq f(1,3)eq o(PB,sup7()时，二面角MACE的余弦值为eq f(r(10),10)12如图，已知ABC是以AC为底边的等腰三角形，将ABC绕AB转动到PAB位置，使得平面PAB平面ABC，连接PC，E，F分别是PA，CA的中点(1)证明：EFAB；(2)在SABC3eq r(3)，点P到平面ABC的距离为3，直线PB与平面ABC所成的角为60这

24、三个条件中选择两个作为已知条件，求二面角EBFA的余弦值(1)证明：如图(1)，过点E作EDAB，垂足为D，连接DF由题意知，PABCAB，易证EDAFDA，所以EDAFDAeq f(,2)，即FDAB因为EDAB，EDFDD，所以AB平面EFD又因为EF平面EFD，所以EFAB图(1)(2)解：过点P作POAB，垂足为O，连接CO，则COAB因为平面PAB平面ABC，所以PO平面ABC以O为坐标原点，以OA，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图(2)所示的空间直角坐标系图(2)设ABa，ABC，由条件得SABCeq f(1,2)a2sin 3eq r(3)，由条件得POasin

25、3，由条件得PBO60，即120若选条件，可求得a2eq r(3)，B(eq r(3)，0,0)，A(3eq r(3)，0,0)，P(0,0,3)，C(0,3,0)因为Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(3r(3),2)，0，f(3,2)，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3r(3),2)，f(3,2)，0)，所以eq o(BF,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(3,2)，0)，eq o(BE,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，0，f(3,2)设平面BEF的一个法向量m(x，y，z)

26、，由eq blcrc (avs4alco1(mo(BF,sup7()0，,mo(BE,sup7()0，)得eq blcrc (avs4alco1(f(r(3),2)xf(3,2)y0，,f(r(3),2)xf(3,2)z0，)取m(eq r(3)，1,1)， 又易知平面BFA的一个法向量n(0,0,1)，故cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(1,r(5)eq f(r(5),5)，所以二面角EBFA的余弦值为eq f(r(5),5)若选或均可求得a2eq r(3)，下同13请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答ABBC，FC与平面ABCD所成的角为eq f(,6)，

27、ABCeq f(,3)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，且PAAB2，PD的中点为F(1)在线面AB上是否存在一点G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由(2)若_，求二面角FACD的余弦值解：(1)在线段AB上存在点G，使得AF平面PCG，且G为AB的中点证明如下：设PC的中点为H，连接FH，GH，如图易证四边形AGHF为平行四边形，则AFGH又GH平面PCG，AF平面PGC，所以AF平面PGC(2)选择因为PA平面ABCD，所以PAAB，PAAD由题意可知，AB，AD，AP两两垂直，故以A为坐标原点，eq o(AB

28、,sup7()，eq o(AD,sup7()，eq o(AP,sup7()的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系因为PAAB2，所以A(0,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，F(0，1,1)，所以eq o(AF,sup7()(0,1,1)，eq o(CF,sup7()(2，1,1)设平面FAC的法向量为u(x，y，z)，则eq blcrc (avs4alco1(uo(AF,sup7()0，,uo(CF,sup7()0，)即eq blcrc (avs4alco1(yz0，,2xyz0.)令y1，则x1，z1，则u(1，1，1)易知平面ACD的一个法向量为v(0,0,2)，设二面角FACD的平面角为，则cos eq f(|uv|,|u|v|)eq f(r(3),3)，即二面角FACD的余弦值为eq f(r(3),3)选择设BC中点E，连接AE，取AD的中点M，连接FM，CM，则FMPA，且FM1因为PA平面ABCD，所以FM平面ABCD，FC与平面ABCD所成的角为FCM，故FCMeq f(,6)在直角三角形FCM中，CMeq r(3)又因为CMAE，所以AE2BE2AB2，所以BCAE，所以AE，AD，AP